Terceira Fase (Nível 1)

Estática

a)

Como o sistema está em equilíbrio e analisando a barra que possui $M_a$, vemos que $3$ forças atuam nela. Uma força peso devido à massa $M_a$, uma força peso devido à massa $m$ e uma tração de valor inicialmente desconhecido. Duas condições precisam ser satisfeitas para que haja o equilíbrio: Força resultante = $0$ e Torque resultante = $0$. Como não sabemos o valor da tração, a condição mais interessante para trabalharmos para achar $M_a$ é a do torque resultante nulo. Sabemos que se uma força passa por determinado ponto, ela não contribui para o torque relativo àquele ponto, pois a distância na fórmula do torque ($\tau = F\cdot d\cdot sen(\theta)$) será nula. Então, vamos calcular o torque resultante relativo ao ponto que passa a tração, já que podemos ignorar sua contribuição.  Calculando:

$\tau_a + \tau_m=0$

$M_ag\cdot (-2a) + mg\cdot 6a =0$

Logo, chegamos que

$\boxed{M_a = 3m = 90\;\rm{kg}}$

b)

Novamente, devemos analisar a barra com a massa de valor desconhecido. Temos $5$ forças atuando nela, um peso $m$, um peso $M_b$, duas trações para baixo e uma tração para cima. Podemos ver que as trações debaixo têm vínculo com as massas que estão abaixo delas e, portanto, podem ser calculadas. Desse modo, devemos novamente utilizar o fato de que o torque resultante é nulo na barra de $M_b$ e escolher o ponto com a tração para cima para calculá-lo. Entretanto, antes disso, devemos calcular as trações desconhecidas analisando quantas "$m$"s elas seguram. A tração da esquerda segura $M_a+m+2m+4m+6m = 16m$, enquanto a tração da direita segura $2m+m=3m$. Agora basta calcular o torque resultante no ponto de interesse:

$16mg\cdot (-a) + mg\cdot (-4a) + M_bg\cdot 2a + 3mg\cdot 6a =0$

Resolvendo as contas, chegamos que

$\boxed{M_b=m=30\;\rm{kg}}$

(a)

$\boxed{M_a =90 \;\rm{kg}}$

(b)

$\boxed{M_b=30 \;\rm{kg}}$

Conceitos matemáticos

a)

Basta interpretarmos a figura. Na parte superior, é dito que uma porção equivale a $200\;\rm{ml}$ de leite. Dessa forma, pegando a coluna que trata de $200\;\rm{ml}$, descobrimos que o valor energético é de $119\;\rm{kcal}$.

b)

Devemos pegar a energia total e subtrair da energia contida em proteínas e carboidratos, as quais conseguimos encontrar pelos dados do enunciado. Como cada grama de proteína/carboidrato concede $4\;\rm{kcal}$, temos:

$E= (9,5+6,3)\cdot 4=63,2\;\rm{kcal}$

Logo, a energia contida em todas as gorduras é:

$E_{Total}-E=119-63,2=55,8\;\rm{kcal}$

Como temos $6,2\;\rm{g}$ , a energia por grama é:

$\frac{55,8}{6,2}=9\;\rm{kcal}$  por grama.

A resposta, então, é :

$\boxed{9\;\rm{kcal/g}}$

a) $\boxed{119 \;\rm{kcal}}$

b)$\boxed{9 \;\rm{kcal}}$

Hidroestática

a) Equilibrando a força de empuxo com o peso, encontramos que:

$$\rho_aV_ig=mg\implies V_i=\frac{194,4}{1}\ \text{cm}^3=194,4\ \text{cm}^3$$

Com isso, sabemos que esse é o volume deslocado de água, então podemos equacionar o volume total como:

$$V_a=a^2h-V_i\implies 750\ \text{cm}^3=100h\ \text{cm}^2-194,4\ \text{cm}^3$$

Finalizando as contas encontramos que:

$$\boxed{h=9,444\ \text{cm}}$$

O volume total de manteiga é $\frac{194,4}{0,9}\ \text{cm}^3=216\ \text{cm}^3$, o que leva ao fato de que o lado do bloco cúbico é $l=V^{\frac{1}{3}=6\ \text{cm}}$. Além disso, o comprimento que está imerso em água deverá ser $l_i\frac{V_i}{l^2}=5,4\ \text{cm}$.

Observando o diagrama acima, você pode facilmente perceber que $H=h+l-l_i$, portanto:

$$\boxed{H=10,044\ \text{cm}}$$

b) Todo o volume de manteiga irá derreter, gerando uma camada de espessura $d=\frac{216\ \text{cm}^3}{a^2}=2,16\ \text{cm}$. Como a manteiga é menos densa, ela irá para cima da água gerando uma camada, assim como mostra a figura.

A altura da água será seu volume total, $750\ \text{cm}^3$, dividido por $a^2$, portanto $D=7,5\ \text{cm}$.

Disso, temos que:

$$\boxed{h=7,5\ \text{cm}}$$

$$\boxed{H=9,66\ \text{cm}}$$

(a)

$\boxed{h=9,444\ \text{cm}}$, $\boxed{H=10,044\ \text{cm}}$

(b)

$\boxed{h=7,5\ \text{cm}}$, $\boxed{H=9,66\ \text{cm}}$

Cinemática

(a) O gráfico pedido fica semelhante à:

(b) A diferença entre distância percorrida e deslocamento é que o deslocamento só leva em conta os pontos inicial e final, enquanto a distância percorrida leva em conta todo o trajeto. Dessa forma, o deslocamento do helicóptero é a distância entre o ponto $P(0,3)$ inicial e o $Q(16,3)$ final, portanto o deslocamento $\Delta S$ é:

$$\boxed{\Delta S=16\ \text{km}}$$

Para a distância percorrida vamos separar o percurso em 4 etapas retilíneas:

$$d=d_1+d_2+d_3+d_4$$

Que são calculados usando a fórmula para a distância entre dois pontos:

$$d_{12}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

$$d_1=\sqrt{(-4-0)^2+(6-3)^2}=5$$

$$d_2=\sqrt{(-12+4)^2+(6-0)^2}=10$$

$$d_3=\sqrt{(-12-0)^2+(0+9)^2}=15$$

$$d_4=\sqrt{(16-0)^2+(3+9)^2}=20$$

Fazendo as contas, obtemos:

$$d=5\ \text{km}+10\ \text{km}+15\ \text{km}+20\ \text{km}$$

Com isso:

$$\boxed{d=50\ \text{km}}$$

(c) A diferença entre velocidade escalar média e velocidade média é que na velocidade escalar devemos fazer $\frac{d}{\Delta t}$, onde $d$ é a distância percorrida, enquanto na velocidade média temos que fazer $\frac{\Delta S}{\Delta t}$, onde $\Delta S$ é o deslocamento. Portanto:

$$v_{esc}=\frac{50}{25/60}\ {\frac{\text{km}}{\text{h}}}$$

$$\boxed{v_{esc}\approx 120\ {\frac{\text{km}}{\text{h}}}}$$

Enquanto que para a velocidade média:

$$v_{med}=\frac{16}{25/60}\ {\frac{\text{km}}{\text{h}}}$$

$$\boxed{v_{med}\approx 38,4\ {\frac{\text{km}}{\text{h}}}}$$

(a) Gráfico

(b)

$\Delta S=16\ \text{km}$, $d=50\ \text{km}$

(c)

$v_{esc}=120\ {\frac{\text{km}}{\text{h}}}$, $v_{med}=38,4\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$

Calorimetria

Pela conservação de energia do sistema, temos que o somatório dos calores trocados deve ser igual a zero.

$\sum Q = 0$.

$Q_c+Q_g+Q_a=0$.

O calor do calorímetro pode ser calculado multiplicando a capacidade calorífico pela variação de temperatura. O calor da água pode ser calculado ao multiplicar a sua massa com seu calor específico e sua variação de temperatura. Para calcular o calor do gelo, entretanto, envolve um cálculo mais complexo. Por ser uma quantidade de energia muito grande vinda do calorímetro e da água, o gelo vai se fundir. Logo, devemos calcular a energia para chegar até a temperatura de fusão, somar com a energia da fusão e somar, por fim, com a energia até chegar na temperatura final.

Por fim, podemos calcular a temperatura final

$100(T_f-22)+1\cdot 200(T_f-22)+ 0,5\cdot 60 (0-(-18))+60\cdot 80 + 1\cdot 60 (T_f-0)=0$

onde as capacidades específicas já estão convertidas para caloria por celsius. Fazendo as contas, temos que

$\boxed{T_f=3,5^{\circ} C}$

$\boxed{T_f=3,5\;\rm{^\circ }C}$

(a) Substituindo os valores numéricos na equação dada pelo enunciado:

$\boxed{F_r \approx 7,5\cdot 10^{-4}\;\rm{N}}$

(b)

(i) O feixe de luz que atinge a vela solar é análogo ao vento que sopra na vela de um barco. Assim como o vento empurra a vela e faz o barco se mover, o feixe de luz (composto por fótons) exerce uma pressão sobre a vela solar, impulsionando a nave no espaço.

(ii) Os fótons, que compõem o feixe de luz, são análogos às partículas de ar (moléculas de ar) que constituem o vento. Cada fóton, ao colidir com a vela solar, transfere uma pequena quantidade de momento à vela, assim como cada molécula de ar que bate na vela de um barco transfere um pouco de momento, ajudando a mover o barco para frente.

(c) A orientação da vela muda seu ângulo de contato com o feixe de fótons. O diagrama abaixo mostra a visão vertical da colisão do feixe de fótons com a vela solar.

Logo, pela conservação da quantidade de movimento da colisão de cada fóton com a placa solar:

$p_{feixe}\cos{\theta} = \Delta p_{vela} - p_{feixe}$

Mas, o momento do feixe de fótons pode ser calculado pela densidade de fótons em um certo volume, ou seja:

$p_{feixe} = p_{foton}k\Delta x$

Assim,

$F = \dfrac{\Delta p_{vela}}{\Delta t} = 2 p_{foton}kc \cos{\theta}$

Pelo enunciado, para $\theta = 0$, $2 p_{foton}kc = \dfrac{2IA}{c}$

$F = \dfrac{2IA}{c}\cos{\theta} = F_r\cos{\theta}$

Portanto, como $0\leq\cos{\theta}\leq 1$:

$\boxed{F_{min} = 0\;\rm{N}}$

Diagrama para a situação:

$\boxed{F_{max} = F_r}$

Diagrama para a situação:

OBS: A análise da densidade de fótons para calcular a intensidade não é necessária para a resolução da questão, apenas a análise do $\cos{\theta}$ e os desenhos mostrados acima

(a)

$\boxed{F_r \approx 7,5\cdot 10^{-4}\;\rm{N}}$

(b)

Ver comentário

(c)

$\boxed{F_{min} = 0\;\rm{N}}$

Diagrama para a situação:

$\boxed{F_{max} = F_r}$

Diagrama para a situação:

Cinemática

(a)

Para dar uma volta pela Terra na linha do Equador, os viajantes precisariam andar uma distância $d=2\pi R$, que é o comprimento de uma circunferência de raio $R$. Se a viagem dura 80 dias, ela vai durar $t=24\cdot 80$ horas. Logo, a velocidade em km/h será:

$v=\frac{2\pi R}{t} = \frac{2\pi\cdot 6400}{24\cdot 80}$

Portanto,

$\boxed{V = 20\;\rm{km/h}}$

(b)

Para dar uma volta pela Terra na latitude $\phi=30$, os viajantes precisariam andar uma distância $d=2\pi R\cos(\phi)$, que é o comprimento de uma circunferência de raio $R\cos(\phi)$, que é o raio efetivo da sua latitude. Se a viagem dura $80$ dias, ela vai durar $t=24\cdot 80$ horas. Logo, a velocidade em $\rm{km/h}$ será:

$v=\frac{2\pi R\cos(\phi)}{t} = \frac{2\pi\cdot 6400\cdot \cos(30^\circ)}{24\cdot 80}$

Portanto,

$\boxed{V = 17\;\rm{km/h}}$

a)

$\boxed{V= 20 \;\rm{km/h}}$

(b)

$\boxed{V = 17 \;\rm{km/h}}$

Óptica - Formação de cores

(a) No sistema RGB, o amarelo é formado pela mistura do vermelho com o verde em partes iguais, ou seja, o amarelo vai ser formado por $(x;x;0)$. Logo, para a maior intensidade de amarelo, a configuração do RGB será

$\boxed{(15;15;0)}$

Afinal, o $15$ representa a cor mais intensa.

(b) No modelo RGB, o preto é apresentado como $(0;0;0)$, enquanto o branco é representado como $(15;15;15)$. Como o cinza pode ser entendido como uma "mistura" entre o preto e o branco, ele será dado na forma

$(x;x;x)$

Portanto, variando $x$ de $1$ a $14$, tem-se $14$ tons de cinza.

(c) Cada cor é representada por $(x;y;z)$. Logo, ao variar cada uma dos valores $x,y$ ou $z$, tem-se uma cor diferente. Como há $16$ valores pra cada, o total de cores será:

$16\times 16\times 16 = 16^3$

$\boxed{4096}$

(a)

$\boxed{(15;15;0)}$

(b)

$\boxed{14}$

(c)

$\boxed{4096}$