Aula 1.1 - Movimento Retilíneo

Aula de Diogo Netto - Revisado por João G Pepato

Introdução

Vamos começar o nosso estudo de física com a cinemática, área que se preocupa em descrever o movimento em si, não levando em conta fatores como forças, impulsos, etc. que o estabeleceram (tópicos que estarão reservados para o estudo da dinâmica). Nesta seção falaremos da cinemática para o caso particular dos movimentos retilíneos, restritos a 1 dimensão.

Conceitos importantes

Trajetória

É o conjunto dos pontos que a partícula ocupou durante o seu movimento. No caso do movimento retilíneo, a trajetória é um segmento de reta. No caso de um carro se movimentando em uma rodovia, por exemplo, a trajetória é algum subconjunto daquela estrada.

Espaço

Na cinemática, o espaço de uma partícula é a sua posição, que pode ser quantificada com o uso de um sistema de coordenadas. A origem desse sistema é chamada de "origem dos espaços". Na imagem a seguir, a origem dos espaços é o ponto O e a posição do corpo que está no ponto A é $s_A$ .No caso de uma rodovia, as marcas de quilometragem na beira da estrada nos dão uma indicação de espaço, e a origem desse sistema é definida pelo “marco zero”.

Assim, se um carro está em frente à placa “123Km”, ele está a 123Km da origem dos espaços, que é o marco zero.

Tempo

Da mesma forma que podemos denotar a posição que uma partícula ocupa no espaço, podemos denotar o instante em que um evento ocorre no tempo. Para isso, precisamos definir a “origem dos tempos”, que é o instante a partir do qual o tempo começará a ser contado.

Nesse exemplo, o instante em que foi marcado o primeiro gol foi 67 minutos, que são contados a partir do início do jogo - a origem dos tempos.

Velocidade Média

Vamos supor que em um instante de tempo $t_1$ uma partícula esteja em uma posição $s_1$ , e em $t_2$ esteja em $s_2$ .

Definimos a velocidade média como: $v_{med}=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ , onde o $\Delta$ (delta) indica variação de uma grandeza.

Observação 1 : A velocidade instantânea (como aquela lida no velocímetro de um carro) pode ser entendida como a velocidade média quando pegamos dois instantes $t_1$ e $t_2$ muito próximos. Porém, a definição formal requer o conceito de limites, algo que está além do escopo deste curso.

Observação 2 : No Sistema Internacional de Unidades, SI, velocidades são medidas em $\frac{m}{s}$ , metro por segundo.

Aceleração Média
Analogamente à velocidade média, se em $t_1$ a partícula tinha velocidade $t]v_1$ e, em $t_2$ , velocidade $v_2$ , então definimos:

$a_{med}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ .

Observação 1 : Do mesmo modo que a velocidade instantânea, a aceleração instantânea também pode ser definida como àquela entre dois instantes $t_1$ e $t_2$ muito próximos. A definição formal também requer o uso de limites.
Observação 2 : No SI as acelerações são medidas em $\frac{m}{s^2}$ , metro por segundo ao quadrado.

Conversão de Unidades

As unidades mais comuns para medida do espaço são metros $(m)$ e quilômetros $(Km)$

Como, $1000m=1Km$ , para passarmos de m para Km, dividimos por 1000 e, para passar de $Km$ paras $m$ , multiplicamos por 1000.

As unidades mais comuns para medida do tempo são segundos $(s)$ e horas $(h)$

Como $3600s=1h$ , para passarmos de $s$ para $h$ , dividimos por 3600 e, para passar de $h$ paras $s$ , multiplicamos por 3600.

As unidades mais comuns para medida de velocidade são quilômetros por hora $(\frac{Km}{h})$ e metros por segundo $(\frac{m}{s})$ .

Como $1\frac{Km}{h}=1 \frac{1000m}{3600s}=\frac{1}{3,6}\frac{m}{s}$ , para passarmos de $\frac{Km}{h}$ para $\frac{m}{s}$ , dividimos por 3,6 e, para passar de $\frac{m}{s}$ para $\frac{Km}{h}$ , multiplicamos por 3,6.

Movimento progressivo e retrógrado

O movimento é progressivo quando o vetor velocidade aponta no mesmo sentido que o sentido de referência. Se definirmos o sentido de referência como sendo para a direita, o movimento será progressivo quando o vetor velocidade também apontar para a direita.

O movimento é retrógrado quando o vetor velocidade aponta no sentido oposto ao sentido de referência. Se definirmos o sentido de referência como sendo para a direita, o movimento será retrógrado quando o vetor velocidade apontar para a esquerda.

Movimento acelerado e retardado

O movimento é acelerado quando o vetor aceleração aponta no mesmo sentido que o vetor velocidade.

O movimento é retardado quando o vetor aceleração aponta no sentido oposto ao vetor velocidade.

Ponto material e corpo extenso

Um corpo é um ponto material quando as suas dimensões não interferem no movimento.

Um corpo é um corpo extenso quando as suas dimensões interferem no movimento.

Um mesmo corpo pode ser um ponto material e um corpo extenso em diferentes situações. Um carro que viaja numa rodovia é um ponto material, já que suas dimensões são desprezíveis em relação ao comprimento da rodovia e assim não influenciam no movimento. Por outro lado, um carro que está sendo estacionado em uma vaga é um corpo extenso, já que as suas dimensões são relevantes para o movimento.

Particularizando os movimentos

Existem dois casos especiais de movimentos retilíneos, um em que a velocidade é constante, o Movimento Retilíneo Uniforme, e outro onde a aceleração é constante, o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. Vamos estudá-los:

Movimento Retilíneo Uniforme

Se a velocidade é constante, podemos tomar como $s_0$ o espaço da partícula correspondente a $t_0 = 0$ . Assim, chamando a velocidade média genericamente por v (já que ela é constante nesse caso):

$v=\frac{s-s_0}{t-t_0} \Rightarrow s=s_0+ v\cdot t$ , que é a Função Horária do MRU.

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Nesse caso, a aceleração é constante, e tomando $v_0$ como a velocidade da partícula em $t_0=0$ podemos escrever:

$a=\frac{v-v_0}{t-t_0} \Rightarrow v=v_0+a\cdot t$ , que nos permite obter a velocidade em função do tempo.

Interpretação Gráfica

Movimento Retilíneo Uniforme

Aqui, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta paralela ao eixo t. Além disso, o gráfico do espaço em função do tempo é também uma reta, cuja inclinação é numericamente igual a velocidade do movimento.

Movimento Retilíeneo Uniformemente Variado

Aqui, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta com inclinação numericamente igual à aceleração. O uso de cálculo integral (que não será feito nessa lista) permite determinar a variação no espaço a partir da área do gráfico da velocidade pelo tempo. No caso do MRUV, temos:

$\Delta s = s-s_0=A=\frac{(v_0+v)\cdot(t-t_0)}{2}$ , adotando $t_0 = 0$ como o instante inicial e notando que no MRU $v=v_0+at$ , chegamos em $s=s_0+v_0\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}$ , que é a Função Horária do MRUV, sendo que o gráfico dessa função é uma parábola, como mostrado abaixo.

Além disso, podemos obter uma equação alternativa juntando as duas anteriores: $s - s_0=\Delta s=v_0\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}$ , isolando o tempo na equação das velocidades: $t=\frac{v-v_0}{a}$ , de modo que substituindo ficamos com $\Delta s=\frac{v_0\cdot\ (v-v_0)}{a}+\frac{a}{2}\cdot(\frac{v-v_0}{a})^{2} \Rightarrow v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot \Delta s$ , que é a Equação de Torricelli.

Movimentos Retilíneos Gerais

Dado o gráfico espaço como função do tempo, o cálculo diferencial permite mostrar que a inclinação da reta tangente ao gráfico nos dá o valor numérico da velocidade instantânea.

No gráfico velocidade como função do tempo, a inclinação da tangente nos dá o valor da aceleração, e a área por baixo desse gráfico nos dá a variação do espaço.

No gráfico aceleração como função do tempo, a respectiva área nos dá o valor da variação de velocidade.

Mudança de Referencial

"Referencial" é o sistema de coordenadas fixo ou em movimento a partir do qual as posições, trajetórias e movimentos de objetos são descritos e analisados. Aqui, nos restringiremos aos referenciais inerciais, que são os referenciais nos quais corpos livres não têm o seu estado de movimento alterado, a não ser que haja uma força externa atuando sobre eles.

Imagine uma pessoa (A) parada na calçada e outra pessoa (B) em um carro a $30\frac{Km}{h}$ - ambas olhando um ônibus com velocidade $40\frac{Km}{h}$ no mesmo sentido que a pessoa B.

A pessoa A vê o ônibus se movendo a $40\frac{Km}{h}$ - formalmente, dizemos que o ônibus tem uma velociade igual a $40\frac{Km}{h}$ no referencial da pessoa A - enquanto a pessoa B vê o mesmo ônibus parado - o ônibus tem velocidade nula no referencial da pessoa B.

Com esse exemplo do cotidiano, é fácil percebemos que a velocidade com que vemos um corpo depende do referencial em que estamos.

Dessa forma, é útil definirmos o termo "velocidade relativa":

A velocidade de um corpo 2 no referencial de um corpo 1 é a velocidade relativa do corpo 2 em relação ao corpo 1.

Para calcularmos a velocidade relativa de um corpo 2 em relação a um corpo 1, usamos a seguinte equação:

$\vec{v_r}=\vec{v_2}-\vec{v_1}$

Sumário com equações importantes

$v_{med}=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$
$a_{med}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$
$1\frac{Km}{h}=\frac{1}{3,6}\frac{m}{s}$
$s=s_0+ v\cdot t$ (Função horária do espaço para MRU)
$v=v_0+a\cdot t$ (Função horária da velocidade para MRUV)
$s - s_0=\Delta s=v_0\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}$ (Função horária do espaço para MRUV)
$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot \Delta s$ (Equação de Torricelli)

OBS: A interpretação gráfica também é extremamente importante.