Terceira Fase (Nível Jr)

Cinemática

(a)

Em um mesmo tempo, João percorre metade da distância que Maria percorre. Logo, como em 10 voltas Maria percorre $10*400=4000m$, João percorrerá :

$\boxed{\frac{4000}{2}=2000m}$

(b)

No referencial de João, Maria corre à $6 km/h$ e à cada $400m$ ela passa por ele. Ela corre por $t=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}h$. Logo, João a vê andar $6*\frac{1}{3}=2km$.

Ela passa por ele :

$\boxed{\frac{2}{0,4}=5 vezes}$

(c)

No referencial de João, Maria corre à $18km/h$ e à cada $400m$ ela passa por ele. Ela corre por $t=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}h$.Logo, João a vê andar $18*\frac{1}{3}=6km$.

Ela passa por ele :

$\boxed{\frac{6}{0,4}=15 vezes}$.

(a) ${ d=2000m}$

(b) ${ 5 vezes}$

(c)$15 vezes}$

Termologia

(a) A água deve ser nebulizada para que as gotículas de água (estado líquido) sejam lançadas no ar seco e quente, promovendo a sua evaporação. Como esse é um processo endotérmico, as gotículas absorvem calor do ambiente ao seu redor e causam o seu resfriamento, como desejado. O ventilador possui a função de dispersar essas gotículas de água rapidamente, acelerando o resfriamento do ambiente.

(b) A cada minuto, 50% dos 100 ml (ou 100 g) de água evaporam, absorvendo uma energia correspondente ao calor latente de vaporização de 540 cal/g:

$$\dfrac{1}{2}\cdot 100 \cdot 540=27000\,\rm{cal}$$

Convertendo para Joules e dividindo pelo número de segundos em um minuto (60 s):

$$\dfrac{27000\cdot 4,2}{60}=\boxed{1890\,\rm{W}}$$

(c) Basta dividir o resultado anterior pelo valor de um BTU:

$$\dfrac{1890}{0,3}=\boxed{6300\,\rm{BTU}}$$

(a) A água deve ser nebulizada para que as gotículas de água (estado líquido) sejam lançadas no ar seco e quente, promovendo a sua evaporação. Como esse é um processo endotérmico, as gotículas absorvem calor do ambiente ao seu redor e causam o seu resfriamento, como desejado. O ventilador possui a função de dispersar essas gotículas de água rapidamente, acelerando o resfriamento do ambiente.

(b) $1890\,\rm{W}$

(c) $6300\,\rm{BTU}$

Dinâmica/Estática

(a)

É necessário contar os quadradinhos, chegando em algo perto de $150$. Como o enunciado pede a área total, devemos multiplicar o resultado por $2$, já que são dois pés.

$150*2=\boxed{300 cm^2}$.

(b)

O peso é segurado, em média, pelos dois pés de maneira igual. Logo cada pé deve fazer uma força de $350N$.

A pressão média é:

$\boxed{\frac{350}{150}=2,33 N/cm^2}$

(a) ${ A= 300 cm^2}$

(b) ${ 2,33N/cm^2}$

Astronomia/Gravitação

(a)

No caso em que $\theta=0$, todos os momentos do ano são simétricos, de maneira que não há como distinguir estações do ano. O eixo fica perfeitamente alinhado. O intervalo de tempo de claridade é de $12h$, metade do dia.

(b)

No caso em que $\theta=90$, todos os momentos também são simétricos, a única diferença é que o eixo de rotação da terra está deitado agora. Novamente o intervalo de tempo é de $12h$, metade dia.

Ver imagens.

Reações químicas/nucleares

(a) Como a energia liberada é equivalente à de uma explosão de 15 mil toneladas de TNT, e cada mil toneladas liberam $4,2\cdot 10^{12}\,\rm{J}$ de energia, temos

$$\Delta E=-15\cdot 4,2 \cdot 10^{12}=-6,3\cdot 10^{13}\,\rm{J}$$

Onde escolhemos o valor negativo pois a reação é exotérmica. Pela fórmula dada no enunciado,

$$\Delta m=m_p-m_r=\dfrac{\Delta E}{c^2}$$

$$m_p-m_r=-\dfrac{6,3\cdot 10^{13}}{(3\cdot 10^8)^2}=\boxed{-7\cdot 10^{-4}\,\rm{kg}}$$

(b) O material físsil corresponde a 80% da massa de urânio na "Little Boy":

$$m_r=0,8\cdot 64=51,2\,\rm{kg}$$

Utilizando a resposta do item anterior:

$$\eta=\dfrac{m_p-m_r}{m_r}=-\dfrac{7\cdot 10^{-4}}{51,2}\approx\boxed{-1,4\cdot 10^{-5}}$$

(c) Do item (a), sabemos que $\Delta E=-6,3\cdot 10^{13}\,\rm{J}$ e, pelo enunciado, $m_r$ é igual a 15 mil toneladas. Assim,

$$\eta=\dfrac{\Delta E}{c^2 m_r}=-\dfrac{6,3\cdot 10^{13}}{(3\cdot 10^8)^2\cdot 15\cdot 10^6}\approx\boxed{-4,7\cdot 10^{-11}}$$

(a) $m_p-m_r=-7\cdot 10^{-4}\,\rm{kg}$

(b) $\eta\approx -1,4\cdot 10^{-5}$

(c) $\eta\approx -4,7\cdot 10^{-11}$

Densidade

Ao longo da questão, utilizaremos os subscritos Au (ouro), Ag (prata), Cu (cobre) e Pl (Platina) para indicar a densidade desses metais e a massa de determinado objeto pela qual eles são responsáveis.

(a) Seja m_0 a massa da coroa. O volume da coroa de ouro é dado por

$$V_{Au}=\dfrac{m_0}{\rho_{Au}}=\dfrac{1000}{19}\approx 52,6\,\rm{cm^3}$$

Para a coroa adulterada, temos

$$V_{Adulterada}=\dfrac{m_{Au}}{\rho_{Au}}-\dfrac{m_{Ag}}{\rho_{Ag}}=\dfrac{800}{19}+\dfrac{200}{10}=62,1\,\rm{cm^3}$$

Assim, a variação de volume é

$$\Delta V=V_{adulterada}-V_{Au}=\boxed{9,5\,\rm{cm^3}}$$

(b) Para que a diferença entre as coroas não seja detectável pelo método de Arquimedes, tanto a massa quanto o volume delas devem ser idênticos. Da primeira condição,

$$m_{Cu}+m_{Pl}=m_0$$

Da segunda,

$$\dfrac{m_{Cu}}{\rho_{Cu}}+\dfrac{m_{Pl}}{\rho_{Pl}}=\dfrac{m_0}{\rho_{Au}}$$

Isolando $m_{Pl}$ na primeira equação e substituindo na segunda:

$$\dfrac{m_0}{\rho_{Au}}=\dfrac{m_{Cu}}{\rho_{Cu}}+\dfrac{m_0-m_{Cu}}{\rho_{Pl}}$$

$$m_0\left(\dfrac{1}{\rho_{Au}}-\dfrac{1}{\rho_{Pl}}\right)=m_{Cu}\left(\dfrac{1}{\rho_{Cu}}-\dfrac{1}{\rho_{Pl}}\right)$$

$$m_{Cu}=\dfrac{1/\rho_{Au}-1/\rho_{Pl}}{1/\rho_{Cu}-1/\rho_{Pl}}=\dfrac{\rho_{Cu}}{\rho_{Au}}\cdot \dfrac{\rho_{Pl}-\rho_{Au}}{\rho_{Pl}-\rho_{Cu}}\cdot m_0$$

A fração em massa de cobre na liga é dada por

$$\dfrac{m_{Cu}}{m_0}=\dfrac{\rho_{Cu}}{\rho_{Au}}\cdot\dfrac{\rho_{Pl}-\rho_{Au}}{\rho_{Pl}-\rho_{Cu}}=0,0947\approx\boxed{9,5\%}$$

E fração de platina é igual a $100-9,5=90,5\%$.

(a) $\Delta V=9,5\,\rm{cm^3}$

(b) $9,5$% cobre e $90,5$% platina

Cinemática

(a) A bola mais leve é a A, e a mais pesada é a C. Pois se observamos as posições das 3, fica claro que A foi a bola que teve o movimento mais atrapalhado por ter chegado menos longe que as outras no mesmo intervalo de tempo e C a que teve o movimento menos atrapalhado pelo motivo inverso, e como a aceleração da partícula depende da geometria (que é igual), da densidade do ar (que é a mesma), da velocidade (que começa igual) e da massa, sabemos então que este tem que ser o fator decisivo e portanto A é a mais leve e C a mais pesada.

(b) Vamos calcular só a velocidade no instante $t = 1,1 \, \textrm{s}$ para demonstrar como fazer e depois só mostraremos o gráfico.

Como a bola mais leve é a A, vamos olhar para as coordenadas dela, temos que:

$v = \dfrac{y_A (t = 1,0) - y_A (t = 1,2)}{1,2 - 1,0} \therefore v = \dfrac{15,90 - 14,47}{0,2} = 5 \cdot 1,43$

$v = 7,15 \, \textrm{m/s}$

Esse processo se repete para as próximas velocidades, então omitindo os próximos e fazendo o gráfico, temos:

(c) Se olharmos o gráfico de A, podemos ver que as 2 últimas velocidades se repetem, o que indica que esta bola já alcançou sua velocidade terminal, entre $t = 1,5 \, \textrm{s}$ e $t = 1,7 \, \textrm{s}$. E esta velocidade vale $7,90 \, \textrm{m/s}$.

$\boxed{v = 7,90 \, \textrm{m/s}}$

(a) Mais leve: A, Mais pesada: C, Pois C chega mais longe e A chega menos longe.

(b)

(c) Sim, entre $t = 1,5 \, \textrm{s}$ e $t = 1,7 \, \textrm{s}$, $\boxed{v = 7,90 \, \textrm{m/s}}$

Dinâmica/Estática

(a)

Notação

$a \rightarrow$ largura da base do recipiente; $a=5 cm$

$b \rightarrow$ altura do recipiente; $b=12 cm$

$H \rightarrow$ altura da água quando $h=0$

O volume de água é dado por $V=a^2H$. Segundo o enunciado $V=270 cm^3$. Assim:

$V=270=5^2H \rightarrow H=\frac{270}{25}=10,8 cm$

(b) O recipiente estará na iminência de derramar quando o líquido atingir o vértice superior direito do copo, como representado na figura a seguir.

O volume de água pode ser obtido multiplicando a área do trapézio azul por $a$.

A área do trapézio é dada por (Base Maior + Base Menor)*Altura $\frac{1/2}$.

A base maior é $b$

A base menor é $b-d$, onde $d$ pode ser obtido geometricamente: $d=atg(\alpha)$.

A altura do trapézio é $a$

Dessa forma, o volume de água é:

$V=(b+b-atg(\alpha))a\frac{1}{2}$. Novamente, segundo o enunciado, $V=270 cm^3$.

Assim:

$(2*12-5tg(\alpha))5\frac{1}{2}=270 \rightarrow tg(\alpha)=0,24$

Por geometria, vemos que $tg(\alpha)=\frac{h}{\sqrt{L^2-h^2}} \rightarrow h=\frac{tg(\alpha)L}{\sqrt{1+tg^2(\alpha)}}=\frac{0,24*15}{\sqrt{1+0,24^2}}=3,50cm$

(a) $10,8$ cm

(b) $3,50$cm