Aula 1.8 - Colisões

Escrito por Felipe Martins

Revisado por Matheus Borges

Nas aulas passadas, construímos a base teórica necessária para o estudo de energia, momento linear e leis de conservação associadas a essas quantidades. Nessa aula faremos a aplicação destes conceitos, estudando as características e propriedades de colisões mecânicas mais profundamente. É importante lembrar que uma colisão é definida quando dois ou mais corpos inicialmente livres (não interagiam entre si) passam a interagir. Por interação, entenda que haverá forças de ação e reação que os corpos exercem entre si. Sendo assim, não é necessário que dois corpos se toquem diretamente para quantificar uma colisão: basta que eles passem a interagir entre si, por intermédio de alguma força, inclusive forças à distância como a força gravitacional! Tendo isso em mente, vamos prosseguir com o nosso curso.

 

Colisões

Coeficiente de Restituição

O coeficiente de restituição é a relação entre os impulsos de aproximação (ou deformação) e afastamento (ou restituição) nos corpos envolvidos na colisão, ou seja:

$e=\dfrac{|I_{afast}|}{|I_{aprox}|}$

Onde o impulso de aproximação é o impulso aplicado nos corpos até o ponto que eles param de se aproximar (velocidade relativa nula) e o impulso de afastamento é o impulso do ponto que eles param de se aproximar até acabar a colisão. Podemos analisar a colisão como dois blocos idênticos de massa $m$ e uma mola, já que isso é análogo à deformação que os blocos sofreriam caso colidissem diretamente entre si:

Figura 1: Colisão em etapas

Então

$|I_{afast}|=mV'_1-mu=mu-mV'_2$

$|I_{aprox}|=mu-mV_1=mV_2-mu$

Ou seja

$e=\dfrac{mV'_1-mu}{mu-mV_1}=\dfrac{mu-mV'_2}{mV_2-mu}$

$e=-\dfrac{V'_1-V'_2}{V_1-V_2}=-\dfrac{V_{rel_{depois}}}{V_{rel_{antes}}}$

Esse é o formato mais conhecido do coeficiente de restituição e o mais empregado em questões.

Tipos de Colisão

Vamos fazer uma análise da energia antes e depois da colisão

$E_0=\dfrac{m_1V_1^2}{2}+\dfrac{m_2V_2^2}{2}$

$E_f=\dfrac{m_1{V'_1}^2}{2}+\dfrac{m_2{V'_2}^2}{2}$

Considerando possíveis dissipações temos $E_f {\leq}E_0$

$m_2({V'_2}^2-{V_2}^2){\leq}m_1({V_1}^2-{V'_1}^2)$

Pela conservação do momento

$m_2(V'_2-V_2)=m_1(V_1-V'_1)$

Então

$V'_2+V_2{\leq}V_1+V'_1$

$0{\leq}-\dfrac{V'_1-V'_2}{V_1-V_2}{\leq}1$

$0{\leq}e{\leq}1$

Portanto, dependendo do valor de $e$ classificamos a colisão de diferentes formas:

$e=1$ $\longrightarrow$ A colisão é elástica, e esse é o único caso em que podemos conservar a energia cinética.

$0<e<1$ $\longrightarrow$ A colisão é parcialmente elástica.

$e=0$ $\longrightarrow$ A colisão é inelástica.

Colisão Unidimensional

É bastante útil conhecer o caso geral para colisões unidimensionais. Mostraremos a colisão entre dois corpos 1 e 2 que possuem velocidades iniciais $V_1$ e $V_2$, massas $m_1$ e $m_2$ e sua colisão tem coeficiente de restituição "$e$". Assim, temos duas equações e duas variáveis($V'_1$ e $V'_2$)

Figura 2: Colisão de dois blocos

$e=-\dfrac{V'_1-V'_2}{V_1-V_2}$

$m_1V_1+m_2V_2=m_1V'_1+m_2V'_2$

onde as velocidades $V'_1$ e $V'_2$ são as finais para, respectivamente, o corpo 1 e o corpo 2. Isolando $V'_2$ na segunda equação temos:

$V'_2=\dfrac{m_1}{m_2}(V_1-V'_1)+V_2$

Substituindo na primeira equação, obtemos:

$m_2e(V_2-V_1)=V'_1(m_2+m_1)-V_1m_1-m_2V_2$

$m_2V_2(1+e)+V_1(m_1-m_2e)=V'_1(m_2+m_1)$

$V'_1=\dfrac{m_2V_2(1+e)+V_1(m_1-m_2e)}{(m_1+m_2)}$

$V'_2=\dfrac{m_1V_1(1+e)+V_2(m_2-m_1e)}{(m_1+m_2)}$

 

Colisão entre massas Iguais

Para este caso especial basta colocar as massas como iguais. Temos:

$V'_1=\dfrac{V_1(1-e)+V_2(1+e)}{2}$

$V'_2=\dfrac{V_1(1+e)+V_2(1-e)}{2}$

Vale ressaltar que caso a colisão fosse elástica $V'_1=V_2$ e $V'_2=V_1$.

 

Colisão contra uma Parede

Figura 3: Bloco e parede

Deve-se observar que, como a parede tem uma massa muito maior que a do outro objeto (podemos dizer que a parede tem massa "infinita"), podemos escrever $\dfrac{m_1}{m_2} \cong{0}$. Assim, temos:

$V'_1=\dfrac{V_2(1+e)+V_1\left(\dfrac{m_1}{m_2}-e\right)}{\dfrac{m_1}{m_2}+1}$

$V'_1=V_2(1+e)-V_1e$

No caso onde a parede está parada no começo obtemos:

$V'_1=-V_1e$

Ou seja, a velocidade inverte de sentido e seu módulo depende do coeficiente de restituição.

Figura 4: Bloco voltando

Colisão Elástica

Para a colisão elástica basta colocar o coeficiente de restituição igual a um. Temos neste caso:

$V'_1=\dfrac{2m_2V_2+V_1(m_1-m_2)}{(m_2+m_1)}$

$V'_2=\dfrac{2m_1V_1+V_2(m_2-m_1)}{(m_1+m_2)}$

 

Colisão Inelástica

Para a colisão inelástica basta colocar o coeficiente de restituição igual a zero. Temos para este caso:

$V'_1=\dfrac{m_2V_2+V_1m_1}{(m_2+m_1)}$

$V'_2=\dfrac{m_1V_1+V_2m_2}{(m_1+m_2)}$

Parede em movimento

vamos estudar um caso onde um corpo com velocidade $V$ colide com uma parede que se desloca com velocidade $u$, considere $e$ o coeficiente de restituição da colisão. Qual a velocidade do corpo após a colisão?

Figura 5: Parede em movimento.

Note que a massa da parede é muito maior que a massa do bloco, o que implica que a velocidade da parede praticamente se mantém constante.*

$e=\dfrac{V'-u}{V+u}$

$V'=eV+u(1+e)$

*OBS: A ideia da velocidade se manter constante devido ao fato de uma massa ser bem maior que a outra é bastante comum em problemas de colisões.

Colisão Inclinada contra uma parede

Considere que um corpo colide com uma parede vertical lisa formando um ângulo $\alpha$ com a horizontal (veja a figura 6). Se o coeficiente de restituição for $e$, qual o ângulo $\beta$ de saída do corpo?

Figura 6: Colisão inclinada.

Note que como a parede é lisa, só há interação entre o corpo e a parede na horizontal, ou seja, a velocidade vertical permanece constante:

$V\sin{\alpha}=V'\sin{\beta}$

pelo coeficiente de restituição obtemos

$V'\cos{\beta}=eV\cos{\alpha}$

Portanto

$\tan{\beta}=\dfrac{\tan{\alpha}}{e}$

Vale ressaltar um caso específico extremamente interessante: se a colisão for elástica ($e=1$), obtemos $\alpha=\beta$, i.e. os ângulos de entrada e saída são iguais (semelhante à lei da reflexão da óptica geométrica).

 

Colisão Elástica Bidimensional

Vamos analisar como montar as equações para o caso da seguinte colisão: um corpo de massa $m_1$ com velocidade $V$ colide elasticamente com um corpo de massa $m_2$ inicialmente parado, de tal forma que o desvio (inclinação do vetor velocidade após a colisão em relação à direção da velocidade de $m_1$ antes da colisão) de $m_1$ seja $\theta_1$ e de $m_2$ seja $\theta_ 2$

Figura 7: Colisão bidimensional

Podemos conservar o momento tanto no eixo $x$ tanto no eixo $y$ e conservar a energia(colisão elástica), as equações ficam

$m_1V'_1\sin{\theta_1}=m_2V'_2\sin{\theta_2}$

$m_1V=m_1V'_1\cos{\theta_1}+m_2V'_2\cos{\theta_2}$

$\dfrac{m_1V^2}{2}=\dfrac{m_1{V'_1}^2}{2}+\dfrac{m_2{V'_2}^2}{2}$

Massas iguais

Vamos achar uma relação entre os ângulos para o caso $m_1=m_2$:

$V'_1\sin{\theta_1}=V'_2\sin{\theta_2}$

$V=V'_1\cos{\theta_1}+V'_2\cos{\theta_2}$

$V^2={V'_1}^2+{V'_2}^2$

Resolvendo o sistema

${V'_2}^2\cos^2{\theta_2}=(V-V'_1\cos{\theta_1})^2$

${V'_1}^2\sin^2{\theta_1}={V'_2}^2\sin^2{\theta_2}$

então

${V'_2}^2=V^2+{V'_1}^2-2V{V'_1}\cos{\theta_1}$

$V^2-{V'_1}^2=V^2+{V'_1}^2-2V{V'_1}\cos{\theta_1}$

$V'_1=V\cos{\theta_1}$

analogamente

$V'_2=V\cos{\theta_2}$

ou seja,

$V^2=V^2\cos^2{\theta_1}+V^2\cos^2{\theta_2}$

$\cos{\theta_1}=\sin{\theta_2}$

$\theta_1+\theta_2=90^{\circ}$

O que significa que as bolas saem com velocidades perpendiculares entre si.

 

Vejamos, agora, um exemplo de colisão à distância, através de um problema clássico (que, por sinal, já fora cobrado posteriormente na terceira fase da OBF 2011 na prova do nível 2).

Exemplo (Estilingue gravitacional): Ao enviar sondas e objetos para outros planetas, muitas vezes costuma-se usar uma manobra chamada de estilingue gravitacional, no qual a nave se aproveita da gravidade de um planeta massivo para impulsionar seu movimento sem precisar utilizar um sistema de propulsão e gastar combustível. Considere a figura a seguir, que mostra o planeta Júpiter se movendo com velocidade $u$. A massa de Júpiter é $M$. Uma nave espacial com massa $m$ se aproxima de Júpiter com velocidade $V$. A atração gravitacional faz com que a nave mude de direção e retome em sentido oposto. Considerando $M>>m$ qual é a velocidade final da nave?

Figura 8: Estilingue gravitacional.

Nessa caso a colisão não é um impacto, mas sim uma interação gravitacional. Vamos considerar que a colisão inicia e termina quando a nave está muito distante do planeta, ou seja, a energia potencial gravitacional é $0$ no início e no fim. Pela conservação do momento e da energia chegamos a

$\dfrac{Mu^2}{2}+\dfrac{mV^2}{2}=\dfrac{M{u'}^2}{2}+\dfrac{m{V'}^2}{2}$

$Mu-mV=Mu'+mV'$

Resolvendo o sistema

$(Mu-Mu')(u+u')=(mV+mV')(V'-V)$

$u'=V'-V-u$

Perceba que como $M>>m$ a velocidade de Júpiter praticamente não muda, logo

$u=V'-V-u$

$V'=2u+V'$

Perceba que este exemplo, dadas as aproximações utilizadas, torna-se inteiramente análogo ao exemplo da colisão contra uma parede rígida.