Escrita por Rafael Ribeiro - Revisado por Akira Ito
É impossível superestimar a importância das leis de conservação no estudo da física, pois estas impõem certas restrições ao comportamento dos corpos sujeitos a essas leis. Juntando quantidades conservadas suficientes, poderemos prever com exatidão a disposição final de um sistema. Em tese, poderíamos resolver todos os nossos problemas com base nas Leis de Newton, mas a conservação de energia (e momento, que é o assunto da próxima aula) se mostra muito mais prática na resolução de vários problemas. Sendo assim, vamos para mais uma sessão do nosso Curso de Física!
Energia
Recordando a fórmula de Torricelli:
v2=v20+2aΔx⇒a=12(v2−v20)Δx,
onde Δx representa um deslocamento ao longo de uma trajetória arbitrária. Usando isso na 2ª Lei de Newton:
F=ma=m12(v2−v20)Δx⇒FΔx=12m(v2−v20)
Definindo o lado esquerdo da equação como sendo o trabalho feito sobre o sistema (W, do inglês Work) e a expressão 12mv2 como a energia cinética (Ec), temos:
W=ΔEc
Essa demonstração parece valer apenas para corpos sujeitos a aceleração uniforme, uma vez que faz uso da equação de Torricelli. No entanto, essa equação é válida no estudo instantâneo de qualquer movimento, pois podemos considerar a aceleração instantânea como constante por um curto período de tempo Δt, tornando essa fórmula geral.
No SI, a unidade usual de energia é kg m2 s−2, conhecida como Joule (simbolizada pela letra J).
Trabalho e Energia Potencial
A definição de trabalho que demos até agora é um tanto quanto incompleta. Um objeto se movendo num plano inclinado, por exemplo, sente a força Normal do piso. No entanto, sabemos que essa força não atua na direção do movimento e não pode ser responsável por aumentar a energia cinética do objeto. Concluímos então que a direção relativa entre força e deslocamento também importa no cálculo do trabalho.

Na figura acima, →F representa uma força agindo sobre o corpo em estudo e →S representa o vetor posição (isto é, um vetor com que aponta para a posição instantânea do corpo). Assim, Δ→S é a variação na posição do objeto. Sabemos que W=FΔS para θ=0 e W=0 para θ=π2. Podemos então inferir que o W obedece a seguinte relação:
W=→F⋅Δ→S=FΔScosθ
Deste modo, forças que agem ao longo da trajetória são as que realizam trabalho, enquanto forças perpendiculares a ela não o fazem.
A expressão W=ΔEc é conhecida como o Teorema da Energia Cinética, e pode ser aplicado para qualquer sistema mecânico. O somatório dos trabalhos realizados sobre um corpo são responsáveis por uma mudança de energia cinética. Vamos ver um exemplo de aplicação dessa ferramenta:
Exemplo: a Figura mostra uma caixa de massa m=5kg sobre um solo horizontal, partindo do repouso no ponto A sob ação das forças constantes F1=40N e F2=10N que agem que agem sobre a caixa até passar pelo ponto C. Apenas no trecho BC existe atrito, de intensidade Fat=5N. Determine:
a) O trabalho de cada uma das forças F1, F2, Fat, normal e peso ao longo do percurso até o ponto C.
b) A velocidade do bloco ao passar pelo ponto C.
c) A força de atrito do segmento BC necessária para chegar com velocidade nula no ponto C.
Solução:
a) A seguir, calcularemos o trabalho realizado por cada força constante, em todo o trecho AC, lembrando de atribuir o respectivo sinal algébrico:
TF1=+F1cos60∘D=+40⋅12⋅10=+200J
O trabalho de F1 é positivo pelo fato de esta força estar agindo a favor do deslocamento da caixa. O valor desse trabalho realizado, fisicamente, significa que a força F1 "deu” (transferiu) 200J de energia cinética para essa caixa nesse deslocamento.
TF2=−F2D=−10⋅10=−100J
O trabalho de F2 é negativo pelo fato de esta força estar agindo contra o deslocamento da caixa. O valor desse trabalho realizado, fisicamente, significa que a força F2 “tirou” 100J de energia cinética desta caixa nesse deslocamento.
TP=TN=0J
O trabalho do peso P e da normal N é nulo nesse episódio, pelo fato de estas forças estarem agindo perpendicularmente ao deslocamento D da caixa. O valor desse trabalho realizado, fisicamente, significa que estas forças "não deram nem retiraram” energia cinética dessa caixa nesse deslocamento.
TFatAC=TFatAB+TFatBC=0+(−Fat⋅d)=−5⋅(2)=−10J
A força de atrito não realiza trabalho no trecho AB por ter uma intensidade nula naquele trecho. No trecho BC, o Fat cinético age contrário ao deslocamento d da caixa e, portanto, realiza trabalho negativo. No computo geral, a força de atrito, em todo o percurso AC, “retirou" 10J de energia cinética da caixa, transferindo para o solo na forma de energia térmica.
b) Para encontrar a velocidade, basta usar o teorema da energia cinética:
ΣT=ΔEcin
T1+T2+TP+TN+TFat=12mv2−12mv20
200−100−10=12⋅5⋅v2
90=12⋅5⋅v2
v=6m/s
Note como como esse processo não leva em consideração os processos intermediários do sistema. Não foi preciso calcular a aceleração e velocidade em todos os instantes intermediários. Com o uso dos conceitos de energia e trabalho, conseguimos calcular apenas a velocidade que nos interessa! Experimente fazer esse problema calculando as forças resultantes em cada segmento, depois encontrando as acelerações resultantes e, depois de utilizar as equações horárias da velocidade e posição, você encontrará o mesmo valor de v, mas com certeza será um processo muito mais trabalhoso.
Outra vantagem de usar o conceito de trabalho é que não precisamos de nenhuma informação de tempo. Isso se torna muito útil em diversos problemas em que a situação não é tão simples como o exemplo que foi mostrado.
c) Para que o bloco chegue no ponto C com velocidade nula, o trabalho da força de atrito deve cancelar o trabalho das forças 1 e 2. Dessa forma, o somatório dos trabalhos será zero e a variação de energia cinética (e, portanto, a velocidade) será nula. Portanto:
ΣT=ΔEcin
T1+T2+TFat=0
TFat=−100J
Usando a definição de trabalho e o deslocamento do bloco no trecho BC:
Fat⋅2=−100
Fat=−50N
Ou seja, a força de atrito deve possuir 50N em módulo e deve apontar no sentido contrário ao deslocamento do bloco para que ele possua velocidade nula ao passar pelo ponto C.
Condições para que haja realização de trabalho
Um erro muito comum é associar a grandeza trabalho com o termo "Esforço". Isso gera alguns erros conceituais na cabeça do aluno, então para garantir que você saia dessa aula com um entendimento inuitivo sobre o que é trabalho, vamos ver alguns exemplos:
Exemplo 1: Lucas Tavares vai à academia algumas vezes na semana e uma das atividades que ele realiza durante o treino consiste em segurar dois halteres com as mãos, levantá-los e ficar segurando eles no ar por alguns segundos.
Nesse exemplo, Tavares realiza trabalho ao levantar os halteres pois ele exerce uma força vertical enquanto os pesos se movem para cima. No entanto, ao ficar segurando os halteres no ar, sem se mover, ele não realiza trabalho pois não há deslocamento. Certamente Lucas precisa de um esforço para mantê-los no ar e ele gasta a energia que ele obteve por meio de sua alimentação, no entanto, ele não realiza trabalho sobre os halteres nessa etapa.
Exemplo 2: Depois que Lucas termina sua atividade física, ele carrega os pesos enquanto caminha com velocidade constante para guardá-los no lugar apropriado.
Nesse exemplo, por mais que exista uma força sendo exercida por Lucas e também haja um deslocamento, ele ainda não realiza trabalho sobre os halteres pois o deslocamento é perpendicular à força. Como cos90∘=0, então não há trabalho sendo realizado. Porém, se Lucas estivesse caminhando aceleradamente, ele estaria realizando trabalho.
Exemplo 3: Imagine agora a clássica situação de um pêndulo simples. A velocidade do pêndulo oscila periodicamente graças ao trabalho realizado por uma força externa.
Nesse exemplo, note como a massinha se move ao longo de uma circunferência. A tração sempre aponta na direção radial, de forma que ela sempre é perpendicular à direção da velocidade, conforme mostra a imagem abaixo.
Assim, podemos concluir que a tração não realiza trabalho, a força responsável por variar a velocidade da massinha é o peso.
Trabalho de forças importantes
Consideremos agora algumas forças particulares para determinar o trabalho realizado por elas:
Peso

Nas proximidades da Terra, a força peso é aproximadamente constante e dada por:
→F=−mgˆy⇒→F⋅Δ→S=W=−mgˆy⋅Δ→S
O produto escalar da direita pode ser expandido como:
ˆy⋅Δ→S=ˆy⋅(Δxˆx+Δyˆy+Δzˆz)=0+Δy+0
⇒ˆy⋅Δ→S=Δy
Desse modo:
W=−mgΔy
Logo, pelo Teorema do Trabalho:
−mgΔy=ΔEc⇒ΔEc+mgΔy=0⇒Ec+mgy=constante
Podemos dizer que o termo mgy corresponde a uma forma de energia "potencial" que depende puramente da altura do objeto e que se transforma em energia cinética a medida que o corpo cai. No geral, energias potenciais são representadas pelo símbolo U:
U=mgy⇒Ec+U=constante
Reconhecendo Ec+U como sendo a energia mecânica total do corpo em estudo, podemos afirmar que a energia mecânica do corpo é conservada! Note que para corpos extensos, devemos tomar a altura do centro de massa como referência para calcular a sua energia potencial. Além disso, perceba que a Energia Potencial é determinada em relação a um determinado ponto de referência, para o qual assinalamos a altura y0=0 e a energia U0=0. Podemos escolher esse y0 livremente, uma vez que apenas as variações de Energia Potencial importam.
Outra forma de demonstrar o trabalho da força peso é a partir de um gráfico de Força x Deslocamento:

A área entre o gráfico e o eixo das abscissas (incluindo o sinal negativo, pois a função está abaixo do eixo) nos dá o trabalho da força peso, e o negativo dessa quantidade nos dá a variação de energia potencial:
W=Agraph=−mg×Δy⇒ΔU=mgΔy
O uso desse segundo método pode ser generalizado, evidentemente, para o trabalho de qualquer força: conhecendo-se a dependência da força F com a posição y F=F(y), podemos obter o trabalho realizado pela força calculando a área embaixo do gráfico F x y dentro do intervalo desejado.
Esse fato será crucial para demonstrar o próximo resultado.
Força elástica
Nesse caso, a expressão da força é dada por:
→F=−k(x−l0)ˆx,
onde k representa a constante da mola, x o seu comprimento e l0 o seu comprimento natural, como fica exemplificado pela figura abaixo:

Graficamente, essa força equivale a:

Pelo gráfico, a área estudada corresponde a um triângulo de superfície dada por:
Agraph=−12Δx×k(x−l0)=−12k(x−l0)2=W
Com isso, concluímos que:
U=12k(x−l0)2
Note que para a Energia Potencial Elástica, escolhemos o ponto de referência como sendo x0=l0, o comprimento natural da mola.
Força gravitacional
A força gravitacional entre dois corpos de massa m e M e separados por uma distância r é dada por:
→F=−GMmr2ˆr

Como essa força é puramente radial, o trabalho feito para se realizar um pequeno deslocamento Δ→S é:
W=→F⋅Δ→S=|→F|ˆr⋅(Δr ˆr)=|→F|Δr
Sendo assim, tomemos um pequeno deslocamento radial Δr, saindo de r para r′=r+Δr. Podemos considerar a força gravitacional nesse período como constante e de módulo dado pela média entre as forças em r e r′:
F=12(Fr+fr+Δr)=−mMG2r2(1+(1+Δrr)−2)
A expansão binomial nos diz que (1+x)n≈1+nx para x<<1. Com isso:
F=−mMG2r2(1+1−2Δrr)=−mMGr2(1−Δrr)=−mMGr2(1+Δrr)=−mMGrr′
Com essa expressão para a força, podemos calcular o trabalho realizado no movimento:
Wr→r′=F(r′−r)=−mMG(1r−1r′)
E se seguirmos de r′ para r″? Devemos somar as duas contribuições:
Wr→r″=−mMG(1r−1r′)−mMG(1r′−1r″)=−mMG(1r−1r″)
Desse modo, concluimos que a expressão geral para W é:
−mMG(1r0−1rf)⇒ΔU=mMG(1r0−1rf)
Se medirmos essa energia potencial em relação ao infinito (isto é, r0→∞), o primeiro termo some e chegamos na expressão familiar:
U=−GMmr
Com tudo isso, podemos partir para uma versão aprimorada do Teorema do Trabalho:
W=ΔEc+ΔU
Isso afirma que o Trabalho das forças externas sobre um sistema corresponde à variação de sua energia total, incluindo termos cinéticos, gravitacionais, elásticos, elétricos, ... Além disso, define energia como sendo a capacidade de um sistema de realizar trabalho.
Vejamos um exemplos prático:
Considere um sistema de 3 partículas de massa m localizadas no espaço, dispostas nos vértices de um triângulo equilátero de lado l. Determine o trabalho realizado para desmantelar esse sistema.
A energia inicial do sistema vale U=−3×GMml, uma vez que a energia de cada interação é U=−GMml. Pelo Teorema do Trabalho:
W=ΔU=0−(−3GMml)⇒W=3GMml
Forças dissipativas
Ainda só trabalhamos com forças conservativas, para as quais existe uma energia potencial associada que nos permite dizer que a energia mecânica de um objeto (Emec=Ec+U) é constante. No entanto, esse nem sempre é o caso. Certas forças (como o atrito e forças viscosas em fluidos) agem de modo a dissipar essa energia mecânica, transformando-se em energia térmica para o sistema. É usando essa transformação que conseguimos acender fogueiras apenas esfregando (avidamente) pedaços de madeira. Apenas reforçando, a energia mecânica de um sistema se conserva desde que ele não esteja sujeito a forças dissipativas!
Por exemplo, quando jogamos um corpo para deslizar no chão, ele eventualmente cessa seu movimento horizontal. Sabemos que o responsável por isso é o atrito: como ele se opõe ao movimento, seu trabalho é negativo e dado por W=FfΔScosπ=−FfΔS. Como a energia do universo (que é verdadeiramente um sistema isolado) é constante, a energia retirada do sistema é cedida para o ambiente como energia térmica ou sonora. De forma similar, a resistência do ar ou de um líquido tende a dispersar a energia do sistema. Podemos visualizar isso no próximo exemplo:
Um bloco se movimenta ao longo de um plano inclinado de coeficiente de atrito μ e ângulo θ com a horizontal. Determine a aceleração do corpo.
Após se locomover um ΔS, o corpo sofre um ΔEc=mv22−mv202 e ΔU=−mgsinθΔS. Além disso, o atrito realiza um trabalho (negativo!) de valor W=−μmgcosθΔS. Usando isso e o Teorema do Trabalho, temos:
−μmgcosθΔS=mv22−mv202−mgsinθΔS
Organizando essa expressão, obtemos:
V2=V20+2g(sinθ−μcosθ)ΔS=V20+2aΔS,
que é a Fórmula de Torricelli! Com isso, a aceleração do sistema é:
a=g(sinθ−μcosθ)
Observação: A força de atrito nem sempre realiza trabalho negativo!
Embora a força de atrito sempre seja contrária à tendência de deslizamento, ela nem sempre é contrária ao sentido de movimento. Essa frase pode parecer confusa, então vamos entender com um exemplo. Imagine uma prancha comprida em um plano horizontal liso, inicialmente em repouso. Sobre essa prancha há um bloco áspero (de forma que há atrito entre a prancha e o bloco). O bloco então recebe um impulso e passa a se mover com uma velocidade v para a direita.
Inicialmente possuímos o seguinte diagrama de forças (as forças peso e normal foram omitidas para deixar a figura mais limpa).
Note como a força de atrito é contrária ao movimento do bloquinho e favorável ao movimento da prancha para a direita. Depois de algum tempo teremos a situação abaixo:
Ou seja, o atrito e a velocidade (e portanto o deslocamento) apontam para o mesmo sentido. Dessa forma, podemos concluir que o atrito realizou trabalho positivo! O atrito ainda dissipa energia em forma de calor e ele também desacelera o bloquinho, mas ele realiza trabalho positivo sobre a prancha.
Potência
Muitas vezes estamos interessados numa taxa de transmissão de energia. Por exemplo, queremos saber quanto uma geladeira gasta de energia mensalmente, ou quanto tempo leva para que uma boa xícara de café esquente. Para isso trabalhar com esses dados, fazemos uso de uma grandeza chamada "Potência" (e simbolizada por P), definida como:
P=ΔEΔt
Desse modo, a unidade de medida de potência (no SI) é J s−1, conhecido como Watt e representado pelo símbolo W. Outras unidades cotidianas de potência são o cavalo-vapor (1cv=735,5W) e o horse-power (1hp=745,7W)
Em alguns casos, é útil representar a Potência da seguinte forma:
P=ΔEΔtΔSΔS=ΔSΔtΔEΔS
Identificando ΔSΔt como a velocidade e simplificando ΔEΔS=FΔSΔS=F, temos:
P=→F⋅→v=Fvcosθ
Considere o seguinte exemplo prático:
Desejamos subir um bloco de massa 40kg com velocidade constante de 2 m s−1 ao longo de um plano inclinado de π6 radianos. O corpo tem um coeficiente atrito de 0,5 com o piso, e a gravidade tem módulo de 10 m s−2. Determine a potência em cavalo-vapor do aparelho responsável por puxar o corpo.

Pelo enunciado:
T=mgsinθ+Ff=mgsinθ+μmgcosθ=mg(sinθ+μcosθ)
Com isso, a Potência da máquina deve ser:
P=→F⋅→v=mgv(sinθ+μcosθ)
Usando os dados do enunciado:
P=746 W
Como cada cavalo-vapor corresponde a 735,5 Watts, obtemos finalmente que:
P=1,01 cv
Note que nós fornecemos uma potência P para o corpo, mas apenas uma parte dessa taxa (conhecida como potência útil, Pu) é usada para aumentar a energia dele. A outra componente da potência (conhecida como potência dissipada, Pd) é perdida para o ambiente como calor (levando a um aumento de temperatura, assim como quando esfregamos as mãos para aquecer) e como ondas sonoras. Pela conservação da energia do universo, temos:
P=Pu+Pd
No caso do exemplo dado, temos que Pu=mgvsinθ (esta é a taxa de energia efetivamente ganha na forma de potencial gravitacional) e Pd=mgvμcosθ (esta é a energia perdida por unidade de tempo devido ao atrito, seja como calor ou como som). Juntas elas resultam na potência total da máquina.
É muito comum que queiramos saber quanto de potência útil nós obtemos para cada unidade de potência fornecida ao sistema. Para isso definimos o rendimento de um sistema como:
η=PuP=1−PdP
No exemplo anterior, o rendimento é:
η=mgvsinθmgv(sinθ+μcosθ)=sinθsinθ+μcosθ≈0,536
Essa grandeza possui uma importância profunda na nossa sociedade: estamos sempre buscando produzir o máximo possível a partir do que temos, e para isso devemos reduzir as dissipações e buscar aumentar o rendimento.