Escrito por Matheus Ponciano
Questão 1:
Um novo modelo de automóvel está sendo submetido a um teste no qual deve percorrer uma distânica de $$120$$ $$km$$, que é dividida em três trechos sucessivos, cada um caracterizado por uma velocidade escalar média. No primeiro trecho de $$\frac{2}{6}$$ do percurso total sua velocidade escalar média deve ser de $$50,0$$ $$km/h$$, que é a velocidade máxima recomendada pela OMS (Organização Mundial da Saúde). No segundo trecho, de $$\frac{3}{6}$$ do percurso total, sua velocidade escalar média deve ser $$80,0$$ $$km/h$$, que é o limite de velocidade da maioria das vias expressas brasileiras. No trecho restante sua velocidade escalar média deve ser $$20,0$$ $$km/h$$ que é uma velocidade escalar média típica de tráfego em vias congestionadas. Qual é a velocidade escalar média do carro considerando o percurso total?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Cinemática.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para descobrir a velocidade média para o percurso completo, basta dividir o comprimento total do percurso ($$d=120$$ $$km$$) pelo tempo total necessário para fazer este trajeto. Podemos então obter o tempo para cada trecho e somá-los para obter o tempo total. Dessa forma, o tempo de cada trecho é:
Trecho 1:
$$t_1 = \dfrac{d_1}{v_1}$$
$$t_1 = \dfrac{\dfrac{2}{6}*120}{50}$$
$$t_1 = \dfrac{4}{5}$$
$$t_1 = 0,8 $$ $$h$$
Trecho 2:
$$t_2 = \dfrac{d_2}{v_2}$$
$$t_2 = \dfrac{\dfrac{3}{6}*120}{80}$$
$$t_2 = \dfrac{3}{4}$$
$$t_2 = 0,75$$ $$h$$
Trecho 3:
$$t_3 = \dfrac{d_3}{v_3}$$
$$t_3 = \dfrac{\dfrac{1}{6}*120}{20}$$
$$t_3 = \dfrac{20}{20}$$
$$t_3 = 1$$ $$h$$
A velocidade média é então:
$$v = \dfrac{d}{t}$$
$$v = \dfrac{d}{t_1 + t_2 + t_3}$$
$$v = \dfrac{120}{0,8 + 0,75 +1}$$
$$v = \dfrac{120}{2,55}$$
$$v \approx 47,1 $$ $$km/h$$
Transformando para $$m/s$$
$$v = \dfrac{47,1}{3,6}$$
$$v \approx 13,1$$ $$m/s$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$v \approx 13,1$$ $$m/s$$
[/spoiler]
Questão 2:
Satélites geoestacionários estão em órbitas tais que, sob o ponto de vista de um observador na Terra, permanecem fixos. Esses satélites são principalmente utilizados por redes de comunicação que atendem a uma região fixa da Terra. Ligações telefônicas e transmissões televisivas de longa distância, geralmente são feitas por esse tipo de satélite. A terceira lei de Kepler, aplicada a órbitas circulares, estabelece que o período $$T$$ de translação de um corpo e o raio $$R$$ de sua órbita se relacionam de modo que $$\dfrac{T^2}{R^3}$$ é uma constante. Suponha dois satélites $$E$$ e $$F$$ em órbitas circulares e coplanares, com o satélite $$E$$ em órbita geoestacionária e o satélite $$F$$ com órbita de raio $$21$$% maior que o satélite $$E$$. (a) Qual o período de translação do satélite $$f$$ em horas? (b) Suponha um instante no qual os satélites $$E$$ e $$F$$ estão alinhados com um ponto na superfície da Terra e determine o menor intervalo de tempo, em horas, para que isso ocorra novamente.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Gravitação, MCU.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Já que o satélite $$E$$ é geoestacionário, ele deve ter a mesma velocidade angular que a Terra, para que uma pessoa veja ele parado. Dessa forma, o seu período deve ser o mesmo que o período de rotação da Terra. Logo:
$$T_E = 24$$ $$h$$
Utilizando a terceira lei de Kepler:
$$\dfrac{T^2}{R^3} = cte$$
$$\dfrac{T_E^2}{R_E^3} = \dfrac{T_F^2}{R_F^3}$$
$$T_F^2 = T_E^2 \left( \dfrac{R_F}{R_E} \right) ^3$$
$$T_F =T_E \left( \dfrac{R_F}{R_E} \right) ^{\dfrac{3}{2}}$$
O raio de $$F$$, $$R_F$$, é $$21$$% maior que o raio de $$E$$, $$R_E$$. Dessa forma, temos:
$$R_F = 1,21*R_E$$
$$\dfrac{R_F}{R_E} = 1,21$$
Substituindo:
$$T_F = T_E \left(1,21\right)^{\dfrac{3}{2}}$$
$$T_F = T_E (1,1)^3$$
$$T_F =1,331*T_E$$
$$T_F = 1,331*24$$
$$T_F =31,944$$
$$T_F \approx 32$$ $$h$$
b) Para que o tempo de encontro seja mínimo, os satélites devem estar girando em sentidos contrários. Ao se movimentarem no mesmo sentido, eles também se encontrarão, mas demorará mais (cerca de $$96$$ $$h$$). Como a questão não especifica, ficamos nessa ambiguidade e se é decidido calcular o menor tempo possível.
As velocidades angulares para cada satélite são:
$$\omega_E = \dfrac{2\pi}{T_E}$$
$$\omega_F = -\dfrac{2\pi}{T_F}$$
A velocidade angular de $$F$$ em relação a $$E$$ é então:
$$\omega_r = \omega_E -\omega_F$$
$$\omega_r = \dfrac{2\pi}{T_E} + \dfrac{2\pi}{T_F}$$
$$\omega_r = 2\pi \left(\dfrac{1}{T_E} +\dfrac{1}{T_F}\right)$$
$$\omega_r = 2\pi \left(\dfrac{T_F +T_E}{T_FT_E} \right)$$
Nesse referencial, o satélite $$E$$ está parado e o satélite $$F$$ dará uma volta, percorrendo então um ângulo de $$\theta = 2\pi$$. Assim:
$$2\pi = \omega_rt$$
$$2\pi = 2\pi \left(\dfrac{T_F +T_E}{T_FT_E} \right) t$$
$$t = \dfrac{T_FT_E}{T_F+T_E}$$
$$t = \dfrac{32*24}{32+24}$$
$$t =\dfrac{32*24}{56}$$
$$t = 13,714$$ $$h$$
$$t \approx 13,7$$ $$h$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$t \approx 13,7$$ $$h$$
[/spoiler]
Questão 3:
Em um laboratório didático, uma estudante deve fazer as marcas para a escala linear de um termômetro de mercúrio. O equipamento foi fabricado encerrando-se uma certa quantidade de mercúrio em um recipiente de vidro, de coeficiente de dilatação desprezível, de paredes muito finas e inicialmente vazio (vácuo). A figura abaixo ilustra esquematicamente o recipiente, que é formado por um bulbo esférico ligado a um tubo cilíndrico muito fino (capilar). Ele está acoplado a uma placa fixa sobre a a qual devem ser feitas as marcas da escala. Para efeitos de calibração, o equipamento vem com duas marcas já feitas e que correspondem às temperaturas de $$20^o$$ $$C$$ e $$60^o$$ $$C$$. A tarefa da estudante é acrescentar duas outras marcas $$T_m$$ e $$T_M$$ que devem corresponder, respectivamente, às mínima e máxima temperaturas que esse equipamento pode medir. Considerando ainda que as marcas devem ser feitas para valores inteiros de temperatura na escala Celsius, quais os valores de $$T_m$$ e $$T_M$$ que a estudante deve acrescentar à escala?
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Termometria.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A escala é linear, então a relação entre a temperatura em Celsius e a altura do mercúrio deve ser algo do tipo:
$$T = T_o + a*H$$
Onde $$T_o$$ é a temperatura quando o mercúrio está na altura $$0$$ e $$H$$ é a altura da coluna de mercúrio.
Tendo uma variação de temperatura relacionada à uma variação de altura, sendo ambas conhecidas, podemos descobrir o valor de $$a$$. Pela figura, temos que uma variação de $$40^o$$$$C$$ está relacionada à um aumento de $$6$$ $$cm$$ da coluna de mercúrio, desta forma:
$$a = \dfrac{\Delta T}{\Delta H}$$
$$a =\dfrac{40}{6}$$
$$a =\dfrac{20}{3}$$
Dessa forma podemos descobrir $$T_o$$:
$$T = T_o + \dfrac{20}{3}H$$
Para a temperatura de $$20^o$$$$C$$:
$$20 = T_o + \dfrac{20}{3}*5$$
$$T_o = 20 -\dfrac{100}{3}$$
$$T_o = \dfrac{20*3 – 100}{3}$$
$$T_o = -\dfrac{40}{3}$$
$$T_o \approx – 13,3^o$$$$C$$
Podemos então descobrir a maior temperatura mensurável, que é na ponta de cima do termômetro:
$$T_f = -\dfrac{40}{3} + \dfrac{20}{3}*25$$
$$T_f = \dfrac{500-40}{3}$$
$$T_f = \dfrac{460}{3}$$
$$T_f \approx 153,3^o $$$$C$$
Para a marcação da escala, $$T_m$$ deve ser o menor inteiro maior que $$T_o$$ e $$T_M$$ deve ser o maior inteiro menor que $$T_f$$, dessa forma:
$$T_m>-13,3$$
$$T_m= -13^o$$$$C$$
$$T_M<153,3$$
$$T_M = 153^o$$$$C$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$T_m= -13^o$$$$C$$
$$T_M = 153^o$$$$C$$
[/spoiler]
Questão 4:
A resistência à tração (capacidade de resistir a forças de tração sem se romper) da seda de aranha é comparável com a do aço e vale $$R_T = 2000*10^6$$ $$N/m^2$$. Considerando que um fio de aranha tem o formato cilíndrico, estime seu comprimento máximo impondo a condição que deve ser capaz de sustentar o próprio peso quando pendurado verticalmente. Sabe-se que a densidade da seda de aranha é $$\rho = 0,200 g/cm^3$$. (em sua resolução, suponha que a seda de aranha é inextensível.)
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Análise dimensional, leis de Newton.
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Por análise dimensional podemos perceber que a resistência à tração $$R_T$$ deve ser algo do tipo:
$$R_T = \dfrac{T}{A}$$
Onde $$T$$ é a tração no fio e $$A$$ é a área transversal do fio.
O fio para se sustentar deve exercer em uma de suas pontas uma tração equivalente ao próprio peso, em direção oposta para que o fio não caia. O peso do fio será:
$$P = T = m g$$
A massa $$m$$ do fio, por ser cilíndrico, será:
$$m = \rho V$$
$$m = \rho L A$$
Onde $$L$$ é o comprimento do fio. Assim:
$$T =\rho L A g$$
$$R_T = \dfrac{\rho L A g}{A}$$
$$R_T = \rho L g$$
$$L = \dfrac{R_T}{\rho g}$$
$$L = \dfrac{2000*10^6}{0,200*10^3*10}$$
$$L = \dfrac{2000*10^6}{2000}$$
$$L= 1,00*10^6 m$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$L= 1,00*10^6 m$$
[/spoiler]
Questão 5:
Uma esteira transporta cascalho até uma caçamba de comprimento $$L=2,00$$ $$m$$ localizada à sua frente. A figura abaixo, na qual $$d=1,50$$ $$m$$ e $$h =2,50$$ $$m$$, representa esquematicamente a situação de seu funcionamento. Suponha que a esteira se mova com velocidade constante e que o cascalho não rola nem escorrega sobre ela. Desconsiderando as dimensões do cascalho e o efeito resistivo do ar, determine o intervalo de velocidades no qual a esteira pode operar sem que o cascalho caia fora da caçamba.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Cinemática: lançamento horizontal em um campo gravitacional uniforme [/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
O tempo que o cascalho leva para atingir a caçamba é obtido através da relação de distância percorrida em um M.U.V
$$h=gT^2/2$$
Sendo assim
\[T=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\]
A partir do tempo de queda, obtemos o alcance do cascalho (o mesmo possui velocidade horizontal $$V$$)
\[A=VT\]
Esse mesmo alcance não pode ser menor que $$d$$ nem maior que $$L+d$$. Portanto
\[d\leq{A}\leq{L+d}\]
\[d\leq{V\sqrt{\dfrac{2h}{g}}}\leq{L+d}\]
Logo
\[d\sqrt{\dfrac{g}{2h}}\leq{V}\leq{(L+d)\sqrt{\dfrac{g}{2h}}}\]
Substituindo os valores numéricos fornecidos no enunciado
$$2,1 m/s\leq{V}\leq{4,9 m/s}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$2,1 m/s\leq{V}\leq{4,9 m/s}$$
[/spoiler]
Questão 6:
O transporte de cargas, especialmente aquelas frágeis, exige uma acomodação adequada. Para um carregamento de caixas, é necessário que elas sejam presas ou justapostas a fim de não se movimentarem no interior do compartimento de cargas. Suponha uma situação na qual este cuidado não tenha sido observado e caixas idênticas, de massa $$m=80,0$$ $$kg$$, foram simplesmente empilhadas conforme ilustrado na figura abaixo. Determine a velocidade máxima, em $$km/h$$ , que este caminhão pode trafegar, sem que as caixas escorreguem no compartimento em eventuais freadas totais que ocorrem em distâncias de no máximo $$d=10,0$$ $$m$$ com desaceleração constante. Sabe-se que o menor coeficiente de atrito estático é aquele entre uma caixa e o assoalho do compartimento de carga e vale $$\mu = 0,500$$.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Leis de Newton, cinemática
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A força de atrito estático máxima para uma pilha de caixas é:
$$F_{at} = \mu M g$$
O caminhão desacelerar com uma desaceleração constante $$a$$. Em um referencial dentro do caminhão, isto gera uma força de inércia na pilha de caixas, sendo esta força:
$$F = Ma$$
Para que a caixa não escorregue, esta força deve ser menor ou igual á força de atrito máxima. No caso limite:
$$F_{at} = F$$
$$\mu M g =M a$$
$$a = \mu g$$
$$a = 0,5 * 10$$
$$a = 5$$ $$m/s^2$$
Aplicando a equação de Torricelli no caminhão:
$$V^2 = V_o^2 + 2 a \Delta S$$
$$0 = V_o^2 – 2*5 \Delta S$$
$$V_o^2 = 10 \Delta S$$
Para a velocidade ser máxima, $$\Delta S$$ é máximo, que é no caso de ele ser igual a $$d=10$$ $$m$$. Logo:
$$V_o ^2=10*10$$
$$V_o = 10,0$$ $$m/s$$
Transformando para $$km/h$$
$$V_o = 36,0 $$ $$km/h$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$V_o = 36,0 $$ $$km/h$$
[/spoiler]
Questão 7:
Um estudante está investigando o fenômeno de flutuação e dissolução usando provetas graduadas em mililitros ($$ml$$), todas elas contendo inicialmente $$100$$ $$ml$$ de água pura. Ele ainda dispõe de sal de cozinha, limalha de ferro (densidade $$\rho_f = 8,00$$ $$g/ml$$) e um ovo de codorna de massa $$m$$ e densidade $$\rho_o= 1,05$$ $$g/ml$$. Ao acrescentar sal de cozinha em uma delas observa que, para quantidades menores que $$10,0$$ $$g$$, todo o sal se dissolve e o volume da solução permanece em $$100$$ $$ml$$. Ao acrescentar uma massa $$m$$ de limalha de ferro, igual à massa do ovo de codorna, observa que essa não se dissolve e o volume da água aumenta. Ao acrescentar o ovo de codorna em água pura, ele observa que o ovo afunda e o nível de água da proveta atinge o valor de $$112$$ $$ml$$. (a) Determine a massa $$m_s$$, em gramas, do sal de cozinha que o estudante deve acrescentar na proveta com o ovo de codorna para que esse flutue livremente na solução, ou seja, permaneça totalmente submerso sem tocas as paredes do recipiente. (b) Entre quais marcas está o nível do líquido da proveta na qual foi acrescentada a limalha de ferro? (c) O que acontece se o ovo de codorna é retirado da proveta com a água salgada e colocado na proveta com limalha de ferro? (Considere que o ovo de codorna se mantém inalterado, com volume fixo e sem ganho ou perda de matéria, nas situações experimentais descritas.)
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Propriedades da matéria.
[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Para que o ovo fique flutuando, o empuxo exercido sobre ele deve ser exatamente o seu peso. Dessa forma, temos:
$$E = P$$
$$\rho_l V_o g = \rho_o V_o g$$
$$\rho_l = \rho_o$$
Como a densidade do ovo é maior que a densidade da água($$\rho_a =1,00$$ $$g/ml$$), adiciona-se sal à água. A nova densidade da solução vai ser:
$$\rho_l = \dfrac{m_a + m_s}{V_a}$$
Temos então:
$$\rho_o*V_a = m_a + m_s$$
$$m_s = \rho_o*V_a – m_a$$
$$m_s = 1,05*100 -100$$
$$m_s = 105-100$$
$$m_s =5,00$$ $$g$$
b) Na terceira proveta, ao colocar o ovo, observa-se que a marcação do nível de água aumenta de $$100$$ $$ml$$ para $$112$$ $$ml$$. Essa variação de volume é causada pela adição do ovo, sendo este volume o volume do ovo. Assim:
$$V_o = 12$$ $$ml$$
E a massa de ovo $$m$$ é:
$$m = \rho_oV_o$$
O volume de limalha de ferro para ter a mesma massa $$m$$ será:
$$m = \rho_fV_f$$
$$\rho_oV_o = \rho_fV_f$$
$$V_f = \dfrac{\rho_oV_o}{\rho_f}$$
$$V_f = \dfrac{1,05*12}{8}$$
$$V_f = \dfrac{1,05*3}{2}$$
$$V_f = 1,5*1,05$$
$$V_f = 1,575$$
Ao colocar este volume de ferro na segunda proveta, pelo ferro não ser solúvel em água, ocorre um incremento do nível de água. A nova marcação será:
$$100 + 1,575 =101,575$$ $$ml$$
Que fica então entre as marcações de $$101$$ $$ml$$ e $$102$$ $$ml$$.
c) Na proveta que tem a limalha de ferro, o ferro está depositado no fundo da proveta, e a densidade da água permanece inalterada já que o ferro não é dissolvido pela água. O ovo então, ao ser colocado nesta proveta, afunda, pois sua densidade é maior que a da água.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$m_s =5,00$$ $$g$$
b) $$100 + 1,575 =101,575$$ $$ml$$
A água fica então entre as marcações de $$101$$ $$ml$$ e $$102$$ $$ml$$.
c) O ovo afunda.
[/spoiler]
Questão 8:
Uma carga de $$m=5,00$$ $$kg$$ pode deslizar na superfície lisa, sem atrito, de um plano inclinado de $$\theta = 30,0^o$$. A carga está presa por uma corda ao centro de uma polia móvel que por sua vez se acopla a uma polia fixa através de outra corda. Essa tem uma de suas extremidades fixas, enquanto a outra é puxada por uma força horizontal constante $$\vec F$$. Veja figura abaixo. Assuma que as cordas e polias são ideais e que o sentido positivo da aceleração da caixa aponta para cima ao longo do plano inclinado. Determine a aceleração da caixa quando a intensidade da força horizontal aplicada é $$F = |\vec F| = 10,0$$ $$N$$.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Dinâmica: plano inclinado e polias [/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como a corda é ideal, todos os pontos da mesma estão submetidos a mesma força $$F$$. Por outro lado, a polia móvel, também ideal, possui massa $$0$$, ou seja, a força resultante sentida por ela é nula. Logo, a força que a massa deve fazer na polia é $$2F$$ apontando para baixo do plano inclinado, a fim de anular a força resultante na polia móvel. Pela terceira lei de Newton, a polia exerce uma força $$2F$$ para cima do plano inclinado. Portanto, pela segunda lei de Newton
$$F_{Res}=2F-mg\sin{\theta}=ma$$
$$a=2F/m-g\sin{\theta}$$
Substituindo os valores fornecidos no enunciado, chegamos no resultado esperado
$$a=-1m/s^2$$
E, portanto, a caixa desce o plano inclinado.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a=1m/s^2$$
Descendo o plano inclinado
[/spoiler]