Aula 1.2 - Movimento CIrcular

Aula de Diogo Netto - Revisado por Alex de Sousa

Introdução

Agora que estudamos o movimento retilíneo, vamos aplicar algumas das ferramentas que desenvolvemos para o estudo do movimento circular.

Primeiramente precisamos entender com qual medida trabalharemos aqui. No estudo de movimento nós estudamos a posição e as suas mudanças, e a taxa com que essa mudança ocorre, e etc. Aqui ao invés da posição, nós estudaremos o ângulo ou a fase angular, mas a base matemática do que aprendemos na aula passada nos servirá igualmente! Portanto, vamos definir como medimos essa fase.

Como medem-se os ângulos?

Assim como o grau, podemos definir diferentes unidades para ângulos. Em física, o radiano é de particular importância. O ângulo em radianos é aquilo que aparece de forma mais imediata nos cálculos e é mais prático de se utilizar, conforme veremos a frente.

Dado um arco de comprimento $s$ em uma circunferência de raio $R$, definimos a medida de um ângulo em radianos como: $\phi(rad)=\dfrac{s}{R}$. Perceba que essa medida funciona para radianos e somente radianos!

Se quisermos calcular o comprimento da circunferência de um circulo sabemos que $s = 2 \, \pi \, R$. Substituindo isso na fórmula temos $\phi=\dfrac{2 \, \pi \, R}{R} = 2 \, \pi \, \textrm{rad}$, e como o ângulo total de uma volta é $360 \, ^{\circ}$, sabemos que $2 \, \pi \, \textrm{rad} = 360 \, ^{\circ}$. Sem mudar as unidades de medida de comprimento, chegamos a um ângulo em radianos!

Fase, velocidade angular média e outros conceitos importantes

Como mostrado na figura, medimos o ângulo entre a posição do corpo e uma "orientação de origem" e marcamos a fase $\phi$. Assim como marcávamos uma posição inicial e a partir dela poderíamos definir a atual.

Suponha que um corpo tenha fase $\phi_1$ em um instante $t_1$ e fase $\phi_2$ em um instante $t_2$. Analogamente ao que fizemos para o movimento retilíneo, definimos a velocidade angular média como:

$\omega_{med}=\dfrac{\phi_2-\phi_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta \phi}{\Delta t}$

Se o mesmo corpo tiver velocidades angulares $\omega_1$ e $\omega_2$ nos instantes considerados, analogamente, definimos a aceleração angular média como:

$\alpha_{med}=\dfrac{\omega_2-\omega_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}$

Como venho falando, a matemática é muito parecida!

Observação importante

Conforme já vimos na lista anterior, o conceito de grandezas instantâneas requer o uso de cálculo. Mas, podemos pensar na velocidade angular instantânea como aquela tomada para instantes de tempo $t_1$ e $t_2$ muito próximos (e o análogo para a aceleração angular instantânea).

Frequência e Período

Para um movimento circular existem duas quantidades muito importantes, a frequência e o período. A frequência é o número de vezes que a partícula dá uma volta na sua trajetória pelo tempo gasto. E o período é o inverso disso (matematicamente também!), ele é tempo gasto por um número de voltas dadas pela partícula. Portanto se quisermos calcular o período, só precisamos achar o tempo para dar $n$ voltas, portanto:

$T = \dfrac{n S}{v} \cdot \dfrac{1}{n}$, onde $S$ é o comprimento da circunferência.

$T = \dfrac{S}{v} = \dfrac{2 \pi R}{\omega R} \Rightarrow \boxed{T = \dfrac{2 \pi}{\omega} \therefore \omega = \dfrac{2 \pi}{T}}$

Se quisermos achar a frequência, é só perceber que a definição desta e portanto:

$\boxed{f = \dfrac{1}{T} \Rightarrow f = \dfrac{\omega}{2 \pi} \therefore \omega = 2 \pi f}$

Velocidade Tangencial e Radial

Devemos definir 2 velocidades que podem aparecer em qualquer situação, e são muito utilizadas em movimentos circulares.

Na figura acima podemos ver uma partícula a uma distância $\overrightarrow{r}$ da origem se movendo com velocidade $\overrightarrow{v}$. O que mais podemos inferir? Bom, ela tem uma velocidade radial $\overrightarrow{v_r}$ e tangencial $\overrightarrow{v_t}$.

Pela trigonometria, vemos que a velocidade radial é definida como $| v_r | = | v | \cos \theta$.  Ou seja ela é a componente da velocidade que está na direção do raio.

Mas e a velocidade tangencial? Bom, é a outra componente. Portanto ela aponta numa direção perpendicular a radial, e o módulo dela é $| v_t | = | v | \sin \theta$.  E esta é a componente da velocidade que altera a fase angular da partícula com relação a direção de referência, no nosso caso altera o ângulo $\phi$ entre o raio e o eixo x.

Com estas definições, como são as velocidades num movimento circular? Como um círculo possui raio constante de seu centro ou origem, então a velocidade radial é nula a todo tempo, e a tangencial é a única que realmente aparece.

Agora iremos calcular a relação da velocidade tangencial com a angular para um movimento circular. Conforme a definição de radiano:

$s_1=R\cdot \phi_1, s_2=R\cdot \phi_2 \Rightarrow \Delta s=R\cdot(\phi_2-\phi_1)=R\cdot \Delta\phi$

$\Rightarrow v_{tan}=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{R\cdot \Delta\phi}{\Delta t}=\omega\cdot R$.

Analogamente podemos relacionar a aceleração tangencial e a aceleração angular:

$v_1=R\cdot \omega_1$ e  $v_2=R\cdot \omega_2$, portanto:

$\Rightarrow \Delta v=R \cdot (\omega_2-\omega_1) = R \cdot \Delta\omega$

$\Rightarrow a_{tan}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{R\cdot \Delta\omega}{\Delta t}$

$\boxed{a_{tan} = \alpha \cdot R}$

Particularizando os movimentos

Movimento Circular Uniforme (MCU)

Chamamos de movimento circular uniforme aquele em que a velocidade angular do corpo é constante (sendo, portanto, igual à sua média). Suponha que em $t=0$ o corpo tenha fase $\phi=\phi_0$. Note que:

$\omega=\dfrac{\Delta \phi}{\Delta t} = \dfrac{\phi-\phi_0}{t-0}$

$\boxed{\phi=\phi_0+\omega t}$

Equação análoga à do MRU, trocando $s$ por $\phi$ e $v$ por $\omega$.

Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV)

Nesse caso, temos uma aceleração angular constante. Assim, podemos tomar $\omega_0$ 0 como a velocidade angular em $t_0$ e escrever

$\alpha=\dfrac{\omega-\omega_0}{t-0}$

$\boxed{\omega=\omega_0+\alpha t}$

O gráfico de $\omega$ por $t$ será de uma função do 1º grau.

De modo análogo ao que discutimos na lista anterior, o deslocamento angular pode ser obtido pela área no gráfico acima.

$\Delta\phi\stackrel{N}{=}A=\dfrac{(\omega+\omega_0)(t-0)}{2}=\dfrac{(2\omega_0+\alpha t)t}{2}$

$\boxed{\phi=\phi_0+\omega_0 t+\dfrac{\alpha t^2}{2}}$

Para o MCUV, temos também um Torricelli Angular. Substituindo $t=\dfrac{\omega-\omega_0}{\alpha}$ na equação acima, obtemos:

$\phi=\phi_0+\omega_0 t+\dfrac{\alpha t^2}{2}=\phi_0+\omega_0\cdot(\dfrac{\omega-\omega_0}{\alpha})+\dfrac{\alpha}{2}\cdot(\dfrac{\omega-\omega_0}{\alpha})^2$

$\boxed{\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\phi}$

Continuando a tendência, muitas coisas que se aplicam no movimento retilíneo, também se aplicam aqui!

A Aceleração no Movimento Circular

Já vimos que no movimento circular a velocidade radial é zero, e também as fórmulas para a velocidade angular, aceleração angular e consequentemente aceleração e velocidade tangenciais no MCU e no MCUV. Mas não nos perguntamos sobre a aceleração radial. Ela não seria zero? Já que a velocidade radial a todo instante é nula?

Pense quando você está num carro fazendo uma curva e se sente sendo jogado para fora da curva, isso por si só já prova de que deve haver uma aceleração que lhe mantém numa trajetória circular. Não é por outro motivo que podemos ver pilotos de jatos de caça em manobras sendo submetidos a aceleração tão grandes quanto 9 vezes a aceleração da gravidade!

Vamos considerar uma partícula em um movimento circular em 2 instantes $t_1$ e $t_2$.

Conforme vemos na figura, quando comparamos dois instantes $t_1$ e $t_2$, vemos que a direção da velocidade tangencial indicada pelas linhas tracejadas muda. Como a aceleração tangencial aponta na mesma direção da velocidade tangencial, só poderia alterar seu módulo, não sua direção, então a única explicação é que também deve haver uma aceleração radial.

Agora vamos tentar calcular quanto vale essa aceleração radial, e para isso vamos considerar um MCU, mas saibam que este resultado é geral.

Consideremos 2 instantes onde a partícula percorre uma fase angular $\theta$ entre eles. Pela geometria do círculo, sabemos então que o ângulo entre as retas tangentes também deve valer $\theta$. Além disso chamamos a aceleração radial de $a_{cp}$ por seu nome usual ser aceleração centrípeta, e ela é a causa da velocidade tangencial manter seu módulo mudando sua direção. Se analisarmos a velocidade no segundo instante temos:

Mas e se considerarmos que os dois instantes são muito próximos um do outro? Tão próximos que a partícula percorre um ângulo infinitesimalmente pequeno?

Observação: Para $\theta \ll 1 \, \textrm{rad}$ vale que $\sin \theta \approx \theta$ e $\cos \theta \approx 1$

O que acontece então é que $v_t \, \cos \theta \approx v_t$, e consequentemente $v_t \, \sin \theta \approx v_t \, \theta$. O que temos aqui, é que a soma da velocidade tangencial do primeiro instante mais  $v_t \, \theta$ é igual a velocidade tangencial no segundo instante. Mas como todos sabemos o vetor que gera mudanças na velocidade é chamado de aceleração, e portanto podemos dizer que $a_{cp} \cdot \Delta t = v_t \, \theta$. E como $\Delta t = \dfrac{R \, \theta}{v_t}$, temos:

$a_{cp} \cdot \left( \dfrac{R \, \theta}{v_t} \right) = v_t \cdot \theta$

$\boxed{a_{cp} = \dfrac{v^2}{R}}$

Observação: No SI, fases/posições angulares são medidas em rad, velocidades angulares em $\dfrac{rad}{s}$ e acelerações angulares em $\dfrac{rad}{s^2}$.

Acoplamento de Movimentos Circulares

Também devemos investigar os casos onde temos movimentos circulares acoplados.

Acoplamento por Mesmo Eixo:

                       

 

Este acoplamento pode ser visto, por exemplo, nos eixos das rodas de um carro, onde você tem uma em cada extremidade de um mesma barra. Se olharmos agora os discos da figura, podemos concluir que por estarem acoplados no mesmo eixo, o que acontece é que quando um gira um ângulo $\phi$ o outro também deve girar o mesmo ângulo $\phi$, portanto:

$\boxed{\omega_1 = \omega_2}$

Acoplamento por Compartilhamento de Correias:

 

                           

 

A correia é o que une as polias mostradas na figura acima, e pode ser encarada como um fio inextensível. É muito semelhante a como funciona uma bicicleta, onde o disco do pedal gira, e por conta do movimento da correia faz o disco da roda girar, e este por estar no mesmo eixo, faz a roda girar. Se a correia é inextensível, então deve haver continuidade em todos os seus pontos, ou seja a velocidade em todos os pontos dela deve ser a mesma:

 $\boxed{v_1 = v_2}$

Consequentemente, pela relação da velocidade tangencial com a velocidade angular:

$\boxed{\omega_1 \cdot R_1 = \omega_2 \cdot R_2}$

Acoplamento por Rodas Dentadas:

                                           

 

Aqui elas são acopladas por dentes em cada roda, assim como as engrenagens, os dentes empurram os outros dentes, fazendo com que assim ambas rodem. Este caso já é um pouco diferente pois já podemos ver que neste acoplamento as rotações estão em sentidos opostos, enquanto uma gira no sentido horário a outra deve girar no sentido anti-horário. Analisando agora a velocidade na circunferência, podemos ver a mesma relação que o da situação anterior, pelos dentes estarem empurrando um ao outro simultaneamente em um movimento sincronizado, as velocidades de rotação das duas rodas devem ser iguais:

 $\boxed{v_1 = v_2}$

Consequentemente, pela relação da velocidade tangencial com a velocidade angular:

$\boxed{\omega_1 \cdot R_1 = \omega_2 \cdot R_2}$

Apêndice: propriedades gráficas no Movimento Circular

Conforme já discutimos na lista anterior e brevemente ao longo dessa lista, parâmetros do movimento circular podem ser obtidos por inclinações de retas tangentes ou áreas.

1. Aceleração Angular

É obtida pela inclinação da tangente no gráfico $\omega$ por $t$.

2. Velocidade Angular

A velocidade angular é dada ser obtida pela inclinação da tangente no gráfico de $\phi$ por $t$. A variação da velocidade angular pode ser obtida pela área no gráfico $\alpha$ por $t$.

                                                                       

3. Fase/Posição Angular

A variação na fase/posição angular pode ser obtida pela área no gráfico de $\omega$ por $t$.