Problemas Aula 2.0 - Escalas Termométricas

Escrito por Pedro Tsuchie

Alguns exercícios para você estudar a teoria estudada. O grau de dificuldade dos problemas está indicado com *. Problemas com * são equivalentes a problemas de primeira fase da OBF, ** equivalentes à segunda fase e *** equivalentes à terceira fase.

Problema 01*

Em Nova York, o termômetro marca $86\rm{^ \circ F}$ , encontre essa temperatura em Celsius.

Solução

Usando a fórmula $T_C=\frac{5}{9}(T_F-32)$ , temos que:

$T_C=30\rm{^ \circ C}$

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Gabarito

30 $\rm{^ \circ C}$

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Problema 02*

Prove a transformação de Kelvin para Celsius. Considere o ponto de fusão e ebulição da água como sendo , respectivamente, $273K$ e $373K$ .

Solução

Para encontrar as transformações entre duas escalas termométricas utilizamos regra de 3. Ou seja:

$\frac{T_K-273}{373-273}=\frac{T_C-0}{100-0}$

$T_C=T_K-273$

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Gabarito

$T_C=T_K-273$

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Problema 03*

Prove a transformação de Fahrenheit para Celsius. Considere o ponto de fusão e ebulição da água como sendo, respectivamente, $32F$ e $212F$ .

Solução

Para encontrar as transformações entre duas escalas termométricas utilizamos regra de 3. Ou seja:

$\frac{T_F-32}{212-32}=\frac{T_C-0}{100-0}$

$T_C=\frac{5}{9}(T_F-32)$

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Gabarito

$T_C=\frac{5}{9}(T_F-32)$

Problema 04*

Mostre que variações de temperatura em Kelvin e Celsius são iguais.

Solução

Suponha que estávamos com uma temperatura $T_C$ , em Celsius, e fomos para uma temperatura $T_C+C$ , em Celsius. Isso corresponde a ir de uma temperatura de $T_C+273$ , em Kelvin, para uma temperatura de $T_C+C+273$ , em Kelvin. Fazendo a subtração chagamos que :

$\Delta T_K= C = \Delta T_C$ , como queríamos mostrar.

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Problema 05*

Prove que variações de temperatura entre escalas relacionadas apenas por uma constante aditiva ou subtrativa são iguais.(Caso geral do item anterior)

Solução

Suponha que as temperaturas estão relacionadas por $T_X=T_Y+K$ . Saímos de uma temperatura, na escala X, de $T_1$ e vamos para uma temperatura, na escala X, de $T_1+L$ . Logo $\Delta T_X=L$ . Esse mesmo evento na escala Y corresponde a sair de uma temperatura de $T_1-K$ para uma temperatura de $T_1-K+L$ . Logo, $\Delta T_Y=L=\Delta T_X$ , como queríamos demonstrar.

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Problema 06*

Encontre a conversão de Fahrenheit para Kelvin.

Solução

Usando a mesma ideia que os problemas 1 e 2:

$\frac{T_F-32}{212-32}=\frac{T_K-273}{373-273}$

$T_K=\frac{5}{9}(T_F-32)+273$

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Gabarito

$T_K=\frac{5}{9}(T_F-32)+273$

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Problema 07*

Encontre uma relação entre variações de temperatura em Celsius e Fahrenheit.

Solução

Sabemos que $T_C=\frac{5}{9}(T_F-32)$ , logo se partirmos de uma temperatura $T_1$ , em Celsius, para uma de $T_1+L$ , em Celsius, temos que $\Delta T_C=L$ . Isso em Fahrenheit corresponde a sair de uma temperatura de $\frac{9}{5}(T_1)+32$ para uma de $\frac{9}{5}(T_1+L)+32$ , fazendo a subtração chegamos que:

$\Delta T_F=\frac{9}{5} L=\frac{9}{5} \Delta T_C$

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Gabarito

$\Delta T_F=\frac{9}{5} \Delta T_C$

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Problema 8*

Encontre uma relação entre variações de temperatura em Kelvin e Fahrenheit.

Solução

Podemos, é claro, repetir o processo do problema anterior, mas podemos nos aproveitar do problema 3. Como as variações de temperatura em Kelvin são iguais as em Celsius, o resultado anterior também é válido, logo $\Delta T_F=\frac{9}{5} \Delta T_K$

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Gabarito

$\Delta T_F=\frac{9}{5} \Delta T_K$

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Problema 9**

Monte um método para transformar uma escala termométrica arbitrária, X, em Kelvin, considere que o $0$ absoluto dela é $T_1$ e a temperatura de ebulição da água é $T_2$ . Considere que ela está relacionada com Kelvin de forma linear, ou seja, $T_X=aT_K+b$ .

Solução

Iremos utilizar o mesmo método que adotamos nos problemas anteriores:

$\frac{T_K-0}{373-0}=\frac{T_X-T_1}{T_2-T_1}$

Isolando $T_X$ :

$T_X=\frac{T_K}{373}(T_2-T_1)+T_1$

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Gabarito

$T_X=\frac{T_K}{373}(T_2-T_1)+T_1$

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Problema 10*

João, um aluno de física, estava em um laboratório maluco e precisava ordenar corpos em escala crescente de temperatura. Porém, quando foi consultar as temperaturas dos objetos em uma tabela dada pelo professor, as temperaturas estavam em escalas diferentes. Uma bola estava com temperatura $300K$ , uma pasta estava a temperatura de $30\rm{^ \circ C}$ , e uma pipa estava a temperatura de $185 F$ . Como João deve ordenar os objetos?

Solução

Transformaremos todas as temperaturas para $\rm{^ \circ C}$ , utilizando as fórmulas deduzidas anteriormente,:

Bola: $27 \rm{^ \circ C}$

Pasta: $30 \rm{^ \circ C}$

Pipa: $85 \rm{^ \circ C}$

Logo a ordem crescente é: Bola, Pasta e Pipa.

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Gabarito

Problema 11**

Mostre que a capacidade térmica é a mesma para unidades de temperatura relacionadas por apenas uma constante aditiva.

Solução

Para resolver esse problema precisamos lembrar da definição de capacidade térmica:

$C=\frac{Q}{\Delta T}$

Olhando para a fórmula e relembrando o resultado do problema 4, sabemos que variações de temperatura são iguais se as escalas se relacionam por apenas uma constante aditiva. Logo, a capacidade térmica, por só depender da variação de temperatura, possui valor igual para unidades de temperatura que só diferem de constantes aditivas. De fato, Capacidades térmicas em $J/K$ e $J/\rm{^ \circ C}$ são iguais como você pode conferir para a água!

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Problema 12*

Um grande problema envolvido em usar diferentes escalas termométricas está em chegar em valores absurdos(como no problema 15), o que não ocorre quando usamos unidades diferentes para comprimento, por exemplo. Nesse caso, no máximo erraremos por algum fator multiplicativo, mas usar Celsius ao invés de Kelvin pode entregar resultados muito mais errados(ver problema 15). De fato, isso ocorre pois as escalas não se relacionam apenas por constantes multiplicativas, muitas vezes utiliza-se fatores aditivos também. Explique por que decidiram criar escalas em que, de fato, precisamos converter antes de chegar a um resultado.

Solução

A grande questão é que por mais que fatores aditivos alterem muitas respostas em alguns contextos, em outros ela pode simplesmente não alterar nada. Por exemplo, se eu pedir para alguém aquecer algo em $10K$ , é o mesmo que aquecer em $10\rm{^ \circ C}$ . Além dessa situação cotidiana, muitas fórmulas termodinâmicas, ao menos as mais básicas, envolvem apenas variações de temperatura, não sendo afetadas, portanto, por fatores aditivos .

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Problema 13*

Utilize a fórmula dos gases ideais , $PV=NRT$ , para condições de temperatura e pressão do Alaska( considere que a pressão é $1ATM$ e utilize temperatura de $250K$ ). Faça a conta para a temperatura em Kelvin e em Celsius. Qual é o resultado do volume de um mol do gás que está correto? Use $R=0,082ATM\cdot L/MOL\cdot K$ .Esse problema exemplifica muito bem porque sempre devemos usar Kelvin.

Solução

Substituindo os valores com a temperatura em Kelvin chegamos que o volume, em litros, é $20,5L$ . Porém, se usarmos a temperatura em Celsius chegamos em um valor de volume negativo, o que, obviamente, é um absurdo. Por isso, em exercícios de gases, muito comuns na OBF, sempre converta para Kelvin os valores de temperatura!

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Problema 14**

Encontre a temperatura em que as temperaturas em Celsius e Fahrenheit coincidem.

Solução

Para resolvermos esse problema usaremos a fórmula $T_C=\frac{5}{9}(T_F-32)$ , e diremos que $T_F=T_C$ .

Chegamos que:

$T_C=\frac{5}{9}(T_C-32)$

Resolvendo para $T_C$ chegamos em:

$T_C=-40\rm{^ \circ C}$

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Gabarito

$-40\rm{^ \circ C}$

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Problema 15**

Encontre a temperatura em que as temperaturas em Kelvin e Fahrenheit coincidem.

Solução

Usaremos a fórmula $T_K=\frac{5}{9}(T_F-32)+273$ e colocaremos $T_F=T_K$ .

Portanto:

$T_K=574,25K$

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Gabarito

$574,25K$

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