Primeira Fase (Nível 3)

Óptica 

As duas características determinantes de um telescópio são sua magnificação e resolução, sendo este último o fator mais proeminente na capacidade de enxergar objetos mais distantes. De maneira geral, quanto mais luz vinda de um mesmo ponto o aparato é capaz de captar, melhor será a resolução deste ponto na imagem final. Logo, concluímos que o Telescópio Espacial James Webb é capaz de ver mais longe do que o Hubble devido ao seu maior diâmetro o permitir coletar mais energia luminosa. Assim, a alternativa correta é o Item (a).

Item (a)

Circuitos elétricos: Resistores

Inicialmente, precisamos perceber que a única coisa que irá alterar a resistência são as bordas. Na primeira configuração teremos dois pedaços triangulares em série, e na segunda configuração teremos dois pedaços quadrados em paralelo.

Portanto, basta calcular a relação entre as resistências nas pontas para saber qual resistência será maior.

Como a fita é homogênea, a densidade superficial de resistência (resistência / área) será constante. Seja $\sigma$ a densidade superficial de resistência.

A área de cada um dos triângulos é:

$A_t=\dfrac{l\cdot l}{2}=\dfrac{l^2}{2}$

Logo, aresistência de cada triângulo é:

$\boxed{R_t=\dfrac{\sigma l^2}{2}}$

A área de cada um dos quadrados é:

$A_q=l\cdot l=l^2$

Logo, a resistência de cada quadrado é:

$\boxed{R_q=\sigma l^2}$

Os triângulos estão em série, logo a resistência será a soma de cada triângulo.

$R_2=R_t+R_t=\sigma l^2$

Os quadrados estão em paralelo, logo a resistência $R_1$ será dada por:

$\dfrac{1}{R_1}=\dfrac{1}{R_q}+\dfrac{1}{R_q}=\dfrac{2}{\sigma l^2}$

$R_1=\dfrac{\sigma l^2}{2}$

Portanto:

$\boxed{R_1<R_2}$

Pela fórmula da potência para um resistor, temos:

$P=\dfrac{U^2}{R}$

Vemos pela fórmula que conforme a resistência aumenta a potência diminui (para uma ddp constante). Consequentemente:

$\boxed{P_1>P_2}$

Item (c)

Item (c)

Circuitos elétricos

Primeiramente, é necessário esclarecer algo: a questão não explicita se as lâmpadas estão posicionadas em série, paralelo, ou alguma outra configuração. No entanto, ao mencionar "a corrente", podemos inferir que há somente uma corrente circulando no circuito, e o disjuntor dispararia quando esta excede o valor limite, abrindo o circuito. Para está situação, então, o circuito é composto por uma única malha, e portanto as lâmpadas estão em série. Com isso, prossigamos.

Para o circuito planejado, chame de $\varepsilon=120\;V$ a tensão da bateria, $U_0$ a tensão sobre uma lâmpada individual, $P_0=60\;W$ a potência dissipada pela lâmpada e $I_0$ a corrente no circuito. Como há $8$ lâmpadas em série, a tensão fornecida bateria é dividida: $\epsilon=8U_0$. A potência dissipada em uma lâmpada, por sua vez, é conhecida e pode ser expressa em termos da tensão e da corrente:

$P_0=U_0I_0$.

Substituindo $U_0$, encontramos o valor da corrente do uso planejado:

$I_0=\dfrac{8P_0}{\epsilon}$.

No novo circuito, digamos que há um número $N$ lâmpadas de $P_1=15\;W$ em série com a mesma bateria de antes, e no qual uma corrente $I_1$ circula. Novamente, a tensão é dividida, e portanto a tensão $U_1$ sob uma lâmpada individual do circuito é dada por $\dfrac{\epsilon}{N}$. Escrevemos a potência dissipada em cada lâmpada:

$P_1=U_1I_1 \Rightarrow I_1=\dfrac{NP_1}{\epsilon}$

Conforme informa o enunciado, se a corrente excede em $25\%$ o valor planejado - isto é, $I_1>1,25I_0$ - o disjuntor abre o circuito. Então, a condição para que isso não aconteça é $I_1 \leq 1,25I_0$. Aplicando tal condição na equação para $I_1$ e substituindo o valor encontrado de $I_0$ em função de quantidades conhecidas, encontramos uma condição sobre $N$ de forma que o disjuntor não dispare:

$\dfrac{NP_1}{\epsilon} \leq 1,25 \cdot \dfrac{8P_0}{\epsilon}$

$N \leq 10\dfrac{P_0}{P_1} = 10 \cdot \dfrac{60}{15} \Rightarrow \boxed{N \leq 40}$

Perceba, inclusive, que o resultado independe da tensão da bateria!

Sendo assim, o número máximo de lâmpadas de $15\;W$ a serem colocadas no circuito nessas condições é de $40$, número que não figura entre as alternativas. Por essa razão, a OBF optou corretamente por anular a questão. Caso o objetivo fosse saber o maior número possível de lâmpadas a serem instaladas DENTRE as alternativas fornecidas. o item (d), que possui o maior número menor ou igual à 40, poderia ser correto. Como isso não é o caso, a equipe do NOIC de Física concorda que a saída mais apropriada, nesse caso, é a anulação.

Anulada

Magnetismo

Na situação inicial, veja que, enquanto o campo elétrico aponta para cima, a partícula carregada é desviada para baixo, e então sua carga é negativa. Para se convencer disso, lembre-se que a força elétrica sentida por uma carga $q$ é $q\vec{E}$; se $q<0$, a força - e portanto a aceleração - possui sentido contrário ao campo. Vale mencionar - ainda que não necessário -  que a trajetória da partícula, nesse caso, é um arco de parábola, movimento análogo a um lançamento horizontal sujeito a um campo gravitacional uniforme, já que a força é constante.

Na outra situação, queremos que a partícula seja agora defletida para cima, impactando a placa $B$ no ponto $P_2$ devido à ação, agora, de um campo magnético uniforme na região. De início, já podemos descartar as três primeiras alternativas: independente do sinal da carga, um campo na vertical faria com que a partícula se movesse em uma circunferência em um plano perpendicular ao plano da folha, enquanto um campo na horizontal, na direção da velocidade, produziria força nula na partícula, não alterando seu movimento. Você poderia lembrar disso utilizando a regra da mão direita para obter o sentido da força, ou lembrando que o módulo da força magnética é $|qvB\sin{\theta}|$, sendo $\theta$ o ângulo entre o campo $\vec{B}$ e o vetor velocidade $\vec{v}$, e portanto a força é zero para $\theta=0$ ou $\pi$.

Sabemos, então, que o campo deve estar dirigido perpendicular ao plano do papel, situação para a qual a trajetória da partícula até atingir uma das placas será um arco de circunferência no plano do papel, pela regra da mão direita. Qual das placas será atingida pela partícula é determinado pela orientação do campo e pelo sentido da carga:

i) Campo perpendicular ao plano da folha e para dentro

Por simplicidade, tomemos o ponto no qual a partícula adentra a região. Se a carga fosse positiva, a regra da mão direita nos diz que a força produzida na partícula nesse cenário seria vertical para cima; no entanto, a carga negativa da partícula inverte o sentido da força, e portanto a força seria vertical para baixo, e então a partícula se move em um arco de circunferência até atingir algum ponto na placa $A$.

ii) Campo perpendicular ao plano da folha e para fora

Já sabemos que essa só pode ser a resposta correta. No ponto de entrada na região, a força na partícula seria o oposto do cenário anterior, isto é vertical para baixo, e ela seria desviada  então até atingir o ponto $P_2$ na placa $B$, movendo-se se em um arco de circunferência.

Logo, o item correto é o Item (e).

Abaixo, temos uma ilustração da situação.

Item (e)

Cinemática e Dinâmica (Leis de Newton)

Primeiramente calcularemos a aceleração do caminhão usando a equação de Torricelli:

$V^2=V_0^2+2a{\Delta}S$

Segundo texto o caminhão inicia com $V_0=108\,km/h=30\,m/s$ e para ($V=0$) após percorrer ${\Delta}S=75\,m$, ou seja, a aceleração é

$0=30^2+150a$

$a=-6\,m/s^2$

Podemos então, utilizando um diagrama de forças, encontrar o coeficiente de atrito:

$-(mg\sin\theta+fat)=ma$

$-(mg\sin\theta+N\mu)=ma$

$-(mg\sin\theta+mg\cos\theta\mu)=ma$

como $g=10\,m/s^2$ e $\theta=30^{\circ}$, temos

$-(5+5\sqrt{3}\mu)=-6$

$\boxed{\mu=\dfrac{\sqrt{3}}{15}\cong{0,12}}$

A resposta é o Item (b).

Item (b)

Ondulatória

Atente para os seguintes trechos do texto:

"Cientistas descobriram que a velocidade do som em marte é muito diferente da registrada aqui na Terra."

"Em frequências altas, acima de $240\,Hz$ [...], resultando em um som que viaja mais de 10 metros por segundo mais rápido do que em frequências baixas."

A questão nos pede essencialmente para identificar o comportamento do som na Terra. O primeiro trecho indica que o comportamento das ondas na Terra é totalmente diferente que em Marte. O segundo trecho, por sua vez, nos informa que a velocidade do som em Marte varia com a mudança de frequência em um determinado intervalo (o mecanismo que provoca isso é também brevemente apresentado no texto), sugerindo que as ondas na Terra não devem variar a velocidade com a frequência nesse mesmo intervalo, o que de fato sabemos ser verdade: a velocidade do som em um determinado meio (não-dispersivo) é independente da frequência, sendo a última determinada pela fonte que gerou o som. Em luz disso, a resposta é o Item (a).

OBS: A velocidade do som se altera caso este mude de meio - isto é, refrate -  em sua propagação, o que também resulta em uma mudança no comprimento de onda, enquanto a frequência é inalterada.

Item (a)

Estática

Acompanhe o diagrama de forças abaixo:

Primeiramente, pelo equilíbrio das forças na vertical, temos:

$A_y+B_y=P$

Ou seja, independetemente do valor de $H$ a soma $|A_y+B_y|$ se mantém constante. Para encontrar as componentes $A_x$ e $B_x$  deve-se calcular o equilíbrio de torque em relação aos pontos $B$ e $A$, respectivamente. Isto é:

$A_x{H}=Pl$

$B_x{H}=Pl$

Logo,

$A_x=\dfrac{Pl}{H}$

$B_x{H}=\dfrac{Pl}{H}$

Portanto, tanto $A_x$ tanto $B_x$ são inversamente proporcionais à $H$, devem aumentar com a diminuição da distância. A resposta certa é Item (e).

Item (e)

Dinâmica: Leis de Newton

Para entender o movimento de forma qualitativa, devemos primeiramente fazer algumas contas. Pela 2ª Lei de Newton, escrevemos a resultante centrípeta do bloco, de onde podemos então encontrar a intensidade da força de contato $N$ em termos de outras quantidades:

$mg\cos{\theta}-N=\dfrac{mv^2}{R}$

$N=m\left(g\cos{\theta}-\dfrac{v^2}{R}\right)$

Sendo $v$ o módulo da velocidade do bloco.

Primeiramente, notemos que, para $\theta=0$ (posição mais alta), $v=0$, e portanto $N=mg$.

Observando agora o termo em parênteses, perceba que $g\cos{\theta}$ diminui conforme o bloco desliza pela superfície, já que $\theta$ cresce e portanto seu cosseno diminui. Por outro lado, o termo acompanhado de $v^2$ é crescente, uma vez que, por conservação de energia (já que quaisquer atritos são ausentes), a velocidade do bloco aumenta conforme ele cai - isto é, a perda de energia potencial gravitacional se traduz em ganho de energia cinética. Esses efeitos em oposição eventualmente farão com que o termo entre parênteses caia a zero, e portanto que $N$ se anule, o que resulta na perda de contato do bloco com a superfície em um determinado ângulo $\theta_c$ (a priori, desconhecido), momento a partir do qual o bloco é lançado e cai sob a ação exclusiva da gravidade. Podemos inferir, também, que $\theta_c<\dfrac{\pi}{2}$, uma vez que $\theta=\pi/2$ resultaria em $N<0$, o que é absurdo. Sendo assim, podemos resumir a análise semi-quantitativa da intensidade da força de contato no bloco da seguinte forma: $N=0$ em $\theta=0$, decresce no intervalo de $0$ a $\theta_c$ (com $\theta_c<\dfrac{\pi}{2}$) e anula-se em $\theta=\theta_c$, quando o bloco abandona a superfície. Isso está corretamente descrito no Item (d).

Alternativamente, o aluno, na prova, poderia utilizar meios mais rápidos de identificar a resposta correta. A condição $N=mg$ em $\theta=0$, por exemplo, figura apenas nos itens (c), (d) e (e), e portanto eliminamos os demais. Como sabemos que $\theta$ não chega a $\pi/2$, e portanto nem a $\pi$, a única alternativa restante é o item (d).

OBS 1: Veja que, em nossa equação, já estamos supondo que $N>0$ e que essa força aponta radialmente para fora, o que é de fato verdadeiro: a superfície não pode "puxar" o bloco para si, e portanto o valor mínimo que $N$ pode assumir é zero, o que significa perda de contato com a superfície.

OBS 2: Esse problema é uma versão mais qualitativa e simplificada de outro problema clássico em mecânica, o qual pede essencialmente que o estudante encontre o ângulo crítico $\theta_c$ mencionado para o qual o bloco abandona a superfície. Isso é feito expressando matematicamente a conservação de energia mecânica, de onde encontramos $v$ em função de $\theta$. Substituindo $v$ na equação que encontramos para $N$ e impondo a condição $N=0$, determinamos $\theta_c$.

Item (d)

Eletrostática

Em uma esfera condutora, as cargas livres sobressalentes irão se afastar devido à repulsão até que seja atingido o equilíbrio eletrostático no qual o campo elétrico interno se anula e todas as partículas carregadas ficam em repouso. Logo, para pontos internos à esfera condutora, o campo elétrico é zero. Já para pontos externos, podemos usar a Lei de Gauss em uma superfície Gaussiana esférica e concêntrica com $b$ para obter o campo correspondente:

$E_{b, \ ext} \cdot 4 \pi r^{2} = q_{int} = Q$

$E_{b, \ ext} = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{Q}{r^{2}}$

Já na esfera uniformemente carregada, verificamos a existência de um campo interno. Pela Lei de Gauss:

$E_{a, \ int} \cdot 4 \pi r^{2} = \dfrac{q_{int}}{\epsilon_{0}} = \dfrac{4}{3} \pi r^{3} \dfrac{\rho}{\epsilon_{0}}$,

onde $\rho = \dfrac{Q}{\dfrac{4}{3} \pi r^3}$ é a densidade de carga elétrica da esfera uniforme. Logo:

$E_{a, \ int} = \dfrac{\rho}{3 \epsilon_{0}} r$,

resultado nitidamente maior do que o obtido para a esfera condutora. Já para pontos externos, vale que:

$E_{a, \ ext} \cdot 4 \pi r^{2} = q_{int} = Q$

$E_{a, \ ext} = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \dfrac{Q}{r^{2}}$,

que é o mesmo resultado obtido para a esfera condutora. Logo, valem as seguintes relações:

$E_{a}(r) > E_{b}(r)$, para $r \in ]0,R[$

$E_{a}(r) = E_{b}(r)$, para $r \geq R$

Desse modo, o item correto é (d) ou (e), já que são idênticos.

Item (d) ou (e)

Cinemática

Para essa questão utilizaremos o princípio da inércia.

No referencial do carro, todos os itens dentro do seu interior não tem aceleração resultante. Portanto, como os corpos devem acelerar no referencial da terra, um força de inércia é produzida no referencial do carro, de tal maneira que a soma da força de inércia com a força resultante será nula.

$\vec F_{in}+\vec F_{r}=\vec 0$

$m\vec a_{in}+m\vec a=\vec 0$

$\vec a_{in}=-\vec a$

Portanto, a direção que o amuleto seguirá será contrária a direção da aceleração do carro.

I) O amuleto vai para trás:

O carro está acelerando

II) O amuleto vira para a esquerda:

O carro está virando para a direita

Item (a)

Item (a)

Hidrostática

Como o corpo está equilibrado as forças que atuam nele se cancelam, ou seja, a somatória dos empuxos em cada líquido equilibram o peso do objeto.

Suponhamos que uma fração $f_c$ do volume do corpo está no líquido de cima, e uma fração $f_b$ do volume do corpo está no líquido de baixo.

Consideremos também que a densidade do líquido de cima é $d_c$, a do líquido de baixo é $d_b$, a densidade do corpo é d, o volume do corpo é $V$ e a gravidade local é $g$.

$E_c+E_b=P$

$d_c\cdot V_c\cdot g+d_b\cdot V_b\cdot g=mg$

$d_c\cdot f_c V+d_b\cdot f_b\cdot V=dV$

$d_c\cdot f_c+d_b\cdot f_b=d$   (EQ 01)

Como todo o corpo está submerso, a soma das frações em cada líquido deve ser igual a 2.

$f_c+f_b=1 \rightarrow f_b=1-f_c$   (EQ 02)

Substituindo (EQ 02) em (EQ 01) temos:

$d_c\cdot f_c+d_b\cdot (1-f_c)=d$

$d_c\cdot f_c-d_b\cdot f_c+d_b=d$

$\boxed{f_c=\dfrac{d_b-d}{d_b-d_c}}$

Analogamente:

$\boxed{f_b=\dfrac{d-d_c}{d_b-d_c}}$

Perceba que a porcentagem do corpo que fica em cada líquido não depende da quantidade de cada líquido, mas apenas as densidades dos mesmos. Logo, adicionar mais líquido não alterará o equilíbrio.

Item (b)

Item (b)

Energia / Leis de Newton

O dinamômetro sempre medirá a tração aplicada no gancho, que está ligada a uma mola no interior do aparelho.

Como em ambos os casos a corda ligada ao gancho suporta o mesmo peso, não haverá variação na leitura do aparelho.

A tração suportará o peso do bloco:

$T=P$

$T=mg$

$\boxed{T=20\,N}$

Item (b)

Item (b)

Análise Dimensional

Denotando por $[x]$ a unidade de medida no S.I. da grandeza $x$, obtemos que:

$[p] = Pa = [a][V^{2}] = [a] \cdot (m^{3})^{2} = [a] m^{6}$

$\boxed{[a] = \dfrac{Pa}{m^{6}}}$

Logo, a unidade de $a$ é dada por $\dfrac{Pa}{m^{6}}$, o que corresponde ao Item (c).

Item (c)

Energia / Leis de Newton

Como a pessoa está apenas subindo, não há variação de sua velocidade, a única energia que está sendo alterada é a energia potencial gravitacional.

$\Delta E=mg\Delta H$

Como para ambos os casos a variação de altura é a mesma:

$W_e=W_r$

Ao se subir pela rampa haverá um espaço maior a ser percorrido, logo, o tempo levado para subir pelas rampas é maior que o tempo para subir pelas escadas.

$\Delta t_e<\Delta t_r$

Aplicando na fórmula da potência:

$P_e=\dfrac{W_e}{\Delta t_e}$  e  $P_r=\dfrac{W_r}{\Delta t_r}$

Logo:

$P_e>P_r$

Item (c)

Item (c)

Circuitos elétricos: Resistores

Ao calcular a resistência equivalente dos $4$ resistores em paralelos obtemos

$\dfrac{1}{R_A}=\dfrac{1}{R_X}+\dfrac{1}{R_X}+\dfrac{1}{R_X}+\dfrac{1}{R_X}$

$\dfrac{1}{R_A}=\dfrac{4}{R_X}$

$R_A=\dfrac{R_X}{4}$

Ao calcular a resistência equivalente dos $6$ resistores em série obtemos

$R_B=R_Y+R_Y+R_Y+R_Y+R_Y+R_Y$

$R_B=6R_Y$

Ou seja, a razão $\dfrac{R_A}{R_B}$ pode ser calculada por

$\dfrac{R_A}{R_B}=\dfrac{R_X}{24R_Y}=\dfrac{1}{2}$

Logo

$\boxed{\dfrac{R_X}{R_Y}=12}$

A resposta é Item (e).

Item (e)

Estática do ponto material

Utilizando a notação vetorial, chame de $\vec{T}_{AB}$ a tração no fio $AB$ e $\vec{T}_{AC}$ a tração no fio $AC$. Para o equilíbrio estático do anel - de massa desprezível -, a resultante das forças atuantes deve ser zero:

$\vec{F}+\vec{T}_{AB}+\vec{T}_{AC}=0$

Pelo método da linha poligonal, podemos dispor esses vetores (forças) de tal forma que eles formem um polígono fechado; no nosso caso, um triângulo retângulo, já que as trações de cada fio são perpendiculares entre si (lembre-se que um está na vertical e o outro na horizontal):

Pelo teorema de Pitágoras, tem-se então que:

$F^2=T_{AC}^2+T_{AB}^2=400^2+300^2$

$\boxed{F=500\;N}$

Logo, o item correto é o Item (c).

Item (c)

Termologia: Calorimetria

Calculemos inicialmente a quantidade de calor requerida para fundir esse bloco de chumbo. Para isso, devemos primeiro aquecer o bloco da temperatura inicial à temperatura de fusão. Para esse processo, o calor necessário é:

$Q_{1} = mc \Delta T = 50 \cdot 0,03 \cdot (328 - 28) \ cal = 450 \ cal$

Já o calor necessário para mudar o chumbo de estado é:

$Q_{2} = mL = 50 \cdot 6 \ cal = 300 \ cal$

Logo, o calor total usado para fundir o chumbo é:

$Q = Q_{1} + Q_{2} = 300 + 450 \ cal = 750 \ cal$

A prova nos dá o calor latente de fusão da água como $L = 80 \ cal/g$. A equação para o calor de fusão da água é:

$Q = mL$

$\boxed{m = \dfrac{Q}{L} = \dfrac{750}{80} \ g \approx 9,4 \ g}$

Logo, a resposta correta é o Item (b).

Item (b)

Cinemática

O texto nos diz que:

"O paraquedas é ajustado para ser aberto em um instante $t_A$ após o brinquedo já estar se movendo para baixo"

Ou seja, até o momento $t_A$ o paraquedista só está sob ação da gravidade, logo a velocidade varia linearmente e o paraquedista e está se movendo para baixo ($v<0$) nesse instante. Após o paraquedas abrir o módulo da velocidade deve diminuir, porém o seu sentido deve se manter para baixo. Portanto, a resposta é o Item (b).

Item (b)

Cinemática: Análise de gráficos

Da leitura do texto, sabemos que a etapa de alta intensidade tem início quando a estudante começa a acelerar, em $t=10\;s$, durando até $t=20\;s$. Para encontrar a distância percorrida nessa etapa, basta achar o valor numérico da área embaixo do gráfico $v$ versus $t$ fornecido pela questão no intervalo adequado.

Podemos visualizar a área ambaixo do gráfico como sendo a área de um trapézio de bases $2$, $6$ ($m/s$) e altura $6$ ($m$) + a área de um retângulo de lados $6$ ($m/s$) e $4$ ($m$). Logo:

$d=\dfrac{(2+6) \cdot 6}{2}+6 \cdot 4 \; m= 48\;m$

$\boxed{d=48\;m}$

Logo, a resposta correta é o Item (d).

Item (d)

Cinemática: Análise de gráficos

Do gráfico, vemos que o trecho em questão é uniformemente acelerado. Calculando a tangente do ângulo de inclinação da reta do gráfico $v$ versus $t$ neste trecho, temos então a aceleração do móvel:

$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{6-2}{16-10}\; m/s^2=\dfrac{2}{3} \; m/s^2$

$\boxed{a=\dfrac{2}{3} \; m/s^2 \approx 0,67 \; m/s^2}$

Logo, a resposta correta é o Item (e).

Item (e)