OBF 2019 - Primeira Fase (Nível 2)

Mecânica: segunda lei de Newton

Utilizando a segunda lei de Newton:

$F-mg=ma$

Logo:

$a=\frac{F}{m}-g$

Usando que $1 km=1000 m$, chegamos no resultado da aceleração:

$a=4990\frac{m}{s^2}{\approx}{50\frac{km}{s^2}}$

item A

Mecânica: Trabalho e energia

A força resultante é constante se desconsiderarmos a massa perdida de combustível.

Logo:

$\tau{res}=F{res}.d=(F-mg).d$

Substituindo os valores númericos, chegamos em:

$\tau{res}=9,998.10^{10} J{\approx}{10,0.10^{10} J}$

item C

Mecânica: segunda lei de Newton

Como o peso do corpo vale $30 N$, sua massa é:

$m=\frac{30}{10}kg=3kg$

Dado que a força é constante, a aceleração também será. Pela expressão da velocidade para um M.R.U.V, temos:

$v=at{\to}a=\frac{v}{t}=\frac{18}{1,5} m/s^2=12 m/s^2$

Logo:

$F=ma=12.3 N=36 N$

item E

Mecânica: segunda lei de Newton

A aceleração será, da mesma forma que na questão anterior, dada por:

$a=12 m/s^2$

E a força resultante:

$F{res}= 36 N$

Logo, levando em conta a força de atrito, dada por:

$F_{at}={\mu}P=6 N$

Teremos:

$F{res}=F-F_{at}{\to}F=42 N$

item D

Mecânica: terceira lei de Newton

Considerando o cavalo e a carroça fazendo parte de um sistema que interage com o solo, o cavalo para movimentar a carroça deve empurrar o chão com suas patas, o que ocasiona pela $3^a$ Lei de Newton uma reação do chão nas patas do cavalo, o que o impulsiona. O cavalo por estar preso à carroça, exerce uma força nela, e da mesma forma por ação e reação, a carroça exerce uma força de mesmo módulo mas de sentido oposto no cavalo. Como a carroça e o cavalo fazem parte do mesmo sistema, essas forças são consideradas forças internas, logo elas não influenciam no movimento do sistema. Com o sistema se movendo, as rodas da carroça em seus referenciais vão perceber o chão se movendo. Com isso, o chão vai exercer uma força nas rodas num sentido oposto ao de movimento da carroça. Essa força é de tal forma que ela seja menor em módulo em relação à força exercida às patas do cavalo, para que o sistema consiga se movimentar.

Item A

Mecânica: Teorema do Impulso

Pela segunda lei de Newton:

$F=ma=m\frac{\Delta{V}}{\Delta{t}}$

como $m\Delta{V}=\Delta{Q}$, onde $Q$ é quantidade de movimento da partícula, temos:

$F\Delta{t}=\Delta{Q}$

Analisando o movimento da partícula na horizontal, vemos que a única força que atua nela é o atrito, dado por: $F=F_{fat}={\mu}mg$

Logo:

$\mu=\frac{\Delta{Q}}{mg\Delta{t}}=0,2$

item B

Trabalho e energia

Pelo teorema da energia cinética: $\tau_{res}=\Delta{E_{cinetica}}=\tau_{mg}+\tau_{aluna}$

Como a variação da energia cinética é nula (Os blocos estão em repouso no início e no final do processo), temos:

$-\tau_{mg}=\tau_{aluna}$

O trabalho do peso é dado por $-mg\Delta{h}$ para um incremento positivo $\Delta{h}$ da altura do centro de massa de um dos blocos. Como 4 blocos são empilhados, determinemos o trabalho total realizado pelo peso:

$\tau_{mg}=-mge-2mge-3mge-4mge=-10mge$

onde $e$ é a espessura dos blocos. Portanto:

$\tau_{aluna}=10mge=5J$

item D

Segunda lei de Newton (F=ma)

Pela segunda lei de Newton:

$F=ma\to a=\frac{F}{m}$

Sabemos que a distância percorrida por um corpo em M.U.V é:

$d=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}\frac{F}{m}t^2$

Pelo enunciado, a distância e a força nas duas situações são iguais, logo:

$\frac{Ft_1^2}{2m_1}=\frac{Ft_2^2}{2m_2}$

Como $m_1=2m_2$:

$\frac{t_1}{\sqrt2}=t_2$

item A

Conservação de energia (Equação de Torriceli)

Aplicando torricelii para o ponto mais alto da trajetória dos corpos:

$v^2=2gh$

O resultado é independente das massas. Como a altura atingida por (A) é 4 vezes maior que a atingida por (B), vemos, pela equação acima, que sua velocidade inicial é o dobro da de (B).

item A

Queda livre e colisões

Não fica claro pelo enunciado o que o aluno quis dizer por "peso equivalente". Supõe-se que seja simplesmente o peso da partícula. Analisemos cada afirmativa:

1) Verdadeiro. O peso, que é a força de interação gravitacional entre a partícula e a Terra, só depende de constantes e da distância até o centro da Terra.

2) Falso. Nas proximadades da superfície da Terra a gravidade é tida como constante e igual a $10\frac{m}{s^2}$. Portanto, o peso $mg=5 N$

3) Falso. Contradição direta de (1)

4) Verdadeiro. A força sentida pelo solo está diretamente relacionada com a variação da quantidade de movimento e o tempo de contato durante o choque. Pelo teorema do Impulso:

$F_{media}=\frac{m\Delta{V}}{\Delta{t}}$

A velocidade da partícula após o choque é relacionada com a velocidade logo antes do choque através do coeficiente de restituição $e$, uma constante que depende do material:

$|V_1|=e|V_0|=e\sqrt{2gh}\to \Delta{V}=V_1-V_0=(e+1)\sqrt{2gh}$

onde a h é a altura do prédio. O tempo de contanto também depende do material. Intuitivamente, é de se esperar que um material duro tenha um tempo mais curto do que uma material fofo. Logo:

$F_{media}=\frac{m(e+1)\sqrt{2gh}}{\Delta{t(e)}}$

onde o subscrito em $\Delta{t}$ nos diz que o tempo, em geral, é função do coeficiente de restituição.

item C

Vetores

Utilizando a regra do paralelogramo, concluímos que:

$AB+AD=AC$

Logo, a premissa falsa é a em (b).

item B

Segunda Lei de Newton (F=ma)

A segunda lei de Newton é escrita na forma vetorial:

$\vec{F_{res}}=m\vec{a}=m\frac{\Delta{\vec{V}}}{\Delta{t}}$

Vemos, portanto, que uma força resultante nula significa um vetor velocidade que não varia durante o movimento. Observe que o tratamento é vetorial, então para que a velocidade da partícula não varie, o módulo, sentido e direção da velocidade deve permanecer constante.

1) Sim. O vetor velocidade conserva módulo, direção e sentido.

2) Não. Apesar do módulo da velocidade permanecer constante, sua direção muda a medida que o tempo passa.

3) Não. Durante todo o movimento de queda livre, a força sentida pela partícula é $m\vec{g}$, independente da velocidade, que no momento proposto é zero. 3)

item E

Óptica: lentes

Primeiramente, o aluno deve identificar os tipos de lentes da figura 1 e 2. A figura 1 representa uma lente divergente enquanto a outra representa uma convergente. A patir disso, associa-se cada tipo de lente com sua determinada função: a lente que corrige a miopia é do tipo divergente; Nosso cristalino tem bordas finas, aspecto semelhantes ao de uma lente convergente; A lente usada numa lupa é do tipo convergente. Logo, a seguência correta é: 1,2,2.

item E

Óptica: espelho plano

Podemos usar a lei da reflexão e concluir que o ângulo de incidência é igual o ângulo de reflexão. Dessa forma, o aluno, sabendo desse fato, facilmente traceja o caminho dos raios refletidos no papel quadriculado. O ponto procurado acaba por ser o 2.

item A

Ondas tranversais

Assim como na questão 14, devemos usar a escala fornecida no papel quadriculado para obter as relações entre as distâncias. Mas primeiro, devemos identificar as grandezas pedidas na questão: O comprimento de onda é definido como a distância (horizontal) entre dois pontos da onda que se repetem. Ou seja, é a distancia entre duas cristas consecutivas (pontos mais altos), como também é a distância entre dois vales consecutivos (pontos mais baixos). A amplitude de alguma grandeza que varia senoidalmente, geralmente, é definida por:

$A=\frac{Valor_{max}-Valor_{min}}{2}$

Portanto, se adortarmos um sistema de eixo cartesianos, com o eixo $x$ coincidindo com os vales da onda, teremos:

$\lambda=8x$ e $A=\frac{4x-0}{2}=2x$

Onde $x$ é a escala do papel quadriculado. Logo:

$\frac{A}{\lambda}=\frac{2x}{8x}=\frac{1}{4}$

Observe que poderíamos adotar outro sistema de coordenadas, como o eixo $x$ coincidindo com traçado horizontal inicial da onda, você deve obter o mesmo resultado, visto que o resultado é independente do sistema de coordenadas.

item C

Termodinâmica: Gás ideal

Essa questão é facilmente resolvida pelo uso da equação de Clapeyron:

$PV=nRT$

Ou seja, a temperatura em certo ponto do diagrama é proporcional ao produto do volume e da pressão. Note que o ponto $a$ tem tanto o menor volume quanto a menor pressão, logo tem a menor temperatura. Em seguida, o ponto $b$ tem a mesma pressão do ponto $a$, mas seu volume é maior, então possui uma temperatura maior que a dele, contudo, o ponto $c$ possui mesmo volume que o ponto $b$ e maior pressão, sendo assim, tem temperatura maior que a do ponto $b$. Sendo assim, concluímos:

$T_{A}<T_{B}<T_{C}$

item A

Termodinâmica: Energia interna

Analisemos cada item:

1-Verdadeiro. Considerando o gás como ideal, sua energia interna total é dada por:

$U=knRT$

Onde $k$ é uma constante numérica e $n$ é o número de mols do gás. Portanto, sabendo que $n=\frac{N}{N_a}$ onde $N_a$ é o número de Avogadro e $N$ o número de partículas (moléculas) do gás, podemos escrever:

$\frac{U}{N}=\frac{kRT}{N_a}$

A expressão acima fornece a energia cinética média por molécula, que é independente de $M$, a massa molar do gás.

2- Falso. Contradição direta de 1 e do próprio enunciado.

3- Falso. No modelo de gás ideal, são desconsideradas as colisões internas entre as partículas do gás e todas as colisões com as paredes do recipiente são consideradas elásticas.

item B

Calor e temperatura

Analisemos cada item:

1-Falso. Calor representa a transição de energia térmica entre dois sistemas termodinâmicos, completamente diferente do conceito de temperatura.

2-Verdadeiro. Conforme dito em 1.

3-Falso. O calor que um cede é igual ao calor que o outro recebe, considerando um sistema isolado. Porém, a variação da temperatura leva em conta a capacidade térmica dos dois corpos, uma propriedade do material.

$Q_1=Q_2$ $\therefore$ $C_1\Delta{T_1}=C_2\Delta{T_2}$.

Logo, em geral:

$\Delta{T_1}\ne{T_2}$

4-Falso. Calor é um fenômeno transitório, não nos diz nada a respeito do estado atual do sistema, diferentemente das chamadas funções de estado que possuem essa propriedade.

item D

Termodinâmica: Calor

A medida que a vela acesa transfere energia térmica para o copo, o mesmo funciona como um condutor térmico que transfere esse calor para água. A água aumenta de temperatura e eventualmente evapora, dissipando grande parte da energia fornecida ao sistema pela vela. Então, se olharmos para um ponto P qualquer do fundo do copo, não havéra um acúmulo significativo de energia naquele ponto, o que faz ele não queimar. Quando toda água evaporar, não haverá essa grande dissipação de energia por parte da água, e o copo poderá queimar. Observe, porém que uma chama suficientemente intensa pode alterar o fenômeno: imagine a interface de separação entre o ambiente externo contendo a vela e a água. Essa interface é o fundo copo. O "calor" que será transferido para a água não ocorre instantaneamente, de fato, esse tempo é ínfimo. Sendo assim, a "onda de calor" demora um tempo finito para atravessar a espessura do fundo do copo. Enquanto isso, se imaginarmos uma grande fonte de energia térmica, o mesmo ponto P citado anteriormente agora sofre um acúmulo de energia térmica, visto que o calor ainda não chegou na água via condução, e poderá esquentar rapidamente. Conclusão: o fenômeno é perfeitamente possível, devido à dissipação de energia pela água. Pórem, uma chama suficientemente intensa pode fazer com que o copo queime antes de toda água evaporar.

item E

Termodinâmica: Calor

A funcionalidade do jarro de barro com poros é totalmente análoga com o sistema de transpiração humano: através dos poros flui parte da água que sofre evaporação. Como evaporação é um processo endotérmico, calor é "roubado" da água de dentro do barro, resfriando-a. Assim como nosso suor tem como função diminuir a temperatura da pele. Logo, item a é o correto.

item A

Mecânica: conceitos de referenciais inerciais

Se um referencial se move com velocidade constante (em módulo, sentido e direção) em relação a um referencial inercial, o primeiro também é inercial. Logo, a segunda Lei de Newton permanece inalterada nesse dois referenciais. Se nenhuma força adicional surge quando analisamos o problema no segundo referencial, o período será o mesmo.

item C

Termodinâmica: dilatação térmica

Não fica claro pelo enunciado, mas supõe-se que o comando da questão seja encontrar a diferença entre as variações dos diamêtros, ao invés da diferença entre os diamêtros. As circunferências interna e externa se dilatam, e as variações correspondentes são:

$\Delta{{\pi}d_1}={\pi}d_{01}{\alpha}\Delta{T}$ e $\Delta{{\pi}d_2}={\pi}d_{02}{\alpha}\Delta{T}$

Onde $\Delta{T}$ é a variação de temperatura. Nessa questão: $\Delta{T}=250K$

Logo:

$\Delta{d_1}-\Delta{d_2}=(d_{01}-d_{02}){\alpha}\Delta{T}$

Inserindo os valores números fornecidos no enunciado, chegamo na resposta:

$0,008cm$.

item D

Mecânica: colisões

A consideração aqui feita será a seguinte: dado que as bolas são não elásticas, não haverá qualquer deformação nelas, elas são extremamente rígidas. Sendo assim, não armazenarão energia elástica e a energia total do sistema será só cinética. Isso caracteriza uma colisão elástica. Agora, analisemos cada afirmativa:

1-Verdadeiro. Conforme dito acima, a colisão é elástica e a energia cinética total se conserva.

2-Verdadeiro. Como a colisão é frontal, o movimento dos corpos se dá em uma reta e a análise pode ser feita de maneira escalar. Para provar esse fato, devemos nos atentar que após a colisão os corpos "trocam" de velocidade. Por conservação da quantidade de movimento e energia cinética:

$v_{01}=v_{02}=v_1+v_2$                 e                            $v_{01}^2+v_{02}^2=v_1^2+v_2^2$

Visualmente conclui-se que:

$v_2=v_{01}$        e        $v_1=v_{02}$

Visto que esse par de equações satisfaz simultaneante as equações fundamentais. Logo:

$|mv_{01}|+|mv_{02}|=|mv_2|+|mv_1|$                            c.q.d.

3-Verdadeiro. Pela conservação de momento a primeira premissa é verdadeira. Como a colisão é elástica, a energia cinética se conserva.

4-Verdadeiro. Cancelando as massas e aplicando módulo nos dois lados da equação da conservação de momento:

$|v_{1}-v_{01}|=|v_2-v_{02}|{\to}\Delta{v_1}=\Delta{v_2}$

OBS: Há outra interpretação para esse problema, onde a colisão é, na verdade, inelástica, com um certo coeficiente de restituição $e$. Nessa caso, não há conservação de energia cinética, invalidando os itens 1 e 3. O item 4 permanece verdadeiro visto que só decorre da conservação da quantidade de movimento, que é sempre válida. Quanto ao item 2, ele será falso. Visto que em sua solução utilizamos conservação de energia cinética. Nenhum item atende a esse caso, onde apenas o item 4 está certo. Portanto, é de se esperar que a interpretação ''correta" seria a primeira.

item B

Termodinâmica: maquinas térmicas

Analisemos cada item:

1- Verdadeiro. Em qualquer ciclo termodinâmico, a eficiência é dada por:

$E=1-\frac{|Q_c|}{Q_r}$

Onde $Q_c$ é o calor cedido pela susbstância de trabalho, que é negativo, por isso utiliza-se o seu módulo na expressão acima e $Q_r$ é o calor recebido. Um fato interessante é que, no ciclo de Carnot, essas quantidades são tais que:

$\frac{|Q_c|}{Q_r}=\frac{T_1}{T_2}$

Dessa forma, a eficiência fica expressa somente em função das temperaturas extremas em que a maquina opera.

2-Verdadeiro ou Falso. Para um processo ser reversível duas condições devem ser satisfeitas: o processo deve ser suficientemente lento, para que possamos considerar o sistema sempre em equilíbrio termodinâmico. Fora isso, não pode haver atrito atuando no sistema. Essas condições não dizem nada a respeito de isotérmicas e trocas de calor. Então, se uma maquina térmica for posta a operar em processos em que essas condições sejam satisfeitas, ela pode ser considerada reversível. A divergência no resultado desse item vem do fato de qual maquina térmica reversível estamos falando: se a maquina for ideal e operar sujeita a um ciclo de Carnot, o processo é composto por duas adiabáticas (não há troca de calor) e duas isotérmicas. E, de fato, as trocas de calor devem ser feitas nas isotérmicas, ou seja, a temperatura constante.

3-Verdadeiro. Violação da segunda lei da Termodinâmica, de acordo com o enunciado de Kelvin:

"É impossível realizar um processo cujo único efeito seja remover calor de um reservatório térmico e produzir uma quantidade equivalente de trabalho."

item E ou item C

Análise dimensional

Primeiramente, devemos identificar as unidades de potência, área e temperatura:

$[Potencia]=\frac{Energia}{tempo}=\frac{\frac{kg.m^2}{s^2}}{s}$

$[Area]=m^2$

$[Temperatura]=K$

Englobando as três equações acima em $S$, obtemos:

$S=\frac{kg}{s^3K^4}$

item B