Aula 1.11 - Momento de Inércia

 

Aula de Paulo César

Como visto na aula de torques, o momento de inércia é uma grandeza de grande importância quando estudamos a dinâmica de corpos rígidos, nessa aula aprofundaremos nossos conceitos a respeito desse tópico.

Quando tratamos de uma partícula com dimensões desprezíveis e massa constante, podemos afirmar:

    $\vec{F}_{res}=m\vec{a}$

 analogamente, para um corpo rígido extenso sujeito à um torque resultante é possível escrever:

  $\vec{\tau}=I\vec{\alpha}$

Observa-se desse modo um equivalente à massa do corpo na primeira situação para um corpo extenso em rotação, grandeza conhecida como momento de inércia que pode ser interpretada como a resistência de um material à mudanças em seu movimento angular. Para um distribuição discreta de $n$ massas, estando a i-ésima massa a uma distância $r_{i}$ do eixo de rotação, o valor do momento de inércia é dado pela expressão:

$I=\sum m_{i}r^2_{i}$

Figura 1: Esquema representativo das grandezas relevantes para o momento de inércia no caso discreto.

para uma distribuição contínua podemos imaginar infinitas massas infinitesimais, desse modo temos:

$I=\int r^2dm$

Figura 2: Esquema representativo das grandezas relevantes para o momento de inércia no caso contínuo.

Por exemplo, para uma barra delgada de massa $m$ uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento $l$, o momento de inércia ao redor do centro de massa é dado por:

$I=\int r^2dm \Rightarrow I=\frac{m}{l}\int_{-l/2}^{l/2}r^2dr$

$\Rightarrow I = \frac{ml^2}{12}$

Caso o leitor não possua conhecimento de cálculo existem inúmeras tabelas que contém os valores dos momentos de inércia mais comuns.

A fim de facilitar o cálculo dos momentos de inércia apresentaremos dois teoremas que possibilitarão a obtenção dessas quantidades sem muito esforço. Considere um conjunto de $n$ massas em que o vetor $\vec{r_{i}}$ é a componente perpendicular do vetor posição da partícula em um referencial $S$, além disso definiremos o vetor $\vec{R}$ como o vetor da posição do centro de massa das $n$ partículas e o vetor $\vec{r_{i}}'$ como a componente do vetor posição da i-ésima massa que é perpendicular ao eixo de rotação, conforme a figura a seguir:

Figura 3: Imagem ilustrando os parâmetros relevantes para a determinação do momento de inércia de um corpo através do teorema dos eixos paralelos.

Assim é possível afirmar que:

$\vec{r_{i}}=\vec{d}+\vec{r_{i}}' \Rightarrow r_{i}^2 = d^2 + r_{i}'^2 + 2(\vec{d}\cdot\vec{r_{i}}')$

portanto o momento de inércia do sistema no referencial $S$ é dado por:

$I=\sum m_{i}d^2 + \sum m_{i}r_{i}'^2 + 2\sum (\vec{d}\cdot\vec{r_{i}}')$

Faremos então $I_{CM}\equiv \sum m_{i}r_{i}'^2$, ou seja, o momento de inércia em relação ao centro de massa do sistema. Observe que $\vec{d}$ é constante durante a soma das massas sendo possível dessa forma retirá-lo do somatório devido à propriedade $\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B} + \vec{A}\cdot\vec{C}$ resultando em:

$I=I_{CM}+Md^2+2\vec{d}\cdot\sum m_{i}\vec{r_{i}}'$

Em que $M \equiv \sum m_{i}$, ou seja, a massa total do sistema. Porém o termo $\sum m_{i}\vec{r_{i}}'$ é, por definição, a posição do centro de massa em seu próprio referencial vezes a massa total do conjunto e portanto o vetor nulo. Assim chegamos no teorema dos eixos paralelos:

$I=I_{CM}+Md^2$

A demonstração foi feita para um distribuição discreta porém os mesmos argumentos poderiam ser utilizados para o  caso contínuo.

Agora suponha que o mesmo conjunto esteja disposto em um plano e possua momento de inércia $I_{x}$ e $I_{y}$ nos eixos $x$ e $y$, respectivamente. Pela definição de momento de inércia no eixo $z$ teremos:

$I_{z}= \sum m_{i}{r_{i}^2}$

nesse caso a distância $r_{i}$ coincide com a distância da partícula à origem do sistema de referência de forma que $r_{i}^2=x_{i}^2+y_{i}^2$, como pode ser verificado pela imagem:

Figura 4: Imagem ilustrando os parâmetros relevantes para a determinação do momento de inércia de um corpo através do teorema dos eixos perpendiculares.

Portanto:

$I_{z}=\sum m_{i}x_{i}^2 + \sum m_{i}y_{i}^2$

logo:

$I_{z}=I_{x}+I_{y}$

Esse é o teorema dos eixos perpendiculares, válido apenas para objetos planos. Novamente, os mesmos argumentos utilizados aqui poderiam ser usados para um distribuição contínua. De maneira geral, o momento de inércia em um eixo ortogonal ao plano do corpo é igual à soma dos momentos de inércia de dois momentos de inércia em eixos perpendiculares ao longo desse plano.

Continuando no cenário que estamos estudando, podemos encontrar a energia cinética de um conjunto de partículas se movendo. Para fazer isso, afirmaremos que a velocidade de uma partícula $(\vec{v_{i}})$ pode ser expressa como a soma da velocidade do centro de massa $(\vec{V})$ do sistema com a velocidade da partícula em relação ao centro de massa $(\vec{v}_{i}')$, matematicamente:

$\vec{v}=\vec{V}+\vec{v}' \Rightarrow v^2=V^2+v'^2+2(\vec{V}\cdot\vec{v'})$

logo, a energia cinética total do corpo é dada por:

$T=\sum \frac{1}{2}m_{i}v_{i}^2 \Rightarrow T=\frac{1}{2}\sum m_{i}V^2 + \frac{1}{2}\sum m_{i}v_{i}'^2+\vec{V}\cdot\sum m_{i}\vec{v_{i}'}$

Similarmente, o termo $\sum m_{i}\vec{v_{i}'}$ representa a massa total do corpo vezes a velocidade de centro de massa em seu próprio referencial que é $\vec{0}$. O módulo da velocidade de uma partícula no referencial do centro de massa é dada por $v_{i}'=\omega r_{i}'$ portanto:

$T=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}\omega^2\sum m_{i}r_{i}'^2 \Rightarrow T=\frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}I_{CM}\omega^2$

Assim, é possível a calcular a energia cinética do corpo o tratando como uma partícula de dimensões desprezíveis de massa $M$ e velocidade $V$ e em seguida somar a contribuição relacionada à rotação do corpo dada por $\frac{1}{2}I_{CM}\omega^2$ fazendo novamente analogia ao caso linear em que $m \rightarrow I$ e $v \rightarrow \omega$. Mais uma vez, os argumentos que foram utilizados para partículas discretas seguem análogos ao caso contínuo.