Aula de Diogo Netto – Revisado por João G Pepato
Introdução
Vamos começar o nosso estudo de física com a cinemática, área que se preocupa em descrever o movimento em si, não levando em conta fatores como forças, impulsos, etc. que o estabeleceram (tópicos que estarão reservados para o estudo da dinâmica). Nesta seção falaremos da cinemática para o caso particular dos movimentos retilíneos, restritos a 1 dimensão.
Conceitos importantes
Trajetória
É o conjunto dos pontos que a partícula ocupou durante o seu movimento. No caso do movimento retilíneo, a trajetória é um segmento de reta. No caso de um carro se movimentando em uma rodovia, por exemplo, a trajetória é algum subconjunto daquela estrada.
Espaço
Na cinemática, o espaço de uma partícula é a sua posição, que pode ser quantificada com o uso de um sistema de coordenadas. A origem desse sistema é chamada de “origem dos espaços”. Na imagem a seguir, a origem dos espaços é o ponto O e a posição do corpo que está no ponto A é $$s_A$$.No caso de uma rodovia, as marcas de quilometragem na beira da estrada nos dão uma indicação de espaço, e a origem desse sistema é definida pelo “marco zero”.
Assim, se um carro está em frente à placa “123Km”, ele está a 123Km da origem dos espaços, que é o marco zero.
Tempo
Da mesma forma que podemos denotar a posição que uma partícula ocupa no espaço, podemos denotar o instante em que um evento ocorre no tempo. Para isso, precisamos definir a “origem dos tempos”, que é o instante a partir do qual o tempo começará a ser contado.
Nesse exemplo, o instante em que foi marcado o primeiro gol foi 67 minutos, que são contados a partir do início do jogo – a origem dos tempos.
Velocidade Média
Vamos supor que em um instante de tempo $$t_1$$ uma partícula esteja em uma posição $$s_1$$, e em $$t_2$$ esteja em $$s_2$$.
Definimos a velocidade média como: $$v_{med}=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$, onde o $$\Delta$$ (delta) indica variação de uma grandeza.
Observação 1 : A velocidade instantânea (como aquela lida no velocímetro de um carro) pode ser entendida como a velocidade média quando pegamos dois instantes $$t_1$$ e $$t_2$$ muito próximos. Porém, a definição formal requer o conceito de limites, algo que está além do escopo deste curso.
Observação 2 : No Sistema Internacional de Unidades, SI, velocidades são medidas em $$\frac{m}{s}$$, metro por segundo.
Aceleração Média
Analogamente à velocidade média, se em $$t_1$$ a partícula tinha velocidade $$t]v_1$$ e, em $$t_2$$, velocidade $$v_2$$, então definimos:
$$a_{med}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$.
Observação 1 : Do mesmo modo que a velocidade instantânea, a aceleração instantânea também pode ser definida como àquela entre dois instantes $$t_1$$ e $$t_2$$ muito próximos. A definição formal também requer o uso de limites.
Observação 2 : No SI as acelerações são medidas em $$\frac{m}{s^2}$$, metro por segundo ao quadrado.
Conversão de Unidades
As unidades mais comuns para medida do espaço são metros $$(m)$$ e quilômetros $$(Km)$$
Como, $$1000m=1Km$$, para passarmos de m para Km, dividimos por 1000 e, para passar de $$Km$$ paras $$m$$, multiplicamos por 1000.
As unidades mais comuns para medida do tempo são segundos $$(s)$$ e horas $$(h)$$
Como $$3600s=1h$$, para passarmos de $$s$$ para $$h$$, dividimos por 3600 e, para passar de $$h$$ paras $$s$$, multiplicamos por 3600.
As unidades mais comuns para medida de velocidade são quilômetros por hora $$(\frac{Km}{h})$$ e metros por segundo $$(\frac{m}{s})$$.
Como $$1\frac{Km}{h}=1 \frac{1000m}{3600s}=\frac{1}{3,6}\frac{m}{s}$$, para passarmos de $$\frac{Km}{h}$$ para $$\frac{m}{s}$$, dividimos por 3,6 e, para passar de $$\frac{m}{s}$$ para $$\frac{Km}{h}$$, multiplicamos por 3,6.
Movimento progressivo e retrógrado
O movimento é progressivo quando o vetor velocidade aponta no mesmo sentido que o sentido de referência. Se definirmos o sentido de referência como sendo para a direita, o movimento será progressivo quando o vetor velocidade também apontar para a direita.
O movimento é retrógrado quando o vetor velocidade aponta no sentido oposto ao sentido de referência. Se definirmos o sentido de referência como sendo para a direita, o movimento será retrógrado quando o vetor velocidade apontar para a esquerda.
Movimento acelerado e retardado
O movimento é acelerado quando o vetor aceleração aponta no mesmo sentido que o vetor velocidade.
O movimento é retardado quando o vetor aceleração aponta no sentido oposto ao vetor velocidade.
Ponto material e corpo extenso
Um corpo é um ponto material quando as suas dimensões não interferem no movimento.
Um corpo é um corpo extenso quando as suas dimensões interferem no movimento.
Um mesmo corpo pode ser um ponto material e um corpo extenso em diferentes situações. Um carro que viaja numa rodovia é um ponto material, já que suas dimensões são desprezíveis em relação ao comprimento da rodovia e assim não influenciam no movimento. Por outro lado, um carro que está sendo estacionado em uma vaga é um corpo extenso, já que as suas dimensões são relevantes para o movimento.
Particularizando os movimentos
Existem dois casos especiais de movimentos retilíneos, um em que a velocidade é constante, o Movimento Retilíneo Uniforme, e outro onde a aceleração é constante, o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. Vamos estudá-los:
Movimento Retilíneo Uniforme
Se a velocidade é constante, podemos tomar como $$s_0$$ o espaço da partícula correspondente a $$t_0 = 0$$. Assim, chamando a velocidade média genericamente por v (já que ela é constante nesse caso):
$$v=\frac{s-s_0}{t-t_0} \Rightarrow s=s_0+ v\cdot t$$, que é a Função Horária do MRU.
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
Nesse caso, a aceleração é constante, e tomando $$v_0$$ como a velocidade da partícula em $$t_0=0$$ podemos escrever:
$$a=\frac{v-v_0}{t-t_0} \Rightarrow v=v_0+a\cdot t$$, que nos permite obter a velocidade em função do tempo.
Interpretação Gráfica
Movimento Retilíneo Uniforme
Aqui, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta paralela ao eixo t. Além disso, o gráfico do espaço em função do tempo é também uma reta, cuja inclinação é numericamente igual a velocidade do movimento.
Movimento Retilíeneo Uniformemente Variado
Aqui, o gráfico da velocidade em função do tempo é uma reta com inclinação numericamente igual à aceleração. O uso de cálculo integral (que não será feito nessa lista) permite determinar a variação no espaço a partir da área do gráfico da velocidade pelo tempo. No caso do MRUV, temos:
$$\Delta s = s-s_0=A=\frac{(v_0+v)\cdot(t-t_0)}{2}$$, adotando $$t_0 = 0$$ como o instante inicial e notando que no MRU $$v=v_0+at$$, chegamos em $$s=s_0+v_0\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2} $$ , que é a Função Horária do MRUV, sendo que o gráfico dessa função é uma parábola, como mostrado abaixo.
Além disso, podemos obter uma equação alternativa juntando as duas anteriores: $$s – s_0=\Delta s=v_0\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}$$, isolando o tempo na equação das velocidades: $$t=\frac{v-v_0}{a}$$, de modo que substituindo ficamos com $$\Delta s=\frac{v_0\cdot\ (v-v_0)}{a}+\frac{a}{2}\cdot(\frac{v-v_0}{a})^{2} \Rightarrow v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot \Delta s$$, que é a Equação de Torricelli.
Movimentos Retilíneos Gerais
Dado o gráfico espaço como função do tempo, o cálculo diferencial permite mostrar que a inclinação da reta tangente ao gráfico nos dá o valor numérico da velocidade instantânea.
No gráfico velocidade como função do tempo, a inclinação da tangente nos dá o valor da aceleração, e a área por baixo desse gráfico nos dá a variação do espaço.
No gráfico aceleração como função do tempo, a respectiva área nos dá o valor da variação de velocidade.
Mudança de Referencial
“Referencial” é o sistema de coordenadas fixo ou em movimento a partir do qual as posições, trajetórias e movimentos de objetos são descritos e analisados. Aqui, nos restringiremos aos referenciais inerciais, que são os referenciais nos quais corpos livres não têm o seu estado de movimento alterado, a não ser que haja uma força externa atuando sobre eles.
Imagine uma pessoa (A) parada na calçada e outra pessoa (B) em um carro a $$30\frac{Km}{h}$$ – ambas olhando um ônibus com velocidade $$40\frac{Km}{h}$$ no mesmo sentido que a pessoa B.
A pessoa A vê o ônibus se movendo a $$40\frac{Km}{h}$$ – formalmente, dizemos que o ônibus tem uma velociade igual a $$40\frac{Km}{h}$$ no referencial da pessoa A – enquanto a pessoa B vê o mesmo ônibus parado – o ônibus tem velocidade nula no referencial da pessoa B.
Com esse exemplo do cotidiano, é fácil percebemos que a velocidade com que vemos um corpo depende do referencial em que estamos.
Dessa forma, é útil definirmos o termo “velocidade relativa“:
A velocidade de um corpo 2 no referencial de um corpo 1 é a velocidade relativa do corpo 2 em relação ao corpo 1.
Para calcularmos a velocidade relativa de um corpo 2 em relação a um corpo 1, usamos a seguinte equação:
$$\vec{v_r}=\vec{v_2}-\vec{v_1}$$
Sumário com equações importantes
- $$v_{med}=\frac{s_2-s_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$
- $$a_{med}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}$$
- $$1\frac{Km}{h}=\frac{1}{3,6}\frac{m}{s}$$
- $$s=s_0+ v\cdot t$$ (Função horária do espaço para MRU)
- $$ v=v_0+a\cdot t$$ (Função horária da velocidade para MRUV)
- $$s – s_0=\Delta s=v_0\cdot t+\frac{a\cdot t^2}{2}$$ (Função horária do espaço para MRUV)
- $$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot \Delta s$$ (Equação de Torricelli)
OBS: A interpretação gráfica também é extremamente importante.