Aula de Diogo Netto – Revisado por Akira Ito
Introdução
Fala, Olímpicos! Essa aula faz parte do Curso de Física do NOIC. Se você quiser conferir como estudar para as olimpíadas da área, dê uma olhada na página do nosso Departamento de Física para ver todos os materiais disponíveis. Agora, vamos começar a aula!
Antes de nos voltarmos efetivamente à física, vamos primeiro estudar uma ferramenta matemática de grande importância para nossos estudos futuros: os vetores!
Definições
Podemos definir os vetores como segmentos de reta orientados (setas), que possuem três características fundamentais: o módulo (o “tamanho” da seta), direção (a reta na qual a seta está contida) e sentido (um entre os dois possíveis “caminhos” ao longo da reta que contém a nossa seta).
No contexto da física, vetores são uma ferramenta matemática que é muito utilizada para estudar uma classe de granzas físicas conhecidas como grandezas vetoriais. Para essas grandezas, apenas um valor numérico (módulo) não é suficiente para estudá-las. Elas exigem uma direção e sentido para que elas possam nos ajudar a estudar alguma situação física. Alguns exemplos desse tipo de grandeza são: velocidade, aceleração, força, deslocamento, impulso, quantidade de movimento.
Por outro lado, também existem as grandezas escalares, que são descritas apenas pelo seu módulo. Alguns exemplos desse tipo de grandeza são: tempo, massa, volume, temperatura, energia, trabalho.
Para grandezas escalares, não existe a necessidade de especificar nem direção nem sentido. A afirmação “A massa de Hemétrio vale $$60$$ kg” é perfeitamente normal, pois só nos importa o valor numérico da massa. No entando, uma afirmação como “A massa de Hemétrio aponta para cima” certamente não faz sentido, pois a massa é uma grandeza escalar.
Para grandezas vetoriais, no entanto, é necessário saber a direção e sentido do vetor em questão. A afirmação “A velocidade do carro de Hemétrio vale $$50$$ km/h” faz sentido, mas não transmite toda a informação necessária. Uma frase mais informativa seria “A velocidade do carro de Hemétrio vale $$50$$ km/h e ele se move na Rua 17 de Janeiro”, que nos informa o módulo e a direção. Uma frase ainda mais completa seria “A velocidade do carro de Hemétrio vale $$50$$ km/h e ele se move na Rua 17 de Janeiro e se move no sentido norte”, pois indica módulo, direção e sentido.
Notações:
Conforme visto pela figura, o vetor em si é indicado por $$\vec{A}$$, seu módulo (valor numérico) é indicado por $$A$$ ou $$\vert{A}\vert$$, a direção é definida pela reta r e o sentido é o apontado pela “flecha” no vetor.
Importante: Vetores de mesmo módulo contidos por retas paralelas e com o mesmo sentido continuam sendo iguais. Na figura abaixo, $$\vec{V}$$ = $$\vec{W}$$ .
Note que como se trata de uma igualdade vetorial, então todas as características desses vetores (módulo, direção e sentido) são iguais.
Operações com vetores: Parte 1 (Interpretação Geométrica)
Soma
Assim como números reais, também podemos somar vetores. Geometricamente, a soma de vetores é feita colocando a base de uma das setas na extremidade da outra, como mostrado na figura abaixo, onde $$\vec{C} = \vec{A} +\vec{B}$$.
Importante: note que segundo a definição geométrica, $$\vec{A}+\vec{B} = \vec{B}+\vec{A}$$, ou seja, a adição é comutativa.
Importante: note que a lei dos cossenos continua valendo, ou seja: $$C^2 = A^2+B^2 -2 \cdot A \cdot B \cdot \cos(\theta)$$.
Negativo de um vetor
Dado um vetor $$\vec{B}$$ , definimos $$-\vec{B}$$ como um vetor que tem sentido oposto a $$\vec{B}$$ , mas mantém as duas outras propriedades (direção e sentido).
Subtração de Vetores
Para subtrair um vetor $$\vec{B}$$ de $$\vec{A}$$, somamos $$\vec{A}$$ com o negativo de $$\vec{B}$$ . Ou seja, se $$\vec{D} = \vec{A}-\vec{B} \Rightarrow \vec{D} = \vec{A}+(-\vec{B})$$ e fazemos o processo de soma já discutido no item 1, tratando o negativo de $$\vec{B}$$ como um novo vetor.
Multiplicação por um escalar
Dado um vetor $$\vec{A}$$, definimos $$ k \cdot \vec{A}$$ (onde k é um número real positivo) como sendo um vetor de módulo $$k \cdot A$$ e com mesma direção e sentido do vetor $$\vec{A}$$. Se k for negativo, tomamos o vetor de módulo $$\vert {k}\vert \cdot{A} $$, que tenha a mesma direção de $$\vec{A}$$, mas sentido oposto.
Decomposição de Vetores em eixos
Dado um vetor $$\vec{V}$$ no plano (ou no espaço), podemos representá-lo por suas projeções (sombras) nos eixos cartesianos. Vamos exemplificar através de uma figura:
Importante: o Teorema de Pitágoras permite encontrar o módulo de um vetor uma vez conhecidas suas projeções:
$$V^2 = V_x^2+V_y^2$$. Além disso, $$V_x = V\cos \theta$$ e $$V_y = V\sin \theta$$
Caso esteja com dificuldades nesse assunto, o NOIC de Física recomenda utilizar o Simulador de Vetores do PhET para ajudar na visualização dos processos.
Versores
Em um sistema cartesiano $$xy$$, definimos versores $$\hat{x}$$ e $$\hat{y}$$ como vetores de módulo 1 e que apontam nas respectivas direções e sentidos dos eixos, como representado na figura:
Qual a importância dos versores? Note que uma vez que sabemos as projeções de um vetor em um dado conjunto de eixos, a propriedade de soma permite escrever o nosso vetor como função dos versores, como mostrado na figura.
De fato, a propriedade de soma de vetores nos permite escrever $$\vec{V} = V_x \hat{x}+V_y \hat{y}$$. Tal notação torna as quatro operações com vetores bastante práticas de lidar algebricamente, não precisando recorrer à geometria a todo instante.
Operações com Vetores: Parte 2 (Usando o Conceito de Versores)
Soma
Apenas somamos as projeções do vetor decomposto e escrevemos o resultado final na forma de versores: $$\vec{C} = \vec{A}+\vec{B} \Rightarrow \vec{C} = (A_x + B_x)\hat{x}+(A_y + B_y)\hat{y}$$.
Negativo de um Vetor
Apenas invertemos o sinal em sua representação por versores: $$\vec{W} = \vec{-V} \Rightarrow \vec{W} = (-V_x)\hat{x}+(-V_y)\hat{y} $$.
Subtração
Apenas subtraímos as projeções do vetor decomposto e escrevemos o resultado final na forma de versores:$$\vec{C} = \vec{A}-\vec{B} \Rightarrow \vec{C}=(A_x-B_x)\hat{x}+(A_y-B_y)\hat{y}$$.
Multiplicação por um escalar
Apenas multiplicamos cada um dos termos na decomposição por versores: $$\vec{B} = k \cdot \vec{A} \Rightarrow \vec{B} = k \cdot (A_x)\hat{x}+k \cdot (A_y) \hat{y}$$.
Parabéns por terminar essa aula! Se quiser seguir com o conteúdo, você pode voltar para a página do Curso de Física ou já pular para a Aula 1.1. Para conferir como estudar para as olimpíadas da área, dê uma olhada na página do nosso Departamento de Física: lá você também encontra o Guia de Estudos, as soluções de provas anteriores e diversos outros materiais. Bons estudos!