Escrito por Felipe Martins
Revisado por Matheus Borges
Nas aulas passadas, construímos a base teórica necessária para o estudo de energia, momento linear e leis de conservação associadas a essas quantidades. Nessa aula faremos a aplicação destes conceitos, estudando as características e propriedades de colisões mecânicas mais profundamente. É importante lembrar que uma colisão é definida quando dois ou mais corpos inicialmente livres (não interagiam entre si) passam a interagir. Por interação, entenda que haverá forças de ação e reação que os corpos exercem entre si. Sendo assim, não é necessário que dois corpos se toquem diretamente para quantificar uma colisão: basta que eles passem a interagir entre si, por intermédio de alguma força, inclusive forças à distância como a força gravitacional! Tendo isso em mente, vamos prosseguir com o nosso curso.
Colisões
Coeficiente de Restituição
O coeficiente de restituição é a relação entre os impulsos de aproximação (ou deformação) e afastamento (ou restituição) nos corpos envolvidos na colisão, ou seja:
$$e=\dfrac{|I_{afast}|}{|I_{aprox}|} $$
Onde o impulso de aproximação é o impulso aplicado nos corpos até o ponto que eles param de se aproximar (velocidade relativa nula) e o impulso de afastamento é o impulso do ponto que eles param de se aproximar até acabar a colisão. Podemos analisar a colisão como dois blocos idênticos de massa $$m$$ e uma mola, já que isso é análogo à deformação que os blocos sofreriam caso colidissem diretamente entre si:
Figura 1: Colisão em etapas
Então
$$|I_{afast}|=mV’_1-mu=mu-mV’_2$$
$$|I_{aprox}|=mu-mV_1=mV_2-mu$$
Ou seja
$$e=\dfrac{mV’_1-mu}{mu-mV_1}=\dfrac{mu-mV’_2}{mV_2-mu}$$
$$e=-\dfrac{V’_1-V’_2}{V_1-V_2}=-\dfrac{V_{rel_{depois}}}{V_{rel_{antes}}}$$
Esse é o formato mais conhecido do coeficiente de restituição e o mais empregado em questões.
Tipos de Colisão
Vamos fazer uma análise da energia antes e depois da colisão
$$E_0=\dfrac{m_1V_1^2}{2}+\dfrac{m_2V_2^2}{2}$$
$$E_f=\dfrac{m_1{V’_1}^2}{2}+\dfrac{m_2{V’_2}^2}{2}$$
Considerando possíveis dissipações temos $$E_f {\leq}E_0$$
$$m_2({V’_2}^2-{V_2}^2){\leq}m_1({V_1}^2-{V’_1}^2)$$
Pela conservação do momento
$$m_2(V’_2-V_2)=m_1(V_1-V’_1)$$
Então
$$V’_2+V_2{\leq}V_1+V’_1$$
$$0{\leq}-\dfrac{V’_1-V’_2}{V_1-V_2}{\leq}1$$
$$0{\leq}e{\leq}1$$
Portanto, dependendo do valor de $$e$$ classificamos a colisão de diferentes formas:
$$e=1$$ $$\longrightarrow$$ A colisão é elástica, e esse é o único caso em que podemos conservar a energia cinética.
$$0<e<1$$ $$\longrightarrow$$ A colisão é parcialmente elástica.
$$e=0$$ $$\longrightarrow$$ A colisão é inelástica.
Colisão Unidimensional
É bastante útil conhecer o caso geral para colisões unidimensionais. Mostraremos a colisão entre dois corpos 1 e 2 que possuem velocidades iniciais $$V_1$$ e $$V_2$$, massas $$m_1$$ e $$m_2$$ e sua colisão tem coeficiente de restituição “$$e$$”. Assim, temos duas equações e duas variáveis($$V’_1$$ e $$V’_2$$)
Figura 2: Colisão de dois blocos
$$e=-\dfrac{V’_1-V’_2}{V_1-V_2} $$
$$m_1V_1+m_2V_2=m_1V’_1+m_2V’_2 $$
onde as velocidades $$V’_1$$ e $$V’_2$$ são as finais para, respectivamente, o corpo 1 e o corpo 2. Isolando $$V’_2$$ na segunda equação temos:
$$V’_2=\dfrac{m_1}{m_2}(V_1-V’_1)+V_2 $$
Substituindo na primeira equação, obtemos:
$$m_2e(V_2-V_1)=V’_1(m_2+m_1)-V_1m_1-m_2V_2 $$
$$m_2V_2(1+e)+V_1(m_1-m_2e)=V’_1(m_2+m_1) $$
$$V’_1=\dfrac{m_2V_2(1+e)+V_1(m_1-m_2e)}{(m_1+m_2)} $$
$$V’_2=\dfrac{m_1V_1(1+e)+V_2(m_2-m_1e)}{(m_1+m_2)} $$
Colisão entre massas Iguais
Para este caso especial basta colocar as massas como iguais. Temos:
$$V’_1=\dfrac{V_1(1-e)+V_2(1+e)}{2} $$
$$V’_2=\dfrac{V_1(1+e)+V_2(1-e)}{2} $$
Vale ressaltar que caso a colisão fosse elástica $$V’_1=V_2$$ e $$V’_2=V_1$$.
Colisão contra uma Parede
Figura 3: Bloco e parede
Deve-se observar que, como a parede tem uma massa muito maior que a do outro objeto (podemos dizer que a parede tem massa “infinita”), podemos escrever $$\dfrac{m_1}{m_2} \cong{0}$$. Assim, temos:
$$V’_1=\dfrac{V_2(1+e)+V_1\left(\dfrac{m_1}{m_2}-e\right)}{\dfrac{m_1}{m_2}+1} $$
$$V’_1=V_2(1+e)-V_1e $$
No caso onde a parede está parada no começo obtemos:
$$V’_1=-V_1e $$
Ou seja, a velocidade inverte de sentido e seu módulo depende do coeficiente de restituição.
Figura 4: Bloco voltando
Colisão Elástica
Para a colisão elástica basta colocar o coeficiente de restituição igual a um. Temos neste caso:
$$V’_1=\dfrac{2m_2V_2+V_1(m_1-m_2)}{(m_2+m_1)} $$
$$V’_2=\dfrac{2m_1V_1+V_2(m_2-m_1)}{(m_1+m_2)} $$
Colisão Inelástica
Para a colisão inelástica basta colocar o coeficiente de restituição igual a zero. Temos para este caso:
$$V’_1=\dfrac{m_2V_2+V_1m_1}{(m_2+m_1)} $$
$$V’_2=\dfrac{m_1V_1+V_2m_2}{(m_1+m_2)} $$
Parede em movimento
vamos estudar um caso onde um corpo com velocidade $$V$$ colide com uma parede que se desloca com velocidade $$u$$, considere $$e$$ o coeficiente de restituição da colisão. Qual a velocidade do corpo após a colisão?
Figura 5: Parede em movimento.
Note que a massa da parede é muito maior que a massa do bloco, o que implica que a velocidade da parede praticamente se mantém constante.*
$$e=\dfrac{V’-u}{V+u}$$
$$V’=eV+u(1+e)$$
*OBS: A ideia da velocidade se manter constante devido ao fato de uma massa ser bem maior que a outra é bastante comum em problemas de colisões.
Colisão Inclinada contra uma parede
Considere que um corpo colide com uma parede vertical lisa formando um ângulo $$\alpha$$ com a horizontal (veja a figura 6). Se o coeficiente de restituição for $$e$$, qual o ângulo $$\beta$$ de saída do corpo?
Figura 6: Colisão inclinada.
Note que como a parede é lisa, só há interação entre o corpo e a parede na horizontal, ou seja, a velocidade vertical permanece constante:
$$V\sin{\alpha}=V’\sin{\beta}$$
pelo coeficiente de restituição obtemos
$$V’\cos{\beta}=eV\cos{\alpha}$$
Portanto
$$\tan{\beta}=\dfrac{\tan{\alpha}}{e}$$
Vale ressaltar um caso específico extremamente interessante: se a colisão for elástica ($$e=1$$), obtemos $$\alpha=\beta$$, i.e. os ângulos de entrada e saída são iguais (semelhante à lei da reflexão da óptica geométrica).
Colisão Elástica Bidimensional
Vamos analisar como montar as equações para o caso da seguinte colisão: um corpo de massa $$m_1$$ com velocidade $$V$$ colide elasticamente com um corpo de massa $$m_2$$ inicialmente parado, de tal forma que o desvio (inclinação do vetor velocidade após a colisão em relação à direção da velocidade de $$m_1$$ antes da colisão) de $$m_1$$ seja $$\theta_1$$ e de $$m_2$$ seja $$\theta_ 2$$
Figura 7: Colisão bidimensional
Podemos conservar o momento tanto no eixo $$x$$ tanto no eixo $$y$$ e conservar a energia(colisão elástica), as equações ficam
$$m_1V’_1\sin{\theta_1}=m_2V’_2\sin{\theta_2}$$
$$m_1V=m_1V’_1\cos{\theta_1}+m_2V’_2\cos{\theta_2}$$
$$\dfrac{m_1V^2}{2}=\dfrac{m_1{V’_1}^2}{2}+\dfrac{m_2{V’_2}^2}{2}$$
Massas iguais
Vamos achar uma relação entre os ângulos para o caso $$m_1=m_2$$:
$$V’_1\sin{\theta_1}=V’_2\sin{\theta_2}$$
$$V=V’_1\cos{\theta_1}+V’_2\cos{\theta_2}$$
$$V^2={V’_1}^2+{V’_2}^2$$
Resolvendo o sistema
$${V’_2}^2\cos^2{\theta_2}=(V-V’_1\cos{\theta_1})^2$$
$${V’_1}^2\sin^2{\theta_1}={V’_2}^2\sin^2{\theta_2}$$
então
$$ {V’_2}^2=V^2+{V’_1}^2-2V{V’_1}\cos{\theta_1}$$
$$V^2-{V’_1}^2=V^2+{V’_1}^2-2V{V’_1}\cos{\theta_1}$$
$$V’_1=V\cos{\theta_1}$$
analogamente
$$V’_2=V\cos{\theta_2}$$
ou seja,
$$V^2=V^2\cos^2{\theta_1}+V^2\cos^2{\theta_2}$$
$$\cos{\theta_1}=\sin{\theta_2}$$
$$\theta_1+\theta_2=90^{\circ}$$
O que significa que as bolas saem com velocidades perpendiculares entre si.
Vejamos, agora, um exemplo de colisão à distância, através de um problema clássico (que, por sinal, já fora cobrado posteriormente na terceira fase da OBF 2011 na prova do nível 2).
Exemplo (Estilingue gravitacional): Ao enviar sondas e objetos para outros planetas, muitas vezes costuma-se usar uma manobra chamada de estilingue gravitacional, no qual a nave se aproveita da gravidade de um planeta massivo para impulsionar seu movimento sem precisar utilizar um sistema de propulsão e gastar combustível. Considere a figura a seguir, que mostra o planeta Júpiter se movendo com velocidade $$u$$. A massa de Júpiter é $$M$$. Uma nave espacial com massa $$m$$ se aproxima de Júpiter com velocidade $$V$$. A atração gravitacional faz com que a nave mude de direção e retome em sentido oposto. Considerando $$M>>m$$ qual é a velocidade final da nave?
Figura 8: Estilingue gravitacional.
Nessa caso a colisão não é um impacto, mas sim uma interação gravitacional. Vamos considerar que a colisão inicia e termina quando a nave está muito distante do planeta, ou seja, a energia potencial gravitacional é $$0$$ no início e no fim. Pela conservação do momento e da energia chegamos a
$$\dfrac{Mu^2}{2}+\dfrac{mV^2}{2}=\dfrac{M{u’}^2}{2}+\dfrac{m{V’}^2}{2}$$
$$Mu-mV=Mu’+mV’$$
Resolvendo o sistema
$$(Mu-Mu’)(u+u’)=(mV+mV’)(V’-V)$$
$$u’=V’-V-u$$
Perceba que como $$M>>m$$ a velocidade de Júpiter praticamente não muda, logo
$$u=V’-V-u$$
$$V’=2u+V’$$
Perceba que este exemplo, dadas as aproximações utilizadas, torna-se inteiramente análogo ao exemplo da colisão contra uma parede rígida.