Aula 1.4 - Leis de Newton

Aula de Diogo Netto

Revisado por Pedro Tsuchie

Introdução

Agora que já discutimos a cinemática, podemos começar nosso estudo de dinâmica, que consiste na parte da Física que estuda como agentes externos (forças, impulsos, etc.) alteram o movimento. Na dinâmica, o tratamento vetorial das grandezas como deslocamento, velocidade e aceleração será essencial.

Deslocamentos, velocidades, acelerações... Vetores!

Usando o conceito discutido na Aula 0, podemos descrever a posição de um objeto no plano (ou no espaço) através de um vetor $\vec{r}$, como mostra a figura.

Dadas as posições $\vec{r_1}$ e $\vec{r_2}$ de um corpo nos instantes $t_1$ e $t_2$, adivinhe só... definimos a velocidade vetorial média como:

$\displaystyle \vec{v}_{med}=\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{t_2-t_1}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

Note que $\vec{v}_{med}$ é paralelo a $\Delta\vec{r}$

Analogamente, dadas as velocidades $\vec{v_1}$ e $\vec{v_2}$ em $t_1$ e $t_2$, definimos a aceleração vetorial média como:

$\displaystyle\vec{a}_{med}=\frac{\vec{v_2}-\vec{v_1}}{t_2-t_1}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$

Note que $\vec{a}_{med}$ é paralelo a $\Delta\vec{v}$

Observação 1: de modo análogo ao que fizemos na Aula 1, podemos pensar nas grandezas instantâneas como sendo aquelas tomadas para intervalos de tempo muito pequenos.

Assim, a velocidade vetorial instantânea $\vec{v}$ (ou simplesmente velocidade) será aquela tomada quando os instantes $t_1$ e $t_2$ são muito próximos.

Definimos a aceleração vetorial instantânea $\vec{a}$ (ou simplesmente aceleração) de modo análogo.

Observação 2: Desenhando o deslocamento vetorial para instantes infinitamente próximos, chegamos que a velocidade tem direção tangente à trajetória.

Leis de Newton

Com a nossa discussão de vetores já feita, podemos falar das três leis que regem a dinâmica.

1ª Lei

Um corpo em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (os dois casos em que a aceleração é vetorialmente nula) tenderá a permanecer nesse estado a menos que uma força externa aja no sistema. Tal Lei é também conhecida por Princípio da Inércia, pois expressa a tendência dos corpos de manter seus estados de movimento.

2ª Lei

Suponha que um corpo de massa $m$ esteja sujeito a forças $\vec{F}_1,\vec{F}_2,...,\vec{F}_n$, definimos a força resultante como $\vec{F}_{res}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+...+\vec{F}_n=\sum_{i=1}^{n} \vec{F}_i$ (note que a soma é vetorial!)

No caso, a 2ª Lei de Newton nos diz que (caso a massa do corpo não varie), vale que:

$\displaystyle\vec{F}_{res}=m\cdot\vec{a}$

Essa equação aponta para dois fatos interessantes: Quanto mais massa um corpo possui, mais difícil é fornecer uma dada aceleração e a força e a aceleração possuem a mesma direção e sentido. De fato, não esperamos que ao empurrar uma caixa para a direita ela acelere para qualquer outro lugar!

3ª Lei

Suponha que dois corpos A e B interajam entre si (por meio de uma corda com massa desprezível, por exemplo)

No caso, chamando de $\vec{F}_{AB}$ como a força que B exerce em A, e  $\vec{F}_{BA}$ a força que A exerce em B (como mostrado acima), a 3ªLei de Newton nos diz que:

$\displaystyle\vec{F}_{AB}=-\vec{F}_{BA}$

Detalhe muito importante: Note que pela nossa definição, as forças  $\vec{F}_{AB}$ e  $\vec{F}_{BA}$ agem em corpos diferentes, por isso não faz sentido falar que tais forças se anulam!

Máquina de Atwood: uma aplicação das Leis de Newton

Para mostrar como utilizamos as Leis de Newton para resolver problemas de dinâmica, vamos considerar o seguinte sistema, em que os corpos A e B (de massas $m_A<m_B$, respectivamente) estão ligados por uma corda inextensível e de massa desprezível, sendo que esta última passa por uma polia sem massa onde não há atrito.

Pela 3ª Lei, as trações que agem em A e B devem ter módulos iguais, porém sentidos opostos, como mostrado na figura. Considerando que temos os pesos $mg$ e trações $T$ como forças relevantes para o problema (daremos mais detalhes sobre essas forças na próxima aula), vamos escrever a 2ª Lei para o corpo A:

$\displaystyle\vec{F}_{res,A}=T\hat{y}-m_Ag\hat{y}=m_A\vec{a}_A$

E para o corpo B:

$\displaystyle\vec{F}_{res,B}=T\hat{y}-m_Bg\hat{y}=m_B\vec{a}_B$

Pelo fato do fio ser inextensível, A e B devem se mover uma mesma distância em um mesmo tempo. Podemos escrever isso como $\vec{a}_A=-\vec{a}_B$. Considerando $m_B>m_A$ temos que B se move para baixo e A para cima, conforme a figura. Assim, podemos denotar $\vec{a}_A=a\hat{y}$ e $\vec{a}_B=-a\hat{y}$.

Assim,

$\displaystyle\vec{F}_{res,A}=T\hat{y}-m_Ag\hat{y}=m_Aa\hat{y} \Rightarrow T-m_Ag=m_Aa$

$\displaystyle\vec{F}_{res,B}=T\hat{y}-m_Bg\hat{y}=-m_Ba\hat{y} \Rightarrow m_Bg-T=m_Ba$

Resolvendo o sistema, obtemos $\displaystyle a=\frac{(m_B-m_A)g}{(m_A+m_B)}$ e $T=\displaystyle\frac{(2m_Am_B)g}{(m_A+m_B)}$

Vínculos geométricos 

No exemplo em questão, foi fácil encontrar o vínculo geométrico envolvido. Porém em muitos exercícios essa é a parte mais complicada. Portanto listaremos métodos que podem tornar o processo mais fácil. Recomendamos que você leia esta ideia, mas apresentaremos outra maneira de você encontrar os vínculos. A ideia consiste em dizer que o trabalho do fio depois dos deslocamentos é $0$. Se você ainda não sabe o que é trabalho, para nossos propósitos,  basta saber que ele é força vezes distância. Como exemplo, tente resolver os exercícios,  que utilizarão essa ideia na solução.

Truques

1) Em exercícios de dinâmica sempre defina um sentido positivo e mantenha-o até o fim do problema.

2) Tente escolher um sistema para marcar as forças de maneira que você ignore forças que não são pedidas ou conhecidas.

3) Teste casos limites: alguma massa quase $0$, alguma massa muito grande, ângulos muito pequenos, ângulos muito grandes, etc. Enfim,  teste casos em que você sabe o que irá acontecer para conferir se sua resposta está correta. Isso vai fazer com que você perceba erros de conta.

4) Outra coisa para perceber erros é sempre checar se suas respostas estão dimensionamente corretas, isto é , veja se as unidades estão batendo. Por exemplo se você chegar que $F=mv$, você sabe que está errado pois força não tem dimensão de velocidade vezes massa.