Segunda Fase (Nível 2)

Conceitos matemáticos

a) Para resolver esse problema, basta calcular a área total da parede e dividir pela área de um tijolo, afinal

$A_{tot} = N A_{tijolo}$

Em que N é a área de um único tijolo.

Para calcular a área total, basta utilizar os dados fornecidos pelo enunciado.

$A_{tot} = 3,5\times 4,4\; \rm{m^2} = 15,4\; \rm{m^2}$

De acordo com o enunciado, o lado maior do tijolo deve estar na direção do conprimento, enquanto o lado menor deve estar na direção da altura. Isso indica que a área ocupada por um único tijolo deve ser

$A_{tijolo} = 20\times 5 \; \rm{cm^2}=0,01\;\rm{m^2}$

Logo, temos:

$\boxed{N = 1540}$

b) Para fazer essa estimativa, vamos considerar que essa argamasa fará com que as dimensões de cada tijolo aumente. Para isso, como a argamassa tem espessura $d=2,00\;\rm{cm}$, vamos considerar que cada tijolo ganhe $1,00\;\rm{cm}$ de espessura para cada face. Sendo assim, a área do "novo tijolo" será

$A_{novo\;tijolo} = 22\times 7\;\rm{cm^2} = 0,0154\;\rm{m^2}$

Portanto, o número de tijolos será

$\boxed{N' = 1000}$

c) A massa de argamassa será dada por:

$m = dV_{argamassa} = dA_{argamassa}e$

Em que $e = 0,1 \;\rm{m}$ é a espessura da argamassa, que deve ser igual a espessura da parede.

Para calcular a área da argamassa, basta calcular a diferença entre a área ocupada pelos tijolos no item a) e item b). Logo:

$A_{argamassa} = A_{tijolo}(N-N') = 0,01\times 540\;\rm{m^2}$

$A_{argamassa} = 5,40\;\rm{m^2}$

Portanto:

$m = 1900\times 5,40\times 0,10 \:\rm{kg}$

$\boxed{m= 1026\;\rm{kg}}$

a)

$\boxed{N = 1540}$

b)

$\boxed{N' = 1000}$

c)

$\boxed{m= 1026\;\rm{kg}}$

Cinemática - MRUV

a) Como o movimento de queda livre é um MRUV, temos:

$H = \dfrac{1}{2} g t^2$

Colocando $t$ em evidência

$t = \sqrt{\dfrac{2H}{g}}$

Logo:

$t = \sqrt{6} \;\rm{s} = \sqrt{2}\sqrt{3} \;\rm{s}$

Usando as aproximações da prova para $\sqrt{3} = 1,7$ e $\sqrt{2}= 1,4$:

$\boxed{ t = 2,38\;\rm{s}}$

b) Como ambas as pedras atingem o solo ao mesmo tempo:

$h = v(t-0,5) + \dfrac{1}{2}g(t-0,5)^2$

Substituindo $t$ pelo valor encontrado no item anterior e colocando $v$ em evidência:

$\boxed{v \approx 6,56\;\rm{m/s}}$

a)

$\boxed{ t = 2,38\;\rm{s}}$

b)

$\boxed{v \approx 6,56\;\rm{m/s}}$

Conceitos matemáticos

a)

Como indicado no texto, $\mu$ é a densidade linear de massa, portanto, basta calcularmos a masso da corda, já que temos seu comprimento. Como temos a densidade, precisamos calcular o volume. A corda será modelada como um cilindro, logo seu volume será:

$\pi r^2 h=\pi (0,2\cdot 10^-3)^2 \cdot 0,65=7,8\cdot 10^{-8} \;\rm{m^3}$

A massa será o volume vezes a densidade:

$M= 7,8\cdot 10^{-8} \cdot 8000=6,24\cdot 10^{-4} \;\rm{kg}$

$\mu=\frac{M}{L}=\frac{6,24\cdot 10^{-4}}{0,65}$

$\boxed{\mu = 9,6\cdot 10^{-4}\;\rm{ kg/m}}$

b)

Manipulando um pouco a expressão dada:

$V=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

$T=V^2 \cdot \mu$

Por fim,

$\boxed{T = 153,6\;\rm{N}}$

a)

$\boxed{\mu = 9,6\cdot 10^{-4}\;\rm{ kg/m}}$

b)

$\boxed{T = 153,6\;\rm{N}}$

Cinemática

a)

Para resolver essa questão, é conveniente separar o tempo em duas partes: antes de Bruno iniciar sua viagem e depois dele iniciá-la.

Na primeira parte, Alberto move-se:

$\Delta S_1=\frac{27}{60}\cdot60=27\;\rm{km}$

A partir daí, temos um problema clássico de encontro que podemos resolver de diversas maneiras. Faremos mudando para o referencial de Alberto. Neste referencial, a distância entre eles é, inicialmente de $300-27=273km$ e Bruno se aproxima à $V_{relativa}=80+60=140km/h$.

Até o encontro:

$\Delta t=\frac{273}{140}=1,95 \;\rm{h}=117 \;\rm{min}$

Dessa forma, o tempo até o encontro é de :

$\Delta t = 117+27$

$\boxed{\Delta t =144\;\rm{min}}$

b)

Já que sabemos o tempo para se encontrarem depois que Bruno inicia sua viagem, é fácil saber a distância:

$\Delta S_{Bruno}=\frac{117}{60}\cdot80$

$\boxed{\Delta S_{Bruno} =156\;\rm{km}}$

a)

$\boxed{\Delta t =144\;\rm{min}}$

b)

$\boxed{\Delta S_{Bruno} =156\;\rm{km}}$

Colisões

a) Pela análise do gráfico, sabemos que o disco "vai e volta" 4 vezes, partindo de $x = 0$ até $x = 80 \;\rm{cm}$ e depois, voltando de $x =80 \;\rm{cm}$ até $x = 0 \;\rm{cm}$. Logo, a distância percorrida a cada ida e vinda é:

$80+80 = 160 \;\rm{cm}$

Como são 4 idas e vindas entre o intervalo $0\;\rm{s}$ a $3\;\rm{s}$, temos que a distância percorrida é:

$d = 4 \cdot 160$

$\boxed{d = 640 \;\rm{cm}}$

b) Para determinar o coeficiente de restituição, é necessário calcular a velocidade antes e depois da colisão. Primeiramente, deve-se notar que o lado que perde energia, ou seja, a borda onde está a fita, está em x = 0 (parte inferior do gráfico), já que o ângulo entre a trajetória da bolinha e o eixo do tempo no gráfico muda nesse ponto. Note também que, em x = 80 cm, o ângulo entre a trajetória da bolinha e o eixo do tempo no gráfico também muda, mas com o mesmo módulo (embora negativo). Isso significa que, em x = 80 cm, a velocidade é a mesma, mas seu sentido se inverte, enquanto que em x = 0, a velocidade muda e seu sentido também se inverte.

Como a velocidade é constante: $v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, mas graficamente, $v = \tan \theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre a trajetória(vermelho) e o eixo do tempo. Logo, pode-se afirmar que as velocidades são:

Entre $t = 0\;\rm{s}$ e $t = 0,2\;\rm{s}$: $v_1 = \dfrac{80}{0,1}= 800 \;\rm{cm/s} = 8 \;\rm{m/s}$

Entre $t = 0,2\;\rm{s}$ e $t = 0,6\;\rm{s}$: $v_2 = \dfrac{80}{0,2}= 400 \;\rm{cm/s} = 4 \;\rm{m/s}$

Entre $t = 0,6\;\rm{s}$ e $t = 1,4\;\rm{s}$: $v_3 = \dfrac{80}{0,4}= 200 \;\rm{cm/s} = 2 \;\rm{m/s}$

Entre $t = 1,4\;\rm{s}$ e $t = 3,0\;\rm{s}$: $v_4 = \dfrac{80}{0,8}= 100 \;\rm{cm/s} = 1 \;\rm{m/s}$

Logo, o coeficiente de restituição é $e = \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{v_3}{v_2} = \dfrac{v_4}{v_3} = 0,5$

$\boxed{e=0,5}$

a)

$\boxed{d = 640 \;\rm{cm}}$

b)

$\boxed{e=0,5}$

Dinâmica

 (a) Volume submerso pode ser escrito como:

$V_s = \pi R^2(H-h)$

Pelo equilíbrio de forças:

$mg = \rho V_s g$

$h = H - m/\rho \pi R^2$

Portanto:

$\boxed{h = 2,67\;\rm{cm}}$

(b) o máximo será quando $h = 0$, sendo M a massa máxima:

$(M+m)g = \rho \pi R^2 H g$

$M = \rho \pi R^2 H - m$

Portanto:

$\boxed{M = 128\;\rm{g}}$

a)

$\boxed{h = 2,67\;\rm{cm}}$

b)

$\boxed{M = 128\;\rm{g}}$

Dinâmica

Para resolver esse problema, devemos entender qual a direção que o atrito aponta. Realizando o diagrama de forças no carro:

     ou

Obs: no diagrama de forças, a força centrípeta não deve ser representada idealmente, mas por motivos de didatica, ela foi incluida

Do diagrama, é possível perceber que existem 2 direções possíveis para força de atrito: para diagonal-cima ou para diagonal-baixo, como na figura. De modo simples, para que tenhamos o menor raio de curvatura, resultande centrípeta deverá ser máxima, afinal $F_{cp} = \dfrac{mv^2}{R}$, ou seja, a resultante centrípeta é inversamente proporcional ao raio de curvatura. Portanto, para que a resultante centrípeta seja máxima, e assim o raio de curvatura seja mínimo, o atrito deverá apontar para a direção diagonal-baixo. Então, o diagrama da direita será utilizado.

Pelos diagramas de forças no eixo y (vertical):

$N \cos \theta = F_{at} \sin \theta + mg$

No eixo x (horizontal):

$N \sin \theta + F_{at} \cos \theta = F_{cp}$

Rearranjando e aplicando a definição da $F_{at}=\mu N$ e $F_{cp}=\dfrac{mv^2}{R}$:

$N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = mg$

$N(\sin \theta + \mu \cos \theta) = \dfrac{mv^2}{R}$

Substituindo a força normal:

$R=\dfrac{v^2}{g} \dfrac{\cos \theta - \mu \sin \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$

a) Para $\theta=0$:

$R=\dfrac{v^2}{g} \dfrac{\cos 0 - \mu \sin 0}{\sin 0 + \mu \cos 0}$

Substituindo os valores do enunciado, sendo $v = 108 \;\rm{km/h} = 30 \;\rm{m/s}$, $g = 10,0 \;\rm{m/s^2}$ e $\mu = 0,60$:

$R=\dfrac{30^2}{10 \cdot 0,6}$

$\boxed{R=150 \;\rm{m}}$

b) Para $\theta=15^{\circ}$:

$R=\dfrac{v^2}{g} \dfrac{\cos 15^{\circ} - \mu \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} + \mu \cos 15^{\circ}}$

$R=\dfrac{30^2}{10} \dfrac{0,97 - 0,6 \cdot 0,26}{0,26 + 0,6 \cdot 0,97}$

$\boxed{R \approx 87 \;\rm{m}}$

a)

$\boxed{R=150 \;\rm{m}}$

b)

$\boxed{R \approx 87 \;\rm{m}}$

Ondulatória

(a) A densidade linear é definida por:

$$\mu=\frac{\Delta m}{\Delta l}$$

Onde $\Delta l$ é o comprimento de um pedaço de fio e $\Delta m$ sua massa. Já a densidade volumétrica é definida por:

$$\rho=\frac{\Delta m}{\Delta V}=\frac{\Delta m}{A\Delta l}$$

Onde $\Delta V$ é o volume do pedaço de fio de massa $\Delta m$. A área $A$ é a de seção transversal do fio. Disso, obtemos:

$$\mu=\rho A$$

E substituindo numericamente $A=\pi r^2$:

$$\boxed{\mu\approx 1\times 10^{-3}\;\text{kg/m}}$$

(b) A menor frequência corresponde ao harmônico fundamental, isto é, $\lambda=2L$. A velocidade da onda é dada por:

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$$

A tração vale $Mg$. Portanto:

$$f=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{Mg}{\mu}}$$

$$\boxed{f\approx 136\;\text{Hz}}$$

(a)

$$\boxed{\mu\approx 1\times 10^{-3}\;\text{kg/m}}$$

(b)

$$\boxed{f\approx 136\;\text{Hz}}$$

Calor, trabalho e energia

(a) A energia dissipada corresponde apenas à energia potencial perdida, já que a cinética permanece constante. Veja:

$$Q=MgH$$

Então, para aquecer os dois discos de massa $150 \rm{g}$ cada temos:

$$2mc\Delta T=0,6MgH\implies \Delta T=\frac{0,3MgH}{mc}$$

Resultando em:

$$\boxed{\Delta T \approx 34,3^{\circ}\text{C}}$$

(b) O responsável por dissipar energia nesse caso é o torque da força de resistência; O trabalho do torque é:

$$\Delta E=\tau\Delta\theta$$

A variação de energia é $\Delta E=mgH$. O $\Delta\theta$ é encontrado número de voltas dado pela roda, veja:

$$\Delta\theta=2\pi\times\frac{\sqrt{L^2+H^2}}{\pi D}$$

Igualando o trabalho do atrito à variação de energia, temos (o 2 vem devido o fato de existirem dois freios):

$$2FR\times 2\pi\times\frac{\sqrt{L^2+H^2}}{\pi D}=MgH$$

Encontramos portanto:

$$F=\frac{1}{4}\frac{MgHD}{R\sqrt{L^2+H^2}}$$

Numericamente:

$$\boxed{F = 1050\;\text{N}}$$

a)

$\boxed{\Delta T \approx 34,3^{\circ}\text{C}}$

b)

$$\boxed{F=1050\;\text{N}}$$

Ondulatória

(a) Pela relação fundamental da ondulatória, temos:

$$v=\lambda f\implies \boxed{\lambda=1,5\text{m}}$$

(b) Como o peixe pula em direção à outra crista seu alcance horizontal é o próprio $\lambda$ (pela definição). Então, temos que:

$$\lambda=\frac{v_0^2\sin{2\theta}}{g}$$

Então temos que:

$$v_0=\sqrt{\frac{\lambda g}{\sin(2\theta)}}$$

Portanto encontramos que:

$v_0 = \sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{5}\;\rm{m/s} \approx 1,4\cdot 1,7\cdot 2,2\;\rm{m/s}$

$$\boxed{v_0\approx 5,24\text{m/s}}$$

(a)

$$\boxed{\lambda=1,5\text{m}}$$

(b)

$$\boxed{v_0\approx 5,24\text{m/s}}$$

Energia

(a)  Pelo gráfico, é possível achar a vazão da bomba $CV30$ para uma altura de $20$ metros:

$Q = 2000\;\rm{L/h}$

 A potência pode ser achada como a energia adicionada à água por segundo. Como a vazão é o volume por segundo,  podemos achar a potencia por:

$P = \rho g Q h$

Em unidades do SI:

$\boxed{P = 111\;\rm{W}}$

(b) A vazão pode ser calculada como o produto da velocidade vezes a área transversal, então:

$v = Q/A$

Portanto:

$\boxed{v = 1,85\;\rm{m/s}}$

a)

$\boxed{P = 111\;\rm{W}}$

b)

$\boxed{v = 1,85\;\rm{m/s}}$

Calorimetria

(a)  Com a energia total (E) e o tempo total (t), podemos achar a potência transferida:

$P = E/t = 420\;\rm{W}$

 Com isso, podemos pegar o tempo que demora a fusão para achar o calor latente:

$P t_F = m L$

$L = P t_F/m$

Portanto:

$\boxed{L = 180\;\rm{cal/g}}$

(b) Com o a variação de temperatura e o tempo em cada fase, podemos escrever que:

$P = m c_l \Delta T_l / t_l = m c_s \Delta T_s / t_s$

$c_l /c_s = \Delta T_s t_l/ t_s \Delta T_l$

Portanto:

$\boxed{c_l /c_s = 0,75}$

a)

$\boxed{L = 180\;\rm{cal/g}}$

b)

$\boxed{c_l /c_s = 0,75}$