Aula 3.3 - Refração e o Princípio de Huygens

Escrita por Antônio Ítalo

Refração

Refração é um fenômeno ondulatório que ocorre quando uma onda passa de um meio em que sua velocidade de propagação é $v_{1}$ para um meio onde sua velocidade de propagação é $v_{2}$, esse fenômeno pode ou não estar acompanhado de uma mudança na direção de propagação da onda, mas sempre é acompanhado por uma reflexão. Sabendo disso, estudaremos a seguir qualitativamente e quantitativamente a relação entre a ondas incidente e as ondas originadas da reflexão e da refração de uma onda.

Unidimensional

Para estudarmos esse caso, trabalharemos com uma corda, mas para qualquer onda unidimensional o resultado é análogo. O esquema será o seguinte: Uma corda semi-infinita na qual a velocidade de propagação da onda em questão é $v_{1}$ é ligada por uma das extremidades à outra corda semi-infinita na qual a velocidade de propagação é $v_{2}$ na posição do eixo $x$ que definimos como $x=0$. Trabalharemos com uma onda harmônica se propagando da esquerda para a direita, ou seja, do meio $1$ para o meio $2$. Note que para $x<0$ temos o meio $1$ e para $x>0$ o meio $2$. Antes de trabalharmos isso qualitativamente, trabalharemos quantitativamente. A descrição quantitativa desse processo necessitará de conhecimento de cálculo diferencial, por isso, pode ser ignorada em primeiro momento, sendo necessário conhecer somente a análise qualitativa.

Análise quantitativa

No nosso arranjo, haverão $3$ ondas se propagando. À esquerda da origem, haverá a onda incidente se propagando para a direita e a onda refletida se propagando para a esquerda. À direita da origem, haverá somente a onda refratada se propagando para a direita. Faremos essa análise por meio das exponenciais complexas, ou seja, trataremos ondas incidentes da seguinte forma:

$y(x,t)=A\cos \left(kx - \omega t + \phi_{0} \right) \rightarrow \overline{y}(x,t)=A e^{i \left(\omega t - kx - \phi_{0} \right) }$

Sendo assim, $y(x,t)=Re \left( \overline{y}(x,t) \right)$. Definiremos então a amplitude complexa que incorpora a fase da onda:

$\overline{A}=Ae^{-i \phi_{0}}$

Então, a onda incidente e a onda refratada podem ser escritas como:

$\overline{y_{i}}=\overline{A_{i}} e^{i \left( -k_{i}x + \omega_{i} t \right) }$

$\overline{y_{t}}=\overline{ A_{t}}e^{i \left( -k_{t}x+ \omega_{t} t \right) }$

Sendo os índices $i$ e $t$ indicadores de "incidente" e "transmitida" respectivamente. A onda refletida pode ser representada então por:

$\overline{y_{r}}=\overline{A_{r}}e^{i \left( k_{r}x + \omega_{r}t \right) }$

Note que, para $x<0$ a onda resultante é obtida somando a onda incidente e a onda refletida, enquanto para $x>0$ devemos simplesmente utilizar a onda refratada. Para que não haja uma descontinuidade no ponto $x=0$, o limite pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita, tanto em seu valor, quanto em todas as suas derivadas temporais, logo:

$\omega_{i}^{n}\overline{A_{i}}e^{i \omega_{i} t }+\omega_{r}^{n}\overline{A_{r}}e^{i \omega_{r} t}=\omega_{t}^{n}\overline{A_{t}}e^{i \omega_{t} t}$

deve ser satisfeita para todo $n \in \mathbb{N}$, sendo então possível mostrar que:

$\omega_{i}=\omega_{r}=\omega_{t}=\omega$

E, consequentemente:

$\overline{A_{i}}+\overline{A_{r}}=\overline{A_{t}}$

Note que, como $k=\dfrac{\omega}{v}$, podemos substituir:

$-k_{i}x+\omega t=\omega \left( t - \dfrac{x}{v_{1}}\right)$

$-k_{t}x+\omega t= \omega \left( t -\dfrac{x}{v_{2}}\right)$

$k_{r}x+\omega t= \omega \left(t+\dfrac{x}{v_{1}}\right)$

Sendo assim, devemos estabelecer a próxima condição de contorno, que é a condição de que a derivada em relação a $x$ deve ser contínua em $x=0$:

$\dfrac{\omega}{v_{1}} \left( \overline{A_{i}} - \overline{A_{r}} \right)=\dfrac{\omega}{v_{2}} \overline{A_{t}}$

Sendo assim, podemos resolver o sistema obtido com a condição de contorno anterior e obter $\overline{A_{r}}$ e $\overline{A_{t}}$:

$\overline{A_{r}}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{1}+v_{2}}\overline{A_{i}}$

$\overline{A_{t}}=\dfrac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}\overline{A_{i}}$

Saindo da notação complexa, podemos agora escrever:

$A_{r}=\dfrac{v_{2}-v_{1}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$

$A_{t}=\dfrac{2v_{2}}{v_{1}+v_{2}}A_{i}$

Esse resultado é de extrema importância em óptica física, por exemplo, quando vamos analisar a interferência entre a primeira reflexão e a segunda reflexão de uma lâmina de faces paralelas. Em geral, não estamos interessados em encontrar o padrão de interferência exatamente, mas somente os máximos e mínimos, portanto, só precisamos saber se ocorre inversão de fase na reflexão, note que isso nunca ocorre na refração. A condição para que essa inversão de fase ocorrer é justamente a amplitude se tornar negativa, sendo assim:

$v_{2}<v_{1}$

Ou, para a luz:

$n_{2}>n_{1}$

Análise Qualitativa

Agora, chegaremos nas mesmas conclusões finais à respeito da inversão da fase da onda refletida que pode ocorrer. Vamos utilizar dois fatos conhecidos: A reflexão em uma extremidade fixa e a reflexão em uma extremidade livre. Lembremos que quando a onda reflete em uma extremidade fixa ocorre a inversão de fase e a onda volta com a mesma amplitude, essa seria a situação em que $v_{2}$ vai à zero, ou seja, a onda simplesmente não se propaga no meio dois. Podemos então deduzir que se $v_{2}<v_{1}$ ocorrerá a inversão de fase e, consequentemente, se $v_{2}>v_{1}$ não ocorrerá a inversão de fase. Veja a seguir uma imagem demonstrando para o caso em que $v_{2}<v_{1}$:

 

Tridimensional

Como não tratamos muito de ondas bidimensionais até agora devemos dar uma breve introdução. Por simplicidade, nós trataremos de ondas planas, onde cada plano possui uma fase constante. Uma onda harmônica pode ser tomada então como uma função do tipo:

$\psi (x,t)=\psi_{0} \cos \left(\vec{k}\cdot \vec{r} - \omega t + \phi_{0} \right)$

Sendo o vetor $\vec{k}$ definido por $\vec{k}=k \hat{k}$ onde $\hat{k}$ é o versor que aponta na direção de propagação da onda e $k$ continua sendo definido por $k=\dfrac{2 \pi}{\lambda}$. Sendo $\psi$ a função em questão que se propaga de forma ondulatória, ex: pressão e densidade em uma onda sonora. Sabendo disso, podemos agora estudar o chamado princípio de Huygens. Definimos frentes de onda como as porções da onda que possuem a mesma fase. O Princípio de Huygens afirma que cada ponto dessa frente de onda funciona como uma nova fonte pontual de ondas esféricas. Veja a imagem a seguir onde diversos pontos da frente de onda $F0$ atuam como fontes pontuais para formação da frente de onda $F1$.

Lei de Snell

Sabendo do princípio de Huygens, podemos deduzir a chamada lei de Snell, suponhamos que uma frente de onda de uma onda plana esteja se propagando em um meio no qual sua velocidade é $v_{1}$ e passa para um meio onde a sua velocidade de propagação é $v_{2}$, segundo a seguinte imagem:

 

Nessa imagem, temos uma superfície refratora do qual os pontos $B$ e $D$ fazem parte, abaixo dessa superfície a velocidade de propagação da nossa onda plana é $V_{1}$ e acima é $V_{2}$. Note que $AB$ indica a direção de propagação da onda no meio $1$ e $DC$ a direção de propagação da onda no meio $2$. Chamemos $AB$ de $d_{1}$, $DC$ de $d_{2}$ e $BD$ de $d$. Além disso, definamos os ângulos $\theta_{1}$ e $\theta_{2}$ como os ângulos que a direção de propagação da onda nos meios $1$ e $2$, respectivamente, fazem com a normal da superfície refratora, mas note que esses ângulos também são os ângulos que as frentes de onda fazem com a própria superfície refratora. Note que $\theta_{1}$ pode ser encontrado na imagem como o ângulo $\angle ADB$ e $\theta_{2}$ pode ser encontrado como o ângulo $\angle ABC$.

Sabemos que o tempo que o ponto $A$ leva para chegar à superfície deve ser igual ao tempo que o ponto $D$ leva para chegar à nova frente de onda, logo:

$\dfrac{d_{1}}{v_{1}}=\dfrac{d_{2}}{v_{2}}$

Além disso, a distância entre os pontos de contato da frente de onda com a superfície pode ser escrita por:

$d=\dfrac{d_{2}}{\sin \theta_{2}}=\dfrac{d_{1}}{\sin \theta_{1}}$

Multiplicando as duas equações, temos:

$v_{1} \sin \theta_{2}= v_{2} \sin \theta_{1}$

Manipulando:

$\dfrac{\sin \theta_{1}}{v_{1}}=\dfrac{\sin \theta_{2}}{v_{2}}$

Que é a lei de Snell.