Aula 1.9 - Física

Aula de Felipe Martins

 

Nesta aula falarei sobre colisões, já citadas na aula 6 porém aqui espero fazer vários casos especiais importantes, tirar alguma dúvida restante e fazer mais exemplos.

 

Coeficiente de Restituição

O coeficiente de resituição é a relação entre as velocidades finais e iniciais dos corpos envolvidos na colisão, ou seja:

$e=-\frac{V_{rel_d}}{V_{rel_a}}$

Onde $V_{rel_d}$ e $V_{rel_a}$ são as velocidades relativas entre os corpos na direção de colisão.

 

Tipos de Colisão

Já falamos dos tipos de colisão, porém agora devo falar como elas se relacionam com o coeficiente de restituição. O choque é dito elástico somente quando o coeficiente elástico é igual a um.

$\textrm{Elastico}\longleftrightarrow e=1$

Ela é dita parcialmente inelástica quando

$\textrm{Parcialmente inelastico}\longleftrightarrow 0<e<1$

E por último, inelástica quando

$\textrm{Inelastico}\longleftrightarrow e=0$

 

Colisão Unidimensional

Uma das coisas que considero muito útil é saber \textit{de cor} o caso geral para colisões unidimensionais. Mostraremos a colisão entre dois corpos 1 e 2 que possuem velocidades iniciais $V_1$ e $V_2$, massas $m_1$ e $m_2$ e sua colisão tem coeficiente de restituição "e". Assim, temos duas equações e duas variáveis($V'_1$ e $V'_2$)

$e=-\frac{V'_1-V'_2}{V_1-V_2}$

$m_1V_1+m_2V_2=m_1V'_1+m_2V'_2$

onde as velocidades $V'_1$ e $V'_2$ são as finais para, respectivamente, o corpo 1 e o corpo 2. Isolando $V'_2$ na segunda equação temos:

$V'_2=\frac{m_1}{m_2}(V_1-V'_1)+V_2$

Substituindo na primeira equação, obtemos:

$m_2e(V_2-V_1)=V'_1(m_2+m_1)-V_1m_1-m_2V_2$

$m_2V_2(1+e)+V_1(m_1-m_2e)=V'_1(m_2+m_1)$

$V'_1=\frac{m_2V_2(1+e)+V_1(m_1-m_2e)}{(m_2+m_1)}$

Faça agora a expressão geral para o corpo dois. Agora vejamos alguns casos:

 

Colisão Massas Iguais

Para este caso especial basta colocar as massas como iguais. Temos:

$V'_1=\frac{m_1V_2(1+e)+V_1(m_1-m_1e)}{(2m_1)}$

 

Colisão contra uma Parede

Deve-se observar que a parede como tem uma massa muito, muito maior que a do outro objeto temos $\frac{m_1}{m_2}=0$. Assim, temos:

$V'_1=\frac{V_2(1+e)+V_1(\frac{m_1}{m_2}-e)}{(1+\frac{m_1}{m_2})}$

$V'_1=V_2(1+e)-V_1e$

No caso onde a parede está parada no começo obtemos:

$V'_1=-V_1e$

Ou seja, a velocidade inverte de sentido e seu módulo depende do coeficiente de restituição.

 

Colisão Elástica

Para a colisão elástica basta colocar o coeficiente de restituição igual a um. Temos neste caso:

$V'_1=\frac{2m_2V_2+V_1(m_1-m_2)}{(m_2+m_1)}$

 

Colisão Inelástica

Para a colisão inelástica basta colocar o coeficiente de restituição igual a zero. Temos para este caso:

$V'_1=\frac{m_2V_2+V_1m_1}{(m_2+m_1)}$

 

Colisão Elástica Bidimensional

Aqui cobrirei a colisão elástica bidimensional; para o caso inelástico pode-se usar as equações anteriores na direção de colisão.

Aqui consideraremos que a massa 2 está parada, porém para o caso onde as duas estão se movimentando basta ir para o referencial de uma delas e voltamos ao caso que será resolvido aqui.

A massa 1 e a massa 2 seguem depois da colisão trajetórias que fazem, respectivamente, um ângulo $\theta_1$ e $\theta_2$ com a trajetória inicial de 1, iremos descobrir o momento final dela. Temos as seguintes equações:

$p_{1f}\cos\theta_1+p_{2f}\cos\theta_2=p_{1i}$

$p_{1f}\sin\theta_1=p_{2f}\sin\theta_2$

$\frac{p_{1i}^2}{2m_1}=\frac{p_{1f}^2}{2m_1}+\frac{p_{2f}^2}{2m_2}$

Se chamarmos a razão entre as massas 2 e 1 de $\lambda$, temos:

$p_{2f}^2=\lambda(p_{1i}^2-p_{1f}^2)$

Temos também:

$p_{2f}^2=p_{1i}^2+p_{1f}^2-2p_{1f}p_{1i}\cos\theta_1$

Obtemos:

$p_{1f}=\frac{p_{1i}}{1+\lambda}\bigg[\cos\theta_1\pm\sqrt{\cos^2\theta_1-(1-\lambda^2)} \bigg]$

Temos agora dois casos para analisar, $\lambda<1$ e $\lambda>1$. É importante notar que temos uma restrição adicional $p_{1f}\geq 0$. Quando $lambda>1$, ou seja $m_2>m_1$, apenas a solução com a soma é aceitável:

$p_{1f}=\frac{p_{1i}}{1+\lambda}\bigg[\cos\theta_1+\sqrt{\cos^2\theta_1-(1-\lambda^2)} \bigg]$

E neste caso o objeto 1 pode ir para trás.

Já quando $lambda<1$, ou seja $m_2<m_1$, ambas as soluções são aceitáveis e teremos a restrição a seguir(para a solução ser real o radical deve ser maior ou igual a zero):

$\cos^2\theta_1-(1-\lambda^2)=\lambda^2-\sin^2\theta_1\geq 0$

Assim,

$\sin\theta_1\leq\sin\theta_{1,max}=\frac{m_2}{m_1}$

E as soluções são:

$p_{1f}=\frac{p_{1i}}{1+\lambda}\bigg[\cos\theta_1\pm\sqrt{\cos^2\theta_1-(1-\lambda^2)} \bigg]$

E neste caso o objeto 1 pode somente ir para frente, com a seguinte restrição:

$0\leq\theta_1\leq\theta_{1,max}$

Pronto! Acabamos com este problema.

Para exercitar, mostre que para o caso $\lambda=1$ temos $\theta_1+\theta_2=\frac{\pi}{2}=90\textrm{graus}$.

Por esta aula é só. Assim que as questões da semana combrarem isto eu colocarei aqui o link.