OBF 2019 - Primeira Fase (Nível 1)

Proporção

Para que não falte água, ele deverá ter acumulado o volume de água necessário para abastecer os $500$ apartamentos. Como em um apartamento o consumo médio é de $170$ litros, temos que:

$V_{total} = N^o_{apartamentos}V_{apartamento}$

$V_{total} = 500*170$ $l$

$V_{total} = 85000$ $l$

Como $1$ $m^3$ equivale ao volume de $1000$ $l$:

$V_{total} = 85,0$ $m^3$

Item A

Propriedades da matéria

Como ambas as esculturas são feitas pelo mesmo material, sendo ambos blocos maciços, podemos dizer que essas esculturas vão possuir uma mesma densidade, logo:

$Densidade = \dfrac{Massa}{Volume}$

$\dfrac{m}{v} = \dfrac{M}{V}$

$\dfrac{m}{L^3} = \dfrac{M}{(10L)^3}$

$M = \dfrac{1000 m L^3}{L^3}$

$M = 1000 m$

$M = 1000,0$ $kg$

Item C

Cinemática

A velocidade média é dada por:

$V_{media} = \dfrac{\Delta posicao}{\Delta tempo}$

Como o ônibus sai de Campina Grande às $10$ $h$ e chega em Patos às $12$ $h$ e $30$ $min$, indo do $km$ $140$ até o $km$ $320$:

$\Delta posicao = 320 -140 = 180$ $km$

$\Delta tempo = 2,5$ $h$

Logo:

$V_{media} = \dfrac{180}{2,5}$

$V_{media} = 72$ $\frac{km}{h}$

Item B

Cinemática

Como o ônibus sai de Patos $30$ $min$ depois que chega, por causa da parada para os lanches, temos que o horário que ele saiu de Patos foi às $13$ $h$.

Para que ele mantenha a mesma velocidade média durante todo o percurso, saindo de Patos às $13$ $h$ e chegando no horário que queremos descobrir em Sousa, indo do $km$ $320$ até o $km$ $450$:

$\Delta espaco = 450 - 320 = 130$ $km$

$V_{media} = 72$ $\frac{km}{s}$

$V_{media} = {\Delta espaco}{\Delta tempo}$

$\Delta tempo = \dfrac{\Delta espaco}{V_{media}}$

$\Delta tempo = \dfrac{130}{72}$

$\Delta tempo \approx 1$ $h$ e $48$ $min$

Logo ele deve chegar em Sousa às $14$ $h$ $48$ $min$.

Item C

Conservação de Energia

Como se despreza qualquer tipo de resistência, podemos conservar a energia nos lançamentos de cada corpo e achar uma relação entre suas velocidades de lançamento e a altura máxima atingida. Temos então que:

$E_{cinA} = E_{potA}$

$\dfrac{m_{0(A)}V^2_A}{2} = m_A g H_A$

$V_{0(A)}^2 =2 g H_A$

$V_{0(A)} = \sqrt{2 g H_A}$

Esse processo é análogo para o corpo B, logo:

$V_{0(B)} = \sqrt{2 g H_B}$

Podemos extrair do enunciado que:

$H_A = 4 H_B$

Com isso:

$V_{0(A)} = \sqrt{2 g 4 H_B}$

$V_{0(A)} = 2\sqrt{2g H_B}$

$V_{0(A)} = 2V_{0(B)}$

Item A

Instrumentos de Medição e Leis de Newton

Saber como um dinamômetro atua facilita a entender essa questão. O dinamômetro mede a intensidade da força aplicada na sua escala, a partir de uma mola que se deforma em relação à esta força. Para que o dinamômetro mensure corretamente a força aplicada em sua escala, ele deve se manter em um referencial inercial, estando ele fixo ou se movendo com velocidade constante (mais comum estando fixo). Caso ele acelere no sentido da força aplicada, sua marcação para a intensidade da força será incorreta, pois ele irá considerar uma força causada por sua aceleração. Com estas informações sobre como funciona o dinamômetro, podemos concluir que:

O menino que está puxando contrário ao menino que puxa o dinamômetro pela escala está apenas mantendo o dinamômetro em repouso ao aplicar uma força de sentido oposto e mesmo módulo, logo ele não interfere na medida do dinamômetro, sendo medido então a intensidade de $100$ $N$.

Item E

Leis de Newton

Considerando o cavalo e a carroça fazendo parte de um sistema que interage com o solo, o cavalo para movimentar a carroça deve empurrar o chão com suas patas, o que ocasiona pela $3^a$ Lei de Newton uma reação do chão nas patas do cavalo, o que o impulsiona. O cavalo por estar preso à carroça, exerce uma força nela, e da mesma forma por ação e reação, a carroça exerce uma força de mesmo módulo mas de sentido oposto no cavalo. Como a carroça e o cavalo fazem parte do mesmo sistema, essas forças são consideradas forças internas, logo elas não influenciam no movimento do sistema. Com o sistema se movendo, as rodas da carroça em seus referenciais vão perceber o chão se movendo. Com isso, o chão vai exercer uma força nas rodas num sentido oposto ao de movimento da carroça. Essa força é de tal forma que ela seja menor em módulo em relação à força exercida às patas do cavalo, para que o sistema consiga se movimentar.

Item A

Trabalho e energia

Pelo teorema da energia cinética: $\tau_{res}=\Delta{E_{cinetica}}=\tau_{mg}+\tau_{aluna}$

Como a variação da energia cinética é nula (Os blocos estão em repouso no início e no final do processo), temos:

$-\tau_{mg}=\tau_{aluna}$

O trabalho do peso é dado por $-mg\Delta{h}$ para um incremento positivo $\Delta{h}$ da altura do centro de massa de um dos blocos. Como 4 blocos são empilhados, determinemos o trabalho total realizado pelo peso:

$\tau_{mg} = -mge-2mge-3mge-4mge = -10mge$

onde $e$ é a espessura dos blocos. Portanto:

$\tau_{aluna} = 10mge = 5J$

item C

Calorimetria

Julgando as afirmações entre verdadeira ou falsa:

I. Falsa. Calor é um método de transferência de energia entre dois ou mais corpos.

II. Verdadeira. Concorda com a definição de calor anterior, onde essa transferência de energia seria dada pelo trânsito de energia térmica.

III. Falsa. Quando um corpo quente aquece um outro corpo frio, ocorre uma transferência de energia. A energia cedida pelo corpo quente deve ser em módulo o mesmo que a energia recebida pelo corpo frio.

Supondo um caso em que ambos os corpos variem sua temperatura, temos que:

$|Q_{ced}| = |Q_{rec}|$

$C_{quente} \Delta T_{quente} = C_{frio} \Delta T_{frio}$

As variações de temperatura estão relacionadas pelas capacidades térmicas de cada corpo. A única forma da variação das temperaturas serem iguais, seria no caso das capacidades térmicas iguais, mas isso não ocorre sempre.

IV. Falsa. A grandeza que indica o nível de energia cinética de um corpo de uma forma generalizada é a Energia Térmica do corpo, pois está associada ao grau de agitação das moléculas, e com isso, o movimento das mesmas.

Item A

Termodinâmica: Calor

A medida que a vela acesa transfere energia térmica para o copo, o mesmo funciona como um condutor térmico que transfere esse calor para água. A água aumenta de temperatura e eventualmente evapora, dissipando grande parte da energia fornecida ao sistema pela vela. Então, se olharmos para um ponto P qualquer do fundo do copo, não havéra um acúmulo significativo de energia naquele ponto, o que faz ele não queimar. Quando toda água evaporar, não haverá essa grande dissipação de energia por parte da água, e o copo poderá queimar. Observe, porém que uma chama suficientemente intensa pode alterar o fenômeno: imagine a interface de separação entre o ambiente externo contendo a vela e a água. Essa interface é o fundo copo. O "calor" que será transferido para a água não ocorre instantaneamente, de fato, esse tempo é ínfimo. Sendo assim, a "onda de calor" demora um tempo finito para atravessar a espessura do fundo do copo. Enquanto isso, se imaginarmos uma grande fonte de energia térmica, o mesmo ponto P citado anteriormente agora sofre um acúmulo de energia térmica, visto que o calor ainda não chegou na água via condução, e poderá esquentar rapidamente. Conclusão: o fenômeno é perfeitamente possível, devido à dissipação de energia pela água. Pórem, uma chama suficientemente intensa pode fazer com que o copo queime antes de toda água evaporar.

item E

Termodinâmica: Calor

A funcionalidade do jarro de barro com poros é totalmente análoga com o sistema de transpiração humano: através dos poros flui parte da água que sofre evaporação. Como evaporação é um processo endotérmico, calor é "roubado" da água de dentro do barro, resfriando-a. Assim como nosso suor tem como função diminuir a temperatura da pele. Logo, item a é o correto.

item A

Queda livre e colisões

Não fica claro pelo enunciado o que o aluno quis dizer por "peso equivalente". Supõe-se que seja simplesmente o peso da partícula. Analisemos cada afirmativa:

I. Verdadeiro. O peso, que a é a força de interação gravitacional entre a partícula e a Terra, só depende de constantes e da distância até o centro da Terra.

II. Falso. Nas proximadades da superfície da Terra é a gravidade é tida como constante e igual a $10\frac{m}{s^2}$. Portanto, o peso $mg=5 N$

III. Falso. Contradição direta de (1)

IV. Verdadeiro. A força sentida pelo solo está diretamente relacionada com a variação da quantidade de movimento e o tempo de contato durante o choque. Pelo teorema do Impulso: $F_{media}=\frac{m\Delta{V}}{\Delta{t}}$

A velocidade da partícula após o choque é relacionada com a velocidade logo antes do choque através do coeficiente de restituição $e$, uma constante que depende do material:

$|V_1|=e|V_0|=e\sqrt{2gh}\to \Delta{V}=V_1-V_0=(e+1)\sqrt{2gh}$

onde a h é a altura do prédio. O tempo de contanto também depende do material. Intuitivamente, é de se esperar que um material duro tenha um tempo mais curto do que uma material fofo. Logo:

$F_{media}=\frac{m(e+1)\sqrt{2gh}}{\Delta{t(e)}}$

onde o subscrito em $\Delta{t}$ nos diz que o tempo, em geral, é função do coeficiente de restituição.

Item C

Dinâmica e Leis de Newton

Ter uma ideia de como funciona a tração nas rodas do carro facilita a resolver este problema. De forma simples, o motor do carro faz com que as rodas que apresentam tração girem. Estas rodas giram de tal forma que "empurram" o chão através de uma força de atrito $F_{at}$. Pela $3^a$ Lei de Newton, o chão exerce uma reação nas rodas do carro, "empurrando" o carro na direção que ele vai se mover. Para as rodas que não possuem tração, quando o carro começa a se mover é como se o chão estivesse se movendo em relação a elas, ocasionando também uma segunda força de atrito $F_{at}'$, que atua no sentido oposto ao movimento do carro, e para que o carro acelere, deve ser de módulo menor que $F_{at}$.

Neste caso, como o carro se movimenta da direta para a esquerda, as rodas que apresentarem o sentido das forças de atrito sentidas por elas no sentido do movimento do carro serão as rodas com tração, e as que apresentarem um sentido contrário ao movimento do carro serão as rodas sem tração. Logo, conclui-se que as rodas traseiras apresentam tração enquanto as rodas dianteiras não.

Item D

Leis de Newton

Para que o carrinho de madeira se mantenha no movimento retilíneo uniforme, pela $1^a$ Lei de Newton temos que a força resultante no carrinho deve ser nula. Fazendo um diagrama das forças atuantes no carrinho, temos que seu peso e uma força normal com o solo atuam na direção vertical mas em sentidos opostos, enquanto a força $F$ e a força de atrito com o chão atua na direção horizontal, também em sentidos opostos. Para que este corpo tenha uma força resultante igual a zero, devemos ter que:

$|F| = |F_{atrito}|$

$|F_{peso}| = |F{normal}|$

Se tem então a alternativa c)

Item C

Leis de Newton

Neste problema, basta relembrar os enunciados das $2^a$ e $3^a$ Leis de Newton. Destas podemos tirar de forma breve que:

$2^a$ Lei de Newton: Principio Fundamental da Dinâmica.

$\vec a = \frac{\vec F}{m}$

Sendo $\vec a$ a aceleração do corpo, $\vec F$ a força resultante nele e $m$ sua massa.

$3^a$ Lei de Newton: Principio de ação e reação.

A força que um corpo exerce em outro é sentida por uma reação em mesmo módulo mas em direção oposta.

Destas, podemos inferir que:

I. Falsa, pois não segue a $3^a$ Lei de Newton.

II. Verdadeira, neste caso seguindo a $3^a$ Lei de Newton

III. Verdadeira, pois já que o pássaro possui uma massa muito menor que a massa do avião, pela $2^a$ Lei de Newton deverá então, para uma mesma força, ter uma maior aceleração que a aceleração do avião.

Item E

Dinâmica

Um bloquinho em um plano inclinado com coeficientes de atrito estático e cinético $\mu _{est}$ e $\mu _{cin}$ dependendo da inclinação $\theta$, pode acelerar ou desacelerar, dependendo somente do ângulo. Neste caso, em que o bloquinho estava em repouso e só se moveu quando o plano atingiu um ângulo qualquer $\alpha$, indica que o bloquinho acelerou nessa situação. Mantendo o ângulo fixo significa que o bloquinho continuará a acelerar, ou seja, a aumentar sua velocidade.

Para achar a aceleração do bloquinho ao longo do plano, escrevemos a força resultante que atua nesse eixo, sendo:

$F_{res} = mg \sin(\alpha) - \mu N$

Com $N = mg\cos(\alpha)$, para que o bloquinho não se desprenda do plano, temos que:

$F_{res} = ma = mg \sin(\alpha) -\mu mg\cos(\alpha)$

$a = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Que não depende da massa do bloquinho, logo apena a afirmativas I está correta.

Item C

Cinemática

Podemos calcular a velocidade média que um ônibus possui ao fazer esse trecho, de tal forma que:

$V_{media} = \dfrac{\Delta S}{\Delta t}$

$V_{media} = \dfrac{720}{12}$

$V_{media} = 60$ $\frac{km}{h}$

Chamando de $A$ o ônibus que partiu da cidade $A$ e $B$ o ônibus que partiu da cidade $B$ e definindo o sentido positivo como sendo de $A$ para $B$, podemos utilizar a equação horária do espaço no movimento retilíneo uniforme para descobrir onde $A$ estava quando $B$ saiu da cidade $B$.

Como $A$ havia partido às $7$ horas e $B$ havia partido às $12$ horas:

$S_A = S_{oA} + V_At$

$S_A = 60t$

$S_A = 60*5$

$S_A = 300$ $km$

A partir desse momento, podemos redefinir o instante que começamos a cronometrar os movimentos de $A$ e $B$, mudando o ínicio de $7$ horas para $12$ horas, alterando então a função horária do espaço de $A$. Escrevendo as novas funções horárias:

$S_A = S_{oA} + V_At$

$S_A = 300 + 60t$

$S_B = S_{oB} + V_Bt$

$S_B = 720 - 60t$

Para que os ônibus se encontrem, suas posições devem ser as mesmas, logo:

$S_A = S_B = S_{encontro}$

$300 + 60t = 720 - 60t$

$120t = 420$

$t =3,5$ $h$

Este é então o tempo de encontro, substituindo-o para achar a posição de encontro:

$S_{encontro} = 300 +60*3,5$

$S_{encontro} = 510$ $km$

Logo os ônibus se encontram a $510$ $km$ da cidade $A$.

Item A

Cinemática

Pegando o resultado do tempo de encontro obtido na solução da questão anterior, temos que lembrar que ele é definido a partir do instante que $B$ sai da cidade $B$, que foi às $12$ horas. Como $t_{encontro} = 3,5$ $h$ $=$ $3$ horas e $30$ minutos, nós temos que o horário de encontro foi às $15$ horas e $30$ minutos.

Item D

Trabalho e Energia

O trabalho de uma força $F$ que atua durante um deslocamento $d$, no mesmo sentido, é dado por:

$\tau = Fd$

Com isso, temos que o trabalho durante a penetração é:

$\tau = 20*0,02$

$\tau = 0,4$ $J$

Item A

Análise dimensional

Utilizando a notação que representa a unidade de medida de uma grandeza como sendo:

$[X]=$ unidade de medida de $X$

Com isso, no Sistema Internacional de Medidas (ou S.I.):

$[P] = W$

$[A] = m^2$

$[T] = K$

Temos que:

$[S] = \dfrac{[P]}{[A][T]^4}$

$[S] = \dfrac{W}{m^2K^4}$

Item B