Aula 1.7 - Física

Aula de Felipe Martins

 

Hoje o assunto é bem trabalhoso, estudaremos o que é o trabalho e como cálcula-lo. Este novo conceito depois será será relacionado com os conceitos mostrados previamente. Porém, antes é necessário mostrar uma operação matemática: produto vetorial.

Produto Escalar

Usaremos o conceito mostrado na Aula 0 de vetores. Uma das operações permitidas com vetores é o produto escalar que é representado pelo seguinte símbolo: "$\cdot$", este "ponto voador" está para o produto vetorial como o "+" está para a adição. Como o nome sugere, é uma operação involvendo dois vetores que resulta em um escalar. Este escalar tem módulo igual ao produto entre o módulo da projeção de um desses vetores no outro e o módulo deste outro vetor. Em uma equação para simplificar:

$\vec{A}\cdot\vec{B}=|A||B|\cos(theta)$

O ângulo $\theta$ é o ângulo que aparece na seguinte representação gráfica:

 

Vale notar que o produto vetorial de um número por ele mesmo é o quadrado do seu módulo

$\vec{A}\cdot\vec{A}=|A||A|\cos 0=|A|^2$

Trabalho

Vamos considerar a força constante, sempre que falamos que um vetor é constante estamos dizendo que não só seu módulo, mas também sua direção é inalterada, neste caso temos:

$W=\vec{F}\cdot\vec{d}$

Onde chamamos trabalho de $W$. É importante notar que para haver trabalho tem que haver \textbf{deslocamento} do \textbf{ponto de aplicação da força}. Note que para o mesmo deslocamento d teremos o máximo de trabalho quando a força for paralela, isto é $\theta$ igual a 0, e mínimo quando a força for antiparalela ao deslocamento, isto é $\theta$ igual a 180 graus.

Para firmar o em negrito acima veja o seguinte exemplo: Um bloco que se move em plano ondulado, a normal realiza trabalho? Não, pois neste deslocamento a força normal sempre está perpendicular ao plano e não há deslocamento do ponto de aplicação.

Se a força vai mudando, bruscamente ou não, podemos escrever que o trabalho total é a soma do trabalho realizado por cada força:

$W=\sum W_i=\sum F_i\cdot d_i$

Uma das forças que mais nos interessa é o peso e seu trabalho por ser de uma força constante, na realidade a força peso depende da distância do objeto até o centro da terra; para a maioria das questões não tratamos com distâncias grandes o suficiente para considerarmos, tem a propriedade de ser independente do caminho tomado. Veja:

$W_p=P\sum d_i\cos\theta=P\sum h_i$

Onde $h_i$ é a quantia deslocada para cima ou para baixo, assumimos baixo como positivo pois é na direção da força. Assim escolhidos dois pontos no espaço tudo que importa para o trabalho da força peso é a diferença de altura entre eles e não o caminho, desenhe se necessário e veja que entre dois pontos este somatório dará o mesmo resultado sempre.

Trabalho para uma força variável

Infelizmente, para a OBF não se estuda cálculo então quando a força é variável ou nós temos de fazer alguma espécie de aproximação se tivermos alguns dados de posição e força, ou se tivermos um gráfico de força por deslocamento fazemos a área dele. Note que esta área é numericamente igual ao trabalho no seguinte gráfico.

 

E para forças variáveis com gráficos mais estranhos bastaria fazer retângulos cada vez mais finos chegaremos na área exata, algo como :

 

Quanto mais formos diminuido a largura destes retângulos e ajustando-o à força daquela posição mais nos aproximamos da área e assim do trabalho. Logo, a área do gráfico, não importa quão doido ele seja, é numericamente igual ao trabalho.

Princípio Trabalho-Energia

O Princípio Trabalho-Energia ou Teorema da Energia Cinética diz que o trabalho feito por todas as forças, isto é pela força \textbf{resultante} em um corpo ou partícula é igual a variação da energia cinética deste.

$W=\Delta E_{cin}=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_2^2$

Agora veja o seguinte exemplo sobre o trabalho da força elástica. \textbf{Temos no início uma mola em repouso, quanto de trabalho foi exercido pela mola enquanto o agente deformou-a.}

Podemos construir o seguinte gráfico:

 

Temos:

$A=\frac{kx^2}{2}$

E o trabalho será:

$W=\pm\frac{kx^2}{2}$

O trabalho do agente é positivo pois a força que exerceu foi no sentido de deslocamento, já o trabalho da mola é negativo pois como vimos anteriormente a força elástica é contra a deformação. Logo, a resposta é :

$W=-\frac{kx^2}{2}$

Infelizmente ainda não temos questões que involvam diretamente os conceitos de hoje, porém são essênciais para o comprendimento do restante da matéria.