Aula 2.1- Dilatação

Aula de Akira Ito

Esta é a segunda aula de termodinâmica, e aqui trataremos da dilatação térmica!

Tudo que está a sua volta é composto por átomos combinados de maneiras diversas. Embora não seja possível verificar isso a olho nu, na escala microscópica, esses átomos estão em constante movimento, transladando, vibrando e rotacionando com diferentes magnitudes e direções.

No ar atmosférico, por exemplo, as moléculas de $O_2$ e $N_2$ possuem energia cinética e se movimentam em direções aleatórias, colidindo umas com as outras e com outros objetos também. Em uma barra de ferro, embora os átomos não tenham liberdade para transladar livremente pelo espaço por conta das ligações metálicas que mantém a barra coesa, os átomos ainda realizam um movimento de vibração.

Esse constante movimento dos átomos é a grandeza macroscópica temperatura, com a qual já estamos familiarizados.

Se a barra de ferro aumenta de temperatura (seja por meio do aquecimento sobre uma chama, atrito ou uma colisão inelástica), seus átomos passam a se mover com maior intensidade. O aumento da intensidade de vibração dos átomos de ferro deixa eles mais afastados uns dos outros, para que exista mais espaço disponível para eles se movimentarem. Assim, quando a distância dos milhões de átomos aumenta, isso tem o efeito macroscópico de um aumento nas dimensões da barra de ferro.

Dessa forma, podemos entender a dilatação térmica como a variação das dimensões de um objeto que ocorre devido a uma variação na temperatura.

Vamos estudar como isso acontece na prática!

Aplicações da dilatação térmica

Embora a dilatação dos materiais seja, em geral, pequena, é necessário que engenheiros considerem esse fenômeno quando estão projetando grandes estruturas.

Em trilhos de trem, por exemplo, há um pequeno espaço livre entre dois segmentos consecutivos pois, em dias quentes, a dilatação térmica pode ser suficiente para deformar os trilhos, causando grande prejuízo. Na imagem da esquerda, você pode ver um exemplo desse conceito sendo aplicado. Na imagem da direita você pode ver as consequências de um projeto mal planejado.

Outra aplicação desse fenômeno bastante imediata é a construção de termômetros. Se você conhece o valor de $\alpha$ , o coeficiente de dilatação linear (que será abordado em detalhes na próxima parte dessa aula), de uma determinada substância, é possível fazer marcações de comprimento e, dependendo da temperatura do material, ele vai indicar diferentes posições.

Os termômetros de mercúrio usam esse princípio com precisão e foram utilizados por muito tempo. Atualmente existem opções mais seguras, que acabaram substituindo esse instrumento.

Por fim, gostaria de comentar sobre as lâminas bimetálicas. De maneira simplificada, uma lâmina bimetálica são duas finas placas de comprimentos iguais (à temperatura ambiente) e coeficientes de dilatação diferentes que são coladas uma na outra. Devido à diferença nos valores de $\alpha$ , quando esse sistema é aquecido, um lado da lâmina dilata mais que o outro, gerando assim uma curvatura na placa.

No caso ilustrado acima, a tira de cima (branca) possui um coeficiente de dilatação maior que a tira de baio (cinza). Portanto, quando esse sistema é aquecido, uma leve curvatura é criada.

Acesse este vídeo para ver uma demonstração em laboratório.

Esse dispositivo possui aplicações em circuitos elétricos, termômetros, termostatos, interruptores, entre outros.

Dilatação Linear

Primeiramente, estudamos aqui a variação de tamanho de barras para estudar a dilatação em apenas uma direção.

Precisamos encontrar uma expressão que relacione o comprimento de uma barra com sua temperatura. Voltando para o exemplo da barra de ferro do começo da aula, vamos pensar um pouco sobre os parâmetros relevantes nesse fenômeno:

Variação de temperatura $\Delta T$ : como o movimento dos átomos de ferro está diretamente relacionado com a variação do comprimento da barra, é fácil perceber que, quanto mais energia térmica nós colocarmos na barra, maior será a amplitude dos movimentos das partículas que compõem a barra. Assim, quanto maior a distância entre os átomos, maior será o comprimento final da barra.
Comprimento inicial da barra $l_0$ : após um aumento de temperatura $\Delta T$ , cada átomo vai se distanciar um pouco dos seus vizinhos, de forma que a barra aumentará de comprimento em um pequeno valor $\delta l$ . Assim, o comprimento final da barra será $l=l_0+N\cdot\delta l$ , em que $N$ é o número de átomos na barra. Portanto, percebe-se que quanto maior o número de átomos de ferro, maior será a dilatação.
Coeficiente de dilatação $\alpha$ : é claro que diferentes materiais possuem diferentes propriedades. O coeficiente de dilatação nada mais é do que a capacidade do material de variar seu comprimento através de uma mudança de temperatura. Em geral, os metais possuem altos valores de $\alpha$ , portanto dilatam-se mais que a maioria dos materiais.

Decorar uma fórmula pronta de um livro é uma tarefa simples. Entender os processos que acontecem "nos bastidores" é muito mais rico!

Com esses três pontos em mente, podemos deduzir a seguinte expressão matemática:

$\Delta l = \alpha l_0 \Delta T$

Se quisermos encontrar o comprimento final da barra, basta usar o fato de que $\Delta l=l-l_0$ , então:

$l = l_0 (1+\alpha \Delta T)$

Vale salientar que a variação de comeprimento devido à dilatação é, em geral, pequena pois $\alpha$ é pequeno. Mesmo para os metais $\alpha \approx 10^{-5}\,\textrm{K}^{-1}$ , então uma barra de cobre de $1\,\textrm{m}$ de comprimento, caso aquecida em $100\,\textrm{K}$ , aumentaria em apenas $1\,\textrm{mm}$ .

Dilatação Superficial
De maneira similar, podemos usar os argumentos da dilatação linear para estudar a dilatação de superfícies. Definindo um $\beta$ como sendo o coeficiente de dilatação superficial, temos:

$\Delta A = \beta A_0 \Delta T$

E, para encontrar a área final, temos:

$A= A_0 (1+\beta \Delta T)$

Dilatação Volumétrica

Novamente, mas agora para o volume, temos um coeficiente de dilatação volumétrica $\gamma$ . Assim:

$\Delta V = \gamma V_0 \Delta T$

E, para encontrar a área final, temos:

$V= V_0 (1+\gamma \Delta T)$

Relação entre os Coeficientes de Dilatação

Para saber os valores de $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ de cada material, é necessário que sejam realizadas medidas cuidadosas, no entanto é possível encontrar boas aproximações para $\beta$ e $\gamma$ em função do valor de $\alpha$ . Isso, no entanto, é válido apenas para os materiais isotrópicos, que possuem propriedades iguais em todas as direções.

Imagine um quadrado de ferro de lado $l_0$ e área $A_0=l_0^2$ . Quando aumentamos a temperatura desse objeto em $\Delta T$ , sua nova área será:

$A=A_0 (1+\beta \Delta T)$

Também podemos encontrar o lado desse quadrado:

$l=l_0 (1+\alpha \Delta T)$

Mas é claro que a área final do quadrado será $A=l^2$ , então temos que:

$A_0 (1+\beta \Delta T)= \left[ l_0 (1+\alpha \Delta T) \right]^2$

$1+\beta \Delta T= (1+\alpha \Delta T)^2$

Mas, conforme foi dito anteriormente, $\alpha$ é muito pequeno para a maioria das variações de temperatura, então $\alpha \Delta T << 1$ . Podemos portanto usar a aproximação binomial $(1+x)^n\approx 1+nx$ .

$1+\beta \Delta T= 1+2\alpha\Delta T$

$\beta = 2\alpha$

Logo, o coeficiente de dilatação superficial é, aproximadamente, o dobro do valor do coeficiente linear!

Claro que essa relação ainda é válida para outras figuras que não sejam um quadrado. Esse exemplo foi usado apenas por fins didáticos.

Um processo análogo pode ser feito para o coeficiente de dilatação volumétrico para encontrar a relação:

$\gamma = 3\alpha$

Para ver a demonstração dessa propriedade, veja a lista de exercícios!