Problemas Aula 3.4 - Acústica

Faremos uma análise de cada afirmação:

I) Como sabemos, o som é uma onda longitudinal e a definição desta está correta, então I está certa

II) Como sabemos que 0 som o é uma onda longitudinal, essa está incorreta

III) O som não se propaga no vácuo! Logo está incorreta

IV) A velocidade do som depende do meio, logo esta está incorreta.

Como só a I) está correta, ficamos com a alternativa c).

c)

Como o corredor se aproxima do carro, as ondas sonoras chegam mais rápido nele, fazendo com que a frequência aumente. Similarmente, usando a fórmula do efeito doppler com a fonte estacionária, chegamos na mesma conclusão que é descrita em a).

a)

Essa questão é bastante perigosa, já que precisamos compreender como a intensidade de uma onda sonora( que é esférica) funciona. De primeira, podemos estar tentados a marcar a alternativa a), pois de fato sempre conseguimos encontrar um ponto de interferência destrutiva. No entanto, no caso em que as fontes estão em fase, essas interferências destrutivas nunca causam Intensidade nula. Podemos entender isso pois a diferença de fase é consequência de uma diferença de distância percorrida, de forma que, para as ondas estarem em fases opostas, uma teve que se deslocar mais que a outra, e , como o som é uma onda esférica, isso implica que a intensidade desta será menor que aquela que percorreu uma distância menor. Portanto, percebe-se que a alternativa correta é d).

d)

Para esse problema, basta usarmos a fórmula do efeito doppler com nossa fonte sendo o carro e o observador sendo o aparelho. Primeiro, é evidente que a frequência de multa é uma máxima, quanto mais rápido o carro se aproxima. maior a frequência, de forma que descartamos as alternativas c), d) e e). Agora, usando a fórmula:

$f_{observada}=31\cdot\frac{330}{330-20}=33kHz$

Chegamos, assim, na alternativa b).

b)

Como podemos perceber pela figura ou por conhecimento prévio, as ondas de pressão e deslocamento estão defasadas de $\frac{\pi}{2}$. Sendo assim, como a onda de deslocamento inverte a fase quando atinge uma extremidade, a onda de pressão, por ser oposta a de deslocamento, mantém sua fase, o que é dito no item a). Há outra maneira de compreender isso, pela figura, percebemos que há uma máximo de intensidade na extremidade fechada, ou seja, há interferência construtiva entre a onda que chega e a que reflete, o que só é possível se ela não mudar de fase.

a)

O comprimento de onda do primeiro harmônico só depende do tamanho da corda, então ele se mantém o mesmo

$\lambda_c = \lambda_{c,0}$

Com o aumento de tensão, a velocidade de propagação aumenta, e como o comprimento de onda é constante, por $v = \lambda f$, a frequência da onda na corda aumenta. A frequência de oscilação do som é a igual a da vibração da corda, logo ela também aumenta. Como a velocidade de propagação do som é constante, se a frequência é maior, o comprimento de onda diminui

$\lambda_s < \lambda_{s,0}$

Portanto, item b)

Item b)

Sabemos que a água contém mais matéria que o ar, portanto, esperamos que a luz interaja pior com meios de mais matéria e o oposto ocorra com o som. De fato, isso faz sentido, já que para a luz, a matéria é desnecessária para sua propagação e apenas a atrapalha, enquanto, para o somo, a matéria é fundamental para sua propagação. Encontramos isto na alternativa d).

Item d)

 Analisaremos preposição por preposição. A preposição I está correta, pois o eco ocorre quando a onda sonora é refletida por superfícies e volta à fonte, sendo, portanto, um fenômeno de reflexão. A preposição II também está correta, pois o que ocorre é uma trajetória diferente entre os raios de luz que vem diretamente da colher e dos raios que vem da colher por baixo d'água, tendo, portanto, que atravessar a interface água-ar. Esses raios que atravessam a interface tem seu ângulo defletido, devido à refração, e devido a isso o prolongamento desses raios não coincide mais com suas fontes, o que faz um observador pensar que eles foram emitidos de um lugar que eles não foram. Desta maneira, essa diferença de posição aparente da fonte de emissão entre pontos em cima e de baixo d'água causa a impressão de descontinuidade da colher, ou "quebra". A preposição III está falsa, pois o fenômeno que permite que você escute alguém que está por trás de uma barreira é o da difração, em que a onda consegue "atravessar" obstáculos devido ao princípio de Huygens e da forma de emissão de suas frentes de onda. A difração é um fenômeno que fica mais acentuado com o aumento do comprimento de onda da onda em questão, sendo esta a razão por qual você consegue escutar alguém por trás de uma barreira, que ocorre por causa de ondas sonoras de comprimento de onda na ordem de $0,1 m$, enquanto você não vê essa mesma pessoa, pois o comprimento de onda da luz é da ordem de $10^{-7} m$. Desta maneira, o item correto é o item C

C)

(a) Para ir até a parede oposta e voltar, o a onda percorre uma distância de $d = 2 \cdot 10 \ m = 20 \ m$. Sendo $c = 320 \ m/s$ a velocidade do som, obtemos:

$\Delta t = \dfrac{d}{c} = \dfrac{20}{320} \ s = \dfrac{1}{16} \, s$

$\boxed{\Delta t = \dfrac{1}{16} \ s = 6,25 \cdot 10^{-2}\,s}$

(b) A fase de uma onda é dada por $\phi = kx - \omega t + \phi_{0}$, onde $k$ representa o número de onda, $\omega$ a frequência angular e $\phi_{0}$ é a constante de fase. Como ambas as ondas estarão na mesma posição no momento da medida, podemos expressar a diferença de fase como:

$\Delta \phi = \omega \Delta t = 2\pi f \Delta t$

$\Delta \phi = 2\pi \cdot 45 \cdot 10^{3} \cdot \dfrac{1}{16} \ rad$

Convertendo de radianos para graus:

$\Delta \phi = 45 \cdot 10^{3} \cdot \dfrac{1}{16} \cdot 360^{\circ} = (2812 + \dfrac{1}{2}) \cdot 360^{\circ}$

Assim, temos que a diferença de fase consiste de $2812$ ciclos completos de $360^{\circ}$ e de mais meio ciclo. Logo:

$\boxed{\Delta \phi = 180^{\circ}}$

(a) $\boxed{\Delta t = \dfrac{1}{16} \, s = 6,25 \cdot 10^{-2}\,s}$

(b) $\boxed{\Delta \phi = 180^{\circ}}$

Primeiro, precisamos calcular a frequência percebida pela parede estacionária. Fazemos isso utilizando a fórmula do efeito Doppler:

$f_{parede}=f_{fonte}\frac{u}{u+v}$

$f_{parede}=36\frac{330}{360}=33kHz$

Agora, essa onda é emitida pela parede e chega até o observador em movimento, novamente usaremos Doppler:

$f_{som refletido}=f_{parede}\frac{u-v}{u}$

$\boxed{f_{som refletido}=33\frac{300}{330}=30\;\rm{kHz}}$

Portanto, a frequência é de $33kHz$.

$\boxed{f_{som\; refletido}=30\;\rm{kHz}}$

Há a formação de ondas estacionárias dentro do tubo. Nos ventres de deslocamento o pó é sacudido e portanto, ele se despersa. Nos nós de deslocamento, o pó fica em repouso, correspondendo ao pico dos montes formados. O enunciado fornece a distância entre dois desses picos, ou seja, ele fornece a distância entre dois nós de deslocamento, que é ${\lambda}/2$. Dessa forma, pela relação fundamental da ondulatória

$\boxed{v={\lambda}f=2df=1270 \;\rm{m/s}}$

$\boxed{v=1270 \;\rm{m/s}}$

a)

Como fornecido pelo enunciado, a ressonância em líquidos é caracterizada por um nó na superfície assim podemos desenhar o primeiro harmônico, notando que a extremidade é aberta:

Pelo desenho, percebemos que $5\;\rm{cm}$ correspondem a um quarto do comprimento de onda, ou seja: $\lambda_{no ar}=4*0,05=0,2\;\rm{m}$. Analogamente, o segundo harmônico corresponde à três quartos do comprimento de onda, ou seja: $L=\frac{3}{4}*\lambda_{no ar}=0,15\;\rm{m}$. A velocidade pedida é

$\boxed{V=\frac{L}{60}=0,0025\;\rm{m/s}}$.

b) Primeiro, precisamos encontrar os parâmetros da onda no líquido. A frequência é a mesma da fonte que é:

$f=\frac{v}{\lambda_{no ar}}=1,7kHz$

Assim, aplicando $v=\lambda_{no l�quido} *f$ no líquido temos:

$\lambda_{no l�quido} =\frac{1700}{1700}=1m$

Sabemos que no primeiro harmônico, o comprimento que contém líquido corresponde a meio comprimento de onda, assim:

$\boxed{L=\frac{\lambda_{no l�quido}}{2}=0,5\;\rm{m}}$

a) $\boxed{V=0,0025\;\rm{m/s}}$.

b)$\boxed{L=0,5\;\rm{m}}$

Precisamos obter uma função para a intensidade da onda sonora em função da distância até a britadeira. Desprezando perdas de energia para o ar e considerando que a britadeira se porte como uma fonte pontual, temos que:

$P(r) = I(r) \cdot 4\pi r^{2} = \text{constante}$

Para $r = 2 \ \text{m}$, a intensidade é de $I(2 \ \text{m}) = 2,0 \ \text{W/m}^{2}$. Logo:

$I(r) \cdot 4\pi r^{2} = 2,0 \cdot 4 \pi \cdot 2,0^{2} \ \text{W}$

$I(r) \cdot r^{2} = 8,0 \ \text{W}$

$I(r) = \dfrac{8}{r^{2}} \ \text{W/m}^{2}$

Igualando essa expressão à intensidade de $0,1 \text{W/m}^{2}$:

$0,1 = \dfrac{8}{r^{2}}$

$r^{2} = 80 \ \text{m}^{2}$

$\boxed{r = 4 \sqrt{5} \ \text{m} \approx 8,8 \ \text{m}}$

$\boxed{d = 4 \sqrt{5} \ \text{m} \approx 8,8 \ \text{m}}$

(a) Vamos considerar que a pessoa está no ponto $P$ a uma distância $x$ de $A_1$

Dessa forma, a diferença de caminho entre as ondas emitidas por cada fonte dá-se por

$\Delta x=x_2-x_1$

$\Delta x=\sqrt{x^2+(3\lambda)^2}-x$

Além disso, para a interferência destrutiva:

$\Delta x=\sqrt{x^2+(3\lambda)^2}-x=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$

Em que $m$ é um número natural. Desenvolvendo:

$\sqrt{x^2+(3\lambda)^2}=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda+x$

${x^2+(3\lambda)^2}=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\lambda^2+2x\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda+x^2$

${9\lambda}=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2\lambda+2x\left(m+\dfrac{1}{2}\right)$

$x=\dfrac{\lambda}{2}\left( \dfrac{9}{\left(m+\frac{1}{2}\right)}-\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\right)$

Assim, $x>0$ então

$9>\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2$

$m<2,5$

Então os valores que $x$ assume são para $m=0$, $m=1$ e $m=2$.

$x=8,75\lambda$  para  $m=0$

$x=2,25\lambda$  para  $m=1$

$x=0,55\lambda$  para  $m=2$

Como $\lambda=2,00\;\rm{m}$, os valores de $x$ são

$\boxed{x=17,5\;\rm{m}}$  para  $\boxed{m=0}$

$\boxed{x=4,5\;\rm{m}}$  para  $\boxed{m=1}$

$\boxed{x=1,1\;\rm{m}}$  para  $\boxed{m=2}$

(b) Nessa questão é importante utilizar a dependência da intensidade com a distância. Como o enunciado informa que o som se propaga isotropicamente,  consideramos a propagação das ondas esfericamente simétricas. Sendo assim, a intensidade varia com o inverso da distância ao quadrado:

$I\propto \dfrac{1}{r^2}$

Chame de $a$ a constante de proporcionalidade. Assim:

$I=\dfrac{a}{r^2}$

Dessa forma, as amplitudes das ondas emitidas por $A_1$ e $A_2$, ao chegarem no ponto de interferência, são diferentes. Se a amplitude da onda de $A_1$ for $B_1$ e a amplitude da onda de $A_2$ for $B_2$, a amplitude resultante será:

$A_r=B_1-B_2$

Pois a interferência é destrutiva. Como a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude, a intensidade da onda resultante vale:

$I_d=kA_r^2$

$I_d=k(B_1-B_2)^2$

OBS.: Aqui, $k$ é um fator de proporcionalidade entre a intensidade e a amplitude ao quadrado. Uma vez que ele só depende do meio de propagação, vale o mesmo para todas as ondas.

Prosseguindo, como sabemos que:

$I_1=kB_1^2$            $I_2=kB_2^2$

Então:

$I_d=(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2$

Em função das distâncias, $I$ vale:

$I_d=a\left(\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}\right)^2$

Caso a fonte $A_2$ fosse desligada, a intensidade resultante seria apenas da onda $A_1$, ou seja:

$I_u=\dfrac{a}{x_1^2}$

Então, a razão $I_d/I_d$ mede:

$\dfrac{I_d}{I_u}=\left(1-\dfrac{x_1}{x_2}\right)^2$

Para a posição mais próxima do eixo $y$, ou seja, $x_1=0,55\lambda$, temos por fim:

$\dfrac{I_d}{I_u}=\left(1-\dfrac{0,55\lambda}{\sqrt{(0,55\lambda)^2+(3\lambda)^2}}\right)^2$

$\dfrac{I_d}{I_u}=\left(1-\dfrac{0,55}{3,05}\right)^2$

$\dfrac{I_d}{I_u}=\left(\dfrac{2,5}{3,05}\right)^2$

$\boxed{\dfrac{I_d}{I_u}=\left(\dfrac{50}{61}\right)^2\approx 0,67}$

OBS.: É importante esclarecer uma possível dúvida que pode surgir. No item (a), encontramos a condição que descreve uma interferência destrutiva. É comum que o aluno comumente associe interferência destrutiva a uma intensidade resultante nula, o que poderia levá-lo a pensar que a resposta do item (b) seria simplesmente zero, já que $I_d=0$. Note, no entanto, que isso não é compatível com as condições do problema, uma vez que é mencionado que o som se propaga isotropicamente. Isso implica que a intensidade - e, portanto, a amplitude do som - varia com a distância à fonte devido à emissão esfericamente simétrica, impossibilitando que uma interferência das duas ondas gere uma intensidade/amplitude nula. Os pontos de interferência destrutiva estão, como vimos, associados à mínima amplitude possível do som resultante.

(a) $\boxed{x=17,5\;\rm{m}}$  para  $\boxed{m=0}$

       $\boxed{x=4,5\;\rm{m}}$  para  $\boxed{m=1}$

    $\boxed{x=1,1\;\rm{m}}$  para  $\boxed{m=2}$

(b)$\boxed{\dfrac{I_d}{I_u} \approx 0,67}$

(a) Para o observador B, nós temos que a ambulância se aproxima dele, e assim que o cruza, ela desliga sua buzina, e assim nós temos que considerar o efeito doppler da aproximação, e depois a frequência normal no momento que ela passa por ele. Lembrando que a fórmula para o efeito Doppler é:

$f = \dfrac{v_S + v_O}{v_S + v_F} f_0$

Onde $v_S$ é a velocidade do som, $v_O$ a velocidade do observador e $v_F$ a velocidade da fonte, o sentido adotado é positivo do observador para a fonte. Assim sendo a frequência percebida por B quando a ambulância se aproxima é: (Lembrem de converter a velocidade da ambulância de $120 \, \textrm{km/h}$ para $\dfrac{100}{3} \, \textrm{m/s}$)

$f_{B,max} = \dfrac{v_S}{v_S - v_0} f_0 = \dfrac{340}{340 - \dfrac{100}{3}} 1000$

$\boxed{f_{B,max} \approx 1109 \, \textrm{Hz}}$

E a frequência mínima é quando a ambulância cruza ele, assim tendo uma velocidade perpendicular a ele, que não constitui como uma aproximação ou afastamento de B, assim:

$\boxed{f_{B,min} = f_0 = 1000 \, \textrm{Hz}}$

Para o observador C, nós vamos ter algo quase igual, mas agora devemos ter um cuidado com o ângulo de aproximação.

A verdadeira velocidade de aproximação é $v_0 \cos \theta$ e não $v_0$, pois a componente perpendicular a reta que liga a ambulância A ao observador C não importa para o efeito Doppler. Podemos ver que a velocidade fica cada vez mais perpendicular a esta reta, e portanto a velocidade máxima de aproximação é no instante inicial, quando $\theta = 45 \, ^{\circ}$. Após isto nós teremos um momento onde a velocidade estará totalmente perpendicular (quando a ambulância cruza a praça), e estes serão os momentos de máximo e mínimo, respectivamente. Portanto:

$f_{C,max} = \dfrac{v_S}{v_S - v_0 \cos \theta} f_0 = \dfrac{340}{340 - \dfrac{100}{3} \cos 45 \, ^{\circ}} 1000$

$\boxed{f_{C,max} \approx 1074 \, \textrm{Hz}}$

E a mínima:

$\boxed{f_{C,min} = f_0 = 1000 \, \textrm{Hz}}$

(b) A frequência percebida pelo observador B em função do tempo é fácil de ver que será a máxima até o instante final, onde será a mínima, mas para termos uma ideia de como deve ser a frequência percebida pelo observador C em função do tempo, vamos escrever $\cos \theta$ em função do tempo.

$\cos \theta = \dfrac{x}{\sqrt{L^2 + x^2}}$

Mas como a ambulância realiza um movimento retilíneo uniforme partindo da ponta oposta a C, temos que $x = L - v_0 t$, assim:

$\cos \theta = \dfrac{L - v_0 t}{\sqrt{L^2 + (L - v_0 t)^2}}$

Colocando isso na equação da frequência percebida por B:

$f_{C,max} = \dfrac{v_S}{v_S - v_0 \cos \theta} f_0 = \dfrac{v_S}{v_S - v_0 \dfrac{L - v_0 t}{\sqrt{L^2 + (L - v_0 t)^2}}} f_0$

Substituindo os valores numéricos e fazendo o gráfico de ambas as frequências chegamos em:

Mas sendo razoáveis, podemos entender que não era esperado do aluno que fosse feito um gráfico perfeito de tal curva, portanto durante a prova, acreditamos que o esperado era apenas uma curva como essa, que podia ser encontrada fazendo uma reta ligando do ponto máximo ao ponto mínimo de C e dela, fazer uma curva muito suave com concavidade para baixo, como a do gráfico.

(a) $\boxed{f_{B,max} \approx 1109 \, \textrm{Hz}}$ e $\boxed{f_{B,min} = f_0 = 1000 \, \textrm{Hz}}$ para o observador B.

$\boxed{f_{C,max} \approx 1074 \, \textrm{Hz}}$ e $\boxed{f_{C,min} = f_0 = 1000 \, \textrm{Hz}}$ para o observador C.

(b)