Aula 1.0 - Vetores

Aula de Diogo Netto - Revisado por Akira Ito

Introdução

Antes de nos voltarmos efetivamente à física, vamos primeiro estudar uma ferramenta matemática de grande importância para nossos estudos futuros: os vetores!

Definições

Podemos definir os vetores como segmentos de reta orientados (setas), que possuem três características fundamentais: o módulo (o "tamanho" da seta), direção (a reta na qual a seta está contida) e sentido (um entre os dois possíveis "caminhos" ao longo da reta que contém a nossa seta).

No contexto da física, vetores são uma ferramenta matemática que é muito utilizada para estudar uma classe de granzas físicas conhecidas como grandezas vetoriais. Para essas grandezas, apenas um valor numérico (módulo) não é suficiente para estudá-las. Elas exigem uma direção e sentido para que elas possam nos ajudar a estudar alguma situação física. Alguns exemplos desse tipo de grandeza são: velocidade, aceleração, força, deslocamento, impulso, quantidade de movimento.

Por outro lado, também existem as grandezas escalares, que são descritas apenas pelo seu módulo. Alguns exemplos desse tipo de grandeza são: tempo, massa, volume, temperatura, energia, trabalho.

Para grandezas escalares, não existe a necessidade de especificar nem direção nem sentido. A afirmação "A massa de Hemétrio vale $60$ kg" é perfeitamente normal, pois só nos importa o valor numérico da massa. No entando, uma afirmação como "A massa de Hemétrio aponta para cima" certamente não faz sentido, pois a massa é uma grandeza escalar.

Para grandezas vetoriais, no entanto, é necessário saber a direção e sentido do vetor em questão. A afirmação "A velocidade do carro de Hemétrio vale $50$ km/h" faz sentido, mas não transmite toda a informação necessária. Uma frase mais informativa seria "A velocidade do carro de Hemétrio vale $50$ km/h e ele se move na Rua 17 de Janeiro", que nos informa o módulo e a direção. Uma frase ainda mais completa seria "A velocidade do carro de Hemétrio vale $50$ km/h e ele se move na Rua 17 de Janeiro e se move no sentido norte", pois indica módulo, direção e sentido.

Notações:

Conforme visto pela figura, o vetor em si é indicado por $\vec{A}$, seu módulo (valor numérico) é indicado por $A$ ou $\vert{A}\vert$, a direção é definida pela reta r e o sentido é o apontado pela "flecha" no vetor.

Importante: Vetores de mesmo módulo contidos por retas paralelas e com o mesmo sentido continuam sendo iguais. Na figura abaixo, $\vec{V}$ = $\vec{W}$ .

Note que como se trata de uma igualdade vetorial, então todas as características desses vetores (módulo, direção e sentido) são iguais.

Operações com vetores: Parte 1 (Interpretação Geométrica)

Soma

Assim como números reais, também podemos somar vetores. Geometricamente, a soma de vetores é feita colocando a base de uma das setas na extremidade da outra, como mostrado na figura abaixo, onde $\vec{C} = \vec{A} +\vec{B}$.

 

Importante: note que segundo a definição geométrica, $\vec{A}+\vec{B} = \vec{B}+\vec{A}$, ou seja, a adição é comutativa.

Importante: note que a lei dos cossenos continua valendo, ou seja: $C^2 = A^2+B^2 -2 \cdot A \cdot B \cdot \cos(\theta)$.

Negativo de um vetor

Dado um vetor $\vec{B}$ , definimos $-\vec{B}$ como um vetor que tem sentido oposto a $\vec{B}$ , mas mantém as duas outras propriedades (direção e sentido).

Subtração de Vetores

Para subtrair um vetor $\vec{B}$ de $\vec{A}$, somamos $\vec{A}$ com o negativo de $\vec{B}$ . Ou seja, se $\vec{D} = \vec{A}-\vec{B} \Rightarrow \vec{D} = \vec{A}+(-\vec{B})$ e fazemos o processo de soma já discutido no item 1, tratando o negativo de $\vec{B}$ como um novo vetor.

 

Multiplicação por um escalar

Dado um vetor $\vec{A}$, definimos $k \cdot \vec{A}$ (onde k é um número real positivo) como sendo um vetor de módulo $k \cdot A$ e com mesma direção e sentido do vetor $\vec{A}$. Se k for negativo, tomamos o vetor de módulo $\vert {k}\vert \cdot{A}$, que tenha a mesma direção de $\vec{A}$, mas sentido oposto.

Decomposição de Vetores em eixos

Dado um vetor $\vec{V}$ no plano (ou no espaço), podemos representá-lo por suas projeções (sombras) nos eixos cartesianos. Vamos exemplificar através de uma figura:

Importante: o Teorema de Pitágoras permite encontrar o módulo de um vetor uma vez conhecidas suas projeções:
$V^2 = V_x^2+V_y^2$. Além disso, $V_x = V\cos \theta$ e $V_y = V\sin \theta$

Caso esteja com dificuldades nesse assunto, o NOIC de Física recomenda utilizar o Simulador de Vetores do PhET para ajudar na visualização dos processos.

Versores

Em um sistema cartesiano $xy$, definimos versores $\hat{x}$ e $\hat{y}$ como vetores de módulo 1 e que apontam nas respectivas direções e sentidos dos eixos, como representado na figura:

Qual a importância dos versores? Note que uma vez que sabemos as projeções de um vetor em um dado conjunto de eixos, a propriedade de soma permite escrever o nosso vetor como função dos versores, como mostrado na figura.

De fato, a propriedade de soma de vetores nos permite escrever $\vec{V} = V_x \hat{x}+V_y \hat{y}$. Tal notação torna as quatro operações com vetores bastante práticas de lidar algebricamente, não precisando recorrer à geometria a todo instante.

Operações com Vetores: Parte 2 (Usando o Conceito de Versores)

Soma
Apenas somamos as projeções do vetor decomposto e escrevemos o resultado final na forma de versores: $\vec{C} = \vec{A}+\vec{B} \Rightarrow \vec{C} = (A_x + B_x)\hat{x}+(A_y + B_y)\hat{y}$.

Negativo de um Vetor
Apenas invertemos o sinal em sua representação por versores: $\vec{W} = \vec{-V} \Rightarrow \vec{W} = (-V_x)\hat{x}+(-V_y)\hat{y}$.

Subtração

Apenas subtraímos as projeções do vetor decomposto e escrevemos o resultado final na forma de versores:$\vec{C} = \vec{A}-\vec{B} \Rightarrow \vec{C}=(A_x-B_x)\hat{x}+(A_y-B_y)\hat{y}$.

Multiplicação por um escalar

Apenas multiplicamos cada um dos termos na decomposição por versores: $\vec{B} = k \cdot \vec{A} \Rightarrow \vec{B} = k \cdot (A_x)\hat{x}+k \cdot (A_y) \hat{y}$.