Primeira fase (Nível 2)

Cinemática

Ao ser abandonada, a cápsula será acelerada pela gravidade lunar. Pela equação de Torricelli:

$$v^2 = v_0^2 + 2gh$$

logo:

$$v = \sqrt{ v_0^2 + 2gh}$$

substituindo os valores numéricos:

$$v = \sqrt{16,8} \approx 4,1 \; \rm{m/s}$$

Item b)

Hidrostática

Quando em equilíbrio estático, a força de empuxo e balanceada pela força peso. Tal que:

$$mg = \rho_A V g$$

em que $\rho_A$ é a densidade da água e $V$ é o volume do cubo. Seja $V'$ o volume da cavidade esférica e $\rho$ a densidade do plástico, temos que:

$$\rho(V-V')g = \rho_A V g$$

ou seja:

$$\rho(V - V') = \rho_A V$$

logo:

$$V' = V\left(1 - \dfrac{\rho_A}{\rho} \right)$$

seja $a$ o comprimento do cubo e $r$ o raio da cavidade esférica, teremos:

$$\dfrac{4\pi r^3}{3} = a^3 \left(1 - \dfrac{\rho_A}{\rho} \right)$$

então:

$$r = a \left[\dfrac{3}{4 \pi}\left(1 - \dfrac{\rho_A}{\rho} \right) \right]^{1/3} \approx 2 \; \rm{cm}$$

Item b)

Gases ideias

Pela equação dos gases ideais:

$PV = nRT$

Para uma transformação a temperatura constante, temos:

$V = \dfrac{nR}{P}T = KT$

em que $K$ é uma constante.

Analisando a equação, podemos perceber que $V(T)$ forma uma reta e, para $T = 0$, $V = 0$. Com isso, analisando as opções dadas, o gráfico correspondente ao processo será o gráfico A

Resposta: item a)

Item a)

Cinemática

A aceleração de um corpo vai ser dado por $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$. Sendo assim, vamos calcular o módulo da aceleração do corpo nas 4 regiões do gráfico (veja figura abaixo).

Para a região I:

$a_I = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{5-(-5)}{5} \; \rm{m/s^2} = 2 \; \rm{m/s^2}$

Para a região II:

$a_{II} = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{15-5}{2,5} \; \rm{m/s^2}$

$a_{II} = 4 \; \rm{m/s^2}$

Para a região III:

$a_{III} = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = 0$

Para a região IV:

$a_{IV} = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{-5 - 15}{2,5} \; \rm{m/s^2}$

Em módulo:

$a_{IV} = 8 \; \rm{m/s^2}$

Com isso, podemos afirmar que a maior aceleração em módulo será $a_{IV} = 8 \; \rm{m/s^2}$.

Resposta: item d)

Item d)

Ondas/optica

A única grandeza que se mantêm constante é a frequência, pois é uma característica da fonte, ou seja, não varia com mudanças de meio. A velocidade da onda depende exclusivamente do meio que se encontrar, ou seja, muda.  Além disso, o comprimento de onda deve mudar para obedecer à relação:

$v=\lambda f$

Assim, a resposta é item c).

item c)

Dinâmica

Quando a bola realiza uma colisão perfeitamente elástica e invete o sentido de sua velocidade, há uma clara variação de momento linear. Tome muido cuidado pois, embora o módulo do vetor momento $p=mv$ permaneça inalterado, o seu sentido mudou, de forma que a variação é $\Delta p=2mv$.

A energia da bola pode ser encontrada com a expressão da energia cinética de um objeto $E_k=\dfrac{1}{2}mv^2$. Note que, como a velocidade é a mesma, a energia não muda, então não há troca de energia.

Portanto Item c).

Item c)

Trabalho

O trabalho de uma força pode ser escrito como

$W=F_x\cdot\Delta x+F_y\cdot\Delta y$

Ou seja, indo do ponto $1$ ao $2$ temos

$\Delta x=1\,m$          $\Delta y=3\,m$

Assim o trabalho realizado é

$W=(2\cdot1+1\cdot3)\,J$

$\boxed{W=5\,J}$

Assim, a resposta é item a).

item a)

Termodinâmica, gases

O diagrama PV abaixo representa os dois processos propostos no enunciado do problema. A linha tracejada representa uma região de temperatura constante igual a $T$.

Já perceba que, ao final do segundo processo, o volume (eixo horizontal) aumentou, então temos que $V_2>V_1$. Quanto ao calor trocado, podemos escrever a primeira lei da termodinâmica. Para o primeiro processo:

$Q=\Delta U +\tau$

$Q_1 = (U_B-U_A)$

Note que o trabalho $\tau$ é zero pois não há variação de volume. Para o segundo processo:

$Q_2 = (U_C-U_B) + \dfrac{P}{2}(V_2-V_1)$

Como a temperatura do ponto A é igual a do ponto C, podemos afirmar que $U_A=U_C$, então temos a seguinte relação:

$Q_2 = (U_A-U_B) + \dfrac{P}{2}(V_2-V_1)$

$Q_2 = -Q_1 + \dfrac{P}{2}(V_2-V_1)$

Como o calor $Q_1$ é negativo e o trabalho do processo 2 é positivo, temos que $|Q_2| > |Q_1|$. Portanto Item d).

Item d)

Calorimetria

Para resolver esse problema, basta usar a conservação de energia, ou seja, o calor doado por um corpo é igual ao calor recebido:

$Q_1+Q_2=0$

$m_1 c \Delta T_1 + m_2 c \Delta T_2=0$

$5(T-10)+10(T-40)=0$

Resolvendo a equação, obtemos:

$\boxed{T=30^\circ C}$

Portanto Item c).

Item c)

Dinâmica

Para resolver esse problema, vamos primeiro definir o sentido vertical para baixo positivo. Dessa forma, podemos encontrar acelerações dos blocos com a segunda lei de Newton. Para o bloco da esquerda:

$m_1g-T=m_1a_1$

$10-T=a_1$

Para o da direita:

$m_2g-T=m_2a_2$

$20-T=2a_2$

Como o fio é inextensível, temos que as acelerações devem ser contrárias e iguais em módulo $a_1=-a_2$. Assim, resolvendo o sistema:

$\boxed{T=\dfrac{40}{3}N}$

O dinamômetro é apenas um aparelho que mede a força aplicada em suas extremidades. Como ambos os aparelhos e os fios são ideais, eles medirão o mesmo valor de $T$. Portanto Item b).

Item b)

Cinemática

Para estudar esse problema, é preciso lembrar dos conceitos de lançamento vertical e lançamento oblíquo. Primeiramente, já é importante deixar claro que a massa das bolinhas não importa para a cinemática, pois estamos desconsiderando a resistência do ar. Assim, para a bolinha A, temos a seguinte equação para a posição vertical em função do tempo:

$S = S_0 + V_0t + \dfrac{1}{2}at^2$

$h_A= 5t-5t^2$

Note que usamos $V_0=5\,m/s$ e $g=10\,m/s^2$. Para a bolinha B, não podemos simplesmente usar a velocidade com a qual ela foi arremessada, pois é preciso considerar o ângulo de laçamento. A velocidade vertical pode ser encontrada com a expressão:

$V_y=V_0\cdot \sin{\theta}$

No nosso caso, $\theta=30^\circ$ e $\sin\theta=0,5$. Aplicando a mesma equação horária:

$S = S_0 + V_0t + \dfrac{1}{2}at^2$

$h_B= 5t-5t^2$

Note como as velocidades verticais no início são idênticas, logo, as bolinhas atingirão o solo ao mesmo tempo. Portanto Item c.

Item c)

Termodinâmica

Inicialmente, a energia cinética média das partículas é proporcional à temperatura, como descrito no enunciado.

$E_c\varpropto T$

$E_c=cT$

Onde $c$ é uma constante de proporcionalidade. Desse modo, a velocidade quadrática média é

$\dfrac{mv^2}{2}=cT$

$v=\sqrt{\dfrac{2cT}{m}}$

Portanto, a velocidade depende da massa da seguinte forma,

$v\varpropto\dfrac{1}{\sqrt{{m}}}$

Desse modo, comparando as velocidades do $H_2$ e $N_2$:

$\dfrac{v_{H_2}}{v_{N_2}}=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{{m_{H_2}}}}}{\frac{1}{\sqrt{{m_{N_2}}}}}$

$\dfrac{v_{H_2}}{v_{N_2}}=\sqrt{\dfrac{m_{N_2}}{{m_{H_2}}}}$

Logo, para sabermos a razão entre as velocidades é preciso ter a razão entre as massas de $H_2$ e $N_2$. Entretanto, não foi dado no enunciado a massa do nitrogênio (tornando a questão passível de anulação), porém, caso o aluno saiba a massa do $N$ ($14$ UMA), encontra-se

$\dfrac{v_{H_2}}{v_{N_2}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot14}{{2\cdot1}}}$

$\dfrac{v_{H_2}}{v_{N_2}}=\sqrt{14}$

Desse modo, pelo fato da questão não fornecer os dados necessários e não possuir resposta correta, a questão foi Anulada.

Anulada.

Cinemática

Para que o barco consiga navegar em uma linha reta perpendicular às margens do rio, é preciso que a componente da sua velocidade seja igual à velocidade da água do rio. Dessa forma:

$v_b\cdot \sin{\theta}=v_a$

$10 \sin{\theta} =5$

$\sin{\theta} =\dfrac{1}{2}$

$\boxed{\theta=30^\circ}$

A velocidade do barco em relação às margens do rio é simplesmente a componente da velocidade perpendicular, ou seja:

$v_r=v\cos{\theta}$

$\boxed{v_r\approx \,8,7km/h}$

Portanto Item d).

Item d)

Dinâmica/energia

Inicialmente, vamos considerar que a força $F$ é paralela ao plano. Desse modo, como a velocidade do bloco é constante, esse está em equilíbrio, ou seja,

$F=F_{at}+mg\sin{\theta}$

$N=mg\cos{\theta}$

$F{at}=N\mu$

$F=\mu mg\cos{\theta}+mg\sin{\theta}$

Pela geometria do triangulo retângulo

$\sin{\theta}=\dfrac{3}{5}=0,6$      $\cos{\theta}=\dfrac{4}{5}=0,8$

Assim,

$F=\mu mg\cos{\theta}+mg\sin{\theta}$

$F=mg(0,8\cdot0,4+0,6)$

$F=mg(0,32+0,6)$

$F=0,92mg$

Pela informação da figura $m=50\,kg$

$F=0,92\cdot50\cdot10\,N$

$F=460\,N$

Com isso, sabendo que o deslocamento do bloco é $50\,m$, tem-se

$W=Fd$

$W=460\cdot50\,J$

$W=23000\,J$

$\boxed{W=23\,kJ}$

Portanto, o gabarito é item c).

item c)

Movimento Harmônico Simples (M.H.S.)

Em um sistema massa-mola, a frequência de oscilações é dado por:

$f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

Perceba que a frequência de oscilações é independente da gravidade. Portanto, na Lua teríamos que $f' = f$. Ou seja:

$\dfrac{f}{f'} = 1$

Resposta: item c)

Obs: Em um sistema massa-mola a gravidade é responsável apenas por deslocar a posição de equilíbrio do sistema.

Item c)

Dinâmica

Para resolver essa questão vamos utilizar de princípios da mecânica sobre colisões. Durante uma colisão, a quantidade de movimento do sistema é conservada. Sendo assim, teríamos que, vetorialmente:

$\Delta \vec{p}_c + \Delta \vec{p}_m = 0$

Logo, para os módulos:

$\Delta p_c = \Delta p_m$

As forças durante uma colisão se caracterizam como um par de ação-reação, de acordo com a 3° lei de Newton. Sendo assim, para os módulos:

$F_c = F_m$

Resposta: item e)

Item e)

Óptica geométrica

Essa questão pode ser feita utilizando princípios de construção geométrica e propriedades de lentes, que são:

- Raios de luz que passam pelo eixo principal da lente não sofrem desvios angulares, ou sejam, eles "passam direto" pela lente;

- Raios paralelos se encontram sobre o mesmo ponto do eixo focal (eixo perpendicular ao eixo principal da lente e que passa pelo foco).

Sendo assim, vamos utilizar essas propriedades para determinar o foco. Vamos analisar um raio paralelo àquele dado no problema. Esse raio é representado pela cor vermelha. Veja a figura abaixo:

Utilizando da segunda propriedade, podemos concluir que o foco fica na posição III

Resposta: item c)

Item c)

Gravitação

Inicialmente, analisaremos todas as afirmações:

I. Na direção radial, a única força que atua no satélite é a força gravitacional centrípeta.

(Verdadeira) A alternativa está verdadeira, pois de fato a única força que atua no satélite é a força gravitacional, que, além disso, age como uma resultante centrípeta mantendo a órbita circular.

II. Na direção radial, além da força gravitacional centrípeta também atua uma força centrífuga.

(Falsa) A força centrifuga é uma força fictícia que atua apenas no referencial não inercial que roda junto ao satélite, no referencial da terra essa força não é aplicada.

III. É necessário um motor para sustentar o movimento do satélite na direção tangencial.

(Falsa) Não é necessário nenhum motor para manter o satélite em órbita, esse apenas precisa da velocidade ideal para permanecer na órbita circular.

Assim, a resposta é item a).

item a)

Trabalho/energia

Utilizando o teorema da energia cinética

$W_{total}=\Delta E_c$

Como o bloco parte do repouso e atinge o repouso após o deslocamento

$\Delta E_c=0$

Desse modo,

$W_{total}=W_1+W_2=0$

$W_1=-W_2$

$|W_1|=|W_2|$

Ambos devem ser diferentes de $0$, pois a frase "em sentidos opostos" e a direção das setas nas figuras dão a entender que o sentido de cada força não varia, o que impede do módulo dos trabalhos serem nulos.

$\boxed{|W_1|=|W_2|\neq0}$

Assim, a resposta é item a).

item a)

Óptica geométrica

Para resolver esse problema, precisamos conhecer uma propriedade das lâminas de faces paralelas:

$n\sin\theta = cte$

A demonstração disso pode ser obtida utilizando a Lei de Snell e analisando os ângulos do sistema, assim como mostra na seguinte imagem:

Quando a luz vai de um meio menos refringente para um meio mais refringente, pela Lei de Snell, podemos perceber que o raio de luz vai se aproximar da normal. Do mesmo modo, quando a luz vai de um meio mais refringente para um meio menos refringente, o raio de luz se afasta da normal.

Com isso, podemos perceber que o meio 2 é o meio de menor índice de refração do sistema.

Utilizando a propriedade de faces paralelas dita acima, concluímos que $n_3> n_1 > n_2$.

Como o vidro possui o maior índice de refração e o ar o menor, a ordem dos índices será: 1 - água; 2 - ar; 3 - vidro. Portanto, item e)

Item e)