Escrito por Lucas Tavares, Pedro Tsuchie, Lucas Praça, Vitor Takashi, João Victor Evers e Athur Gurjão
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Questão 1
Uma pessoa planeja construir uma parede de tijolos maciços para fechar completamente um vão de 
de largura por 
de altura. Os tijolos têm dimensões de 
. A parede deve ter espessura de 
de forma que os tijolos devem ser assentados com o lado maior na direção do comprimento da parede e o menor na direção da altura. Os tijolos devem ser assentados usando uma argamassa de densidade 
que os deixam separados por uma distância d. Considere que a argamassa preenche completamente o espaço entre os tijolos.
(a) Caso d seja desprezível, quantos tijolos, aproximadamente, são utilizados na parede?
(b) Caso 
, quantos tijolos são utilizados, aproximadamente, na parede?
(c) Caso , qual a massa da argamassa aproximadamente, em 
, é utilizada na
parede?
Conceitos matemáticos
a) Para resolver esse problema, basta calcular a área total da parede e dividir pela área de um tijolo, afinal
Em que N é a área de um único tijolo.
Para calcular a área total, basta utilizar os dados fornecidos pelo enunciado.
De acordo com o enunciado, o lado maior do tijolo deve estar na direção do conprimento, enquanto o lado menor deve estar na direção da altura. Isso indica que a área ocupada por um único tijolo deve ser
Logo, temos:
b) Para fazer essa estimativa, vamos considerar que essa argamasa fará com que as dimensões de cada tijolo aumente. Para isso, como a argamassa tem espessura 
, vamos considerar que cada tijolo ganhe 
de espessura para cada face. Sendo assim, a área do "novo tijolo" será
Portanto, o número de tijolos será
c) A massa de argamassa será dada por:
Em que 
é a espessura da argamassa, que deve ser igual a espessura da parede.
Para calcular a área da argamassa, basta calcular a diferença entre a área ocupada pelos tijolos no item a) e item b). Logo:
Portanto:
a)
b)
c)
Questão 2
Alberto e Bruno moram em cidades que estão ligadas por uma estrada de 
de extensão. Certo dia, Alberto decide fazer uma visita surpresa a Bruno e inicia sua viagem às 
da manhã. Coincidentemente, Bruno tem a mesma ideia, e parte em direção à cidade de Alberto às 
da manhã. Sabendo que Alberto e Bruno dirigem durante este percurso seus automóveis com velocidades escalares médias de 
e 
, respectivamente, determine:
(a) O intervalo de tempo, em minutos, contados do início de sua viagem, em que o carro de Alberto cruza o carro de Bruno.
(b) A distância, em km, percorrida pelo carro de Bruno até o ponto onde se cruzaram.
Cinemática
a)
Para resolver essa questão, é conveniente separar o tempo em duas partes: antes de Bruno iniciar sua viagem e depois dele iniciá-la.
Na primeira parte, Alberto move-se:
A partir daí, temos um problema clássico de encontro que podemos resolver de diversas maneiras. Faremos mudando para o referencial de Alberto. Neste referencial, a distância entre eles é, inicialmente de 
e Bruno se aproxima à 
.
Até o encontro:
Dessa forma, o tempo até o encontro é de :
b)
Já que sabemos o tempo para se encontrarem depois que Bruno inicia sua viagem, é fácil saber a distância:
a)
b)
Questão 3
Considere um recipiente cilíndrico de raio 
e altura 
, de paredes finas e massa 
. Quando completamente vazio ele flutua em uma vasilha com água com a borda do recipiente a uma altura 
acima do nível de água, conforme mostra a figura ao lado. Qual a máxima massa de água, em 
, pode ser adicionada ao recipiente de modo que ele continue flutuando?
Dinâmica
Volume submerso pode ser escrito como:
sendo M a massa máxima:
Portanto:
Questão 4
As unidades de medida são escolhidas de acordo com o experimento ou observação que são feitos. Por exemplo, ao acompanhar o movimento de uma lesma ao longo de uma parede pode ser conveniente adotar como unidade de comprimento o centímetro (
) e de tempo o minuto (
), de forma que a rapidez média da lesma seria dada em 
. Em nossa experiência cotidiana com meios de transporte terrestre estamos bastante acostumados a medir velocidade em quilômetros por hora (
). Nos Estados Unidos, entre outros países, são usadas polegadas e milhas para medir pequenas e grandes distâncias. Quando se deseja comparar medidas dadas em diferentes unidades é necessário fazer a devida conversão. Dados:
e 
(aproximadamente).
(a) Qual o fator de conversão de para (qual o valor de 
em 
)?
(b) Qual o fator de conversão de 
(polegada por minuto) para 
(milha por hora)?
Conceitos matemáticos
a) Sabemos que 
. Por sua vez, 
é 
. Logo
ou 
.
Do mesmo modo, sabemos que 
ou seja
Logo, podemos calcular o fator de conversão:
b) Ao longo desse item, vamos nos referir a polegada como 
e a milha como 
.
Sabemos que 
e 
. Logo, através de uma regra de três simples, chegamos que
Novamente, sabemos que
.
Portanto, conseguimos calcular o fator de conversão:
a)
b)
Questão 5
Fazendo uma trilha com sua bicicleta, um ciclista desce uma rampa com uma velocidade constante de 
. A figura abaixo à esquerda, na qual 
e 
, mostra a rampa e a figura abaixo à direita mostra o sistema de freios a disco instalados nas duas rodas da bicicleta. Ao acionar o freio com a roda em movimento a peça A aplica uma força dissipativa de intensidade F no disco a uma distância média de 
do eixo de rotação. Nesta bicicleta as rodas têm diâmetro de 
, os discos são feitos de aço (calor específico de 
) e cada um tem uma massa de 
. Desconsidere a ação das demais forças dissipativas. A massa do conjunto ciclista-bicicleta é 
.
(a) Quanta energia mecânica é dissipada nos freios, em 
?
(b) Considere que 
da energia mecânica dissipada durante a descida seja convertida em calor transferido aos discos (os 
restantes são transferidos para o ambiente, pelo vento, radiação, etc). Qual a variação da temperatura dos discos em 
?
Calor, trabalho e energia
(a) A energia dissipada corresponde apenas à energia potencial perdida, já que a cinética permanece constante. Veja:
Sendo assim, a energia dissipada será
(b) Para aquecer os dois discos de massa 150 g cada temos:
Resultando em:
(a)
(b)
Questão 6
As unidades de medida são escolhidas de acordo com o experimento ou observação que são feitos. Por exemplo, ao acompanhar o movimento de uma lesma ao longo de uma parede pode ser conveniente adotar como unidade de comprimento o centímetro () e de tempo o minuto (), de forma que a rapidez média da lesma seria dada em . Em nossa experiência cotidiana com meios de transporte terrestre estamos bastante acostumados a medir velocidade em quilômetros por hora (). Nos Estados Unidos, entre outros países, são usadas polegadas e milhas para medir pequenas e grandes distâncias. Quando se deseja comparar medidas dadas em diferentes unidades é necessário fazer a devida conversão. Dados:
e (aproximadamente).
(a) Qual o fator de conversão de para (qual o valor de em )?
(b) Qual o fator de conversão de (polegada por minuto) para (milha por hora)?
Conceitos matemáticos
a) Sabemos que . Por sua vez, é . Logo
ou .
Do mesmo modo, sabemos que ou seja
Logo, podemos calcular o fator de conversão:
b) Ao longo desse item, vamos nos referir a polegada como e a milha como .
Sabemos que e . Logo, através de uma regra de três simples, chegamos que
Novamente, sabemos que
.
Portanto, conseguimos calcular o fator de conversão:
a)
b)
Questão 7
A velocidade 
de propagação de uma onda em uma corda vibrante é dada por:
onde 
é a tensão na corda e 
é a densidade linear de massa da corda, ou seja, a massa por unidade de comprimento da corda. Considere uma corda de violão de aço de comprimento de 
e diâmetro de 
na qual 
. Sabendo que a densidade do aço é 
, determine:
(a) , em 
.
(b) , em 
.
Conceitos matemáticos
a)
Como indicado no texto, é a densidade linear de massa, portanto, basta calcularmos a masso da corda, já que temos seu comprimento. Como temos a densidade, precisamos calcular o volume. A corda será modelada como um cilindro, logo seu volume será:
A massa será o volume vezes a densidade:
b)
Manipulando um pouco a expressão dada:
Por fim,
a)
b)
Questão 8
Em um laboratório de física há uma mesa horizontal com pequenos furos pelos quais saem jatos de ar (parecida com a usada no jogo hoquei de mesa). Desta forma um disco plástico pode deslizar sobre ela com força de atrito desprezível. A mesa tem uma beirada elevada em relação ao plano de movimento para impedir que o disco caia. Um estudante lança um disco com velocidade perpendicular a um lado da mesa, de forma que o disco realiza um movimento de bate e volta unidimensional, pois a velocidade inverte seu sentido quando colide com uma beirada da mesa. Ele realiza medidas de posição do centro do disco em função do tempo que são apresentadas no gráfico. As beiradas da mesa são de borracha e, em geral, restituem quase toda a energia ao disco em uma colisão. No entanto, o estudante recobriu uma beirada da mesa com uma fita levemente amortecedora.
(a) Qual a distância 
, em , percorrida pelo disco durante o intervalo de 
a 
mostrado no gráfico?
(b) Determine o coeficiente de restituição da colisão com a beirada da mesa coberta com fita. Ele é definido por 
onde 
e 
são, respectivamente, as velocidades escalares imediatamente antes e depois da colisão com essa beirada.
Colisões
a) Pela análise do gráfico, sabemos que o disco "vai e volta" 4 vezes, partindo de 
até 
e depois, voltando de 
até 
. Logo, a distância percorrida a cada ida e vinda é:
Como são 4 idas e vindas entre o intervalo 
a 
, temos que a distância percorrida é:
b) Para determinar o coeficiente de restituição, é necessário calcular a velocidade antes e depois da colisão. Primeiramente, deve-se notar que o lado que perde energia, ou seja, a borda onde está a fita, está em x = 0 (parte inferior do gráfico), já que o ângulo entre a trajetória da bolinha e o eixo do tempo no gráfico muda nesse ponto. Note também que, em x = 80 cm, o ângulo entre a trajetória da bolinha e o eixo do tempo no gráfico também muda, mas com o mesmo módulo (embora negativo). Isso significa que, em x = 80 cm, a velocidade é a mesma, mas seu sentido se inverte, enquanto que em x = 0, a velocidade muda e seu sentido também se inverte.
Como a velocidade é constante: 
, mas graficamente, 
, onde 
é o ângulo entre a trajetória(vermelho) e o eixo do tempo. Logo, pode-se afirmar que as velocidades são:
Entre 
e 
: 
Entre e 
: 
Entre e 
: 
Entre e 
: 
Logo, o coeficiente de restituição é 
a)
b)