Aula 4.1 - Leis da reflexão e formação de imagens aplicada ao espelho plano

Escrita por Antônio Ítalo

Nessa aula iremos introduzir o conceito de reflexão da luz e trabalhar com espelhos planos. Além disso, introduziremos o conceito de campo visual, que é uma das partes da Óptica mais cobrada em provas no geral.

Leis da Reflexão

Primeira lei da reflexão

A primeira lei da reflexão afirma que o raio de luz incidente, a normal ao espelho e o raio de luz refletido estão no mesmo plano. Isso significa que NÃO são permitidas reflexões que não poderiam ser representadas em duas dimensões incluindo tanto a normal quanto os dois raios. Um exemplo de reflexão permitida está ilustrado mais abaixo.

Segunda lei da reflexão

A segunda lei da reflexão afirma que o ângulo que o raio de luz incidente faz com a normal, $\theta_{i}$ , é igual ao ângulo que o raio de luz refletido faz com a normal, $\theta_{r}$ . Ou seja, a segunda lei da reflexão afirma que $\theta_{i}=\theta_{r}$ . Veja a figura abaixo para melhor compreensão da primeira e da segunda lei da reflexão.

Formação de imagens de um sistema óptico

Antes de estudarmos os espelhos planos e esféricos, devemos entender como são formadas as imagens de um determinado objeto. Na figura abaixo, o quadrilátero representa um sistema óptico qualquer. Uma fonte luminosa $O$ é posta em frente à esse sistema óptico. Tomando dois raios que entram no sistema óptico e analisando a forma com que eles saem do mesmo, vemos que convergem para um certo ponto $I$ , que será a imagem real (mais tarde explicaremos o significado disso) do nosso ponto $O$ formada por esse sistema óptico. Um observador a direita do sistema óptico pensa então que os raios de luz que chegam ao seu olho saíram do ponto $I$ , portanto, vai ver a fonte luminosa nesse ponto. Note que, dependendo do sistema óptico, poderia haver a formação de múltiplas imagens, ou seja, nem todos os raios se cruzariam em um mesmo ponto, contudo, nosso principal objeto de estudo são as situações em que podemos considerar que há a formação de apenas uma imagem visível para nosso observador.

Agora que conhecemos o procedimento padrão para a formação de imagens, devemos aplicá-lo na situação mais simples possível: O espelho plano.

Espelhos planos

Dado um espelho plano $E$ qualquer podemos aplicar o método discutido anteriormente para encontrar a posição da imagem de qualquer objeto. Veja o método sendo aplicado para dois objetos, $O_{1}$ e $O_{2}$ na figura a seguir.

Pela imagem (e também pelo senso comum), é possível afirmar que $I_{1}$ e $I_{2}$ estarão simétricos com $O_{1}$ e $O_{2}$ em relação ao espelho, mas vamos provar isso. Primeiramente, note que as imagens formadas nesse caso são virtuais, ou seja, vamos analisar o cruzamento do prolongamento dos raios refletidos. Comecemos pela imagem de $O_{1}$ .

Um raio especial é o raio que liga diretamente o objeto $O_{1}$ ao espelho pela menor distância possível, como esse raio faz um ângulo de $0^{\circ}$ com a normal, ocorre de ele se refletir sobre si mesmo, portanto, o prolongamento do raio refletido é horizontal e a imagem $I_{1}$ deve estar nessa reta. Tomemos agora um outro raio qualquer que incide no espelho fazendo um ângulo $\theta$ com a superfície do mesmo. Pelas leis da reflexão, o ângulo que o prolongamento do raio refletido faz com a superfície do espelho também é $\theta$ , portanto, o cruzamento desse prolongamento com a horizontal traçada anteriormente ocorre, por semelhança de triângulos, na mesma distância do espelho que $O_{1}$ está. Provamos então que a imagem de um ponto diretamente na frente do espelho segue esse padrão de simetria, pois dessa maneira mostramos que dois raios quaisquer tem seus prolongamentos se cruzando em $I_{1}$ .

Estudemos agora a formação da imagem $I_{2}$ . Nesse caso, não podemos utilizar o raio horizontal, portanto, pegaremos dois raios quaisquer que incidem no espelho. Chamemos de $d_{2}$ a distância do objeto $O_{2}$ até o plano do espelho. Trace uma horizontal que liga diretamente o plano do espelho e o objeto $O_{2}$ . Se tomarmos um raio que incide no espelho plano a uma altura $h$ acima do ponto $O_{2}$ e fazendo um ângulo $\alpha$ com a superfície teremos que o prolongamento desse raio cruzará a horizontal a mesma distância $d=h \tan \alpha$ , isso vale também para um outro raio qualquer com ângulo $\beta$ , sendo assim, todos os raios que incidem no espelho partindo de $O_{2}$ se cruzam no ponto $I_{2}$ que é simétrico com $O_{2}$ em relação ao plano do espelho, portanto, $I_{2}$ é a única imagem de $O_{2}$ . Note então que para todos os efeitos de formação de imagem o espelho age como se fosse infinito.

Breve discussão sobre os tipos de imagens e objetos

Há $3$ tipos de objetos e $3$ tipos de imagens que estão listadas a seguir.

P.O.R. (Ponto objeto real)
P.O.V. (Ponto objeto virtual)
P.O.I. (Ponto objeto impróprio)
P.I.R. (Ponto imagem real)
P.I.V. (Ponto imagem virtual)
P.I.I. (Ponto imagem imprópria)

Vejamos com situações práticas alguns exemplos de objetos e imagens para entendermos o que cada categoria significa.

Na imagem acima, temos uma fonte luminosa $O_{1}$ entre dois espelhos $E_{1}$ e $E_{2}$ . Inicialmente, pode-se pensar que vai haver a geração somente das imagens $I_{1}$ e $I_{2}$ , contudo, cada uma dessas imagens acaba atuando como objeto para o outro espelho, formando assim a imagem $I_{3}$ . Vamos tentar categorizar cada uma dessas imagens/objetos.

$O_{1}$ é um $P.O.R.$ tanto para o espelho $E_{1}$ quanto para o espelho $E_{2}$ pois é um objeto físico real.
$I_{1}$ é um $P.I.V.$ para o espelho $E_{1}$ , pois é formada com o cruzamento dos raios de luz refletidos em $E_{1}$ , contudo $I_{1}$ é um $P.O.R.$ para o espelho $E_{2}$ . Essa ultima afirmação pode parecer estranha, contudo, deve-se entender que, para $E_{2}$ , parece haver uma fonte real de luz no lugar de $I_{1}$ . No próximo exemplo, veremos o que é um objeto virtual.
$I_{2}$ é um $P.I.V.$ para o espelho $E_{2}$ e um $P.O.R.$ para o espelho $E_{1}$ .
$I_{3}$ é um $P.I.V.$ tanto para o espelho $E_{1}$ quanto para o espelho $E_{2}$ .

A seguir, veja um exemplo onde temos um $P.O.V.$ .

O objeto $O$ é um $P.O.V.$ para nosso espelho pois os raios que batem no espelho estão convergindo para ele. Note então que há a formação de um $P.I.R.$ devido à reflexão desse objeto. Note também que se houvesse um pequeno espelho entre $I$ e o nosso atual espelho, $I$ seria um $P.O.V.$ para esse espelho, contudo, continuaria sendo uma imagem real para o nosso espelho da figura, pois quando vamos classificar um ponto segundo um espelho ignoramos a influência de outros aparatos ópticos no fato dos raios se cruzarem ou não. De maneira resumida, temos:

Objeto real: Raios que batem no nosso espelho divergem desse ponto.
Objeto virtual: Raios que batem no nosso espelho convergiriam para esse ponto.
Imagem real: Raios refletidos convergem para esse ponto.
Imagem virtual: Raios refletidos divergem desse ponto.

Ainda precisamos falar dos objetos e imagens impróprias, contudo, deixaremos para falar desse caso em espelhos esféricos, pois possuem mais relevância nessas situações.

Campo Visual

Como vimos anteriormente, independentemente de um espelho ser finito ou não, ele formará imagens da mesma forma, contudo, isso não significa que o tamanho dos espelhos não possua nenhuma influência sobre o sistema físico. Veja a imagem a seguir por exemplo:

Aqui, o ponto azul representa o olho do nosso observador. A pergunta que queremos responder é: Qual região pode ser vista pelo observador através do espelho de tamanho finito $E_{1}$ ? A resposta é toda a região pintada de azul (Note que essa região continua fora da imagem). Por que isso acontece? Podemos pensar nisso de duas formas:

Primeira forma:

Cada ponto do espaço será refletido pelo espelho $E_{1}$ , sendo assim, podemos refletir todo o espaço com relação ao plano do espelho. Agora devemos responder então a seguinte pergunta: Quais desses pontos imagens são vistos pelo observador? A resposta é simples. Se pegarmos os raios extremos que chegam ao nosso observador passando pelo espelho teremos uma região que na figura está pintada de amarela. Todos os pontos dessa região podem ser vistos pois existem raios que saem desse ponto e chegam no observador a partir do espelho, bastando que os raios permaneçam dentro da região para que cheguem ao observador. Note que pontos fora dessa região não podem ser vistos através dos espelhos pois determinamos a região a partir dos raios extremos que passam pelo espelho. Refletindo de volta a região amarela obtemos a região azul.

Segunda forma:

Podemos traçar novamente os raios extremos que tocam o espelho e chegam no nosso observador. Se utilizarmos a segunda lei da reflexão, obtemos automaticamente a região azul pelos mesmos argumentos anteriores.

Qual forma utilizar?

Em geral, utilizamos em questões a primeira forma pois permite uma geometria mais simples. Vejamos essa maior facilidade em um exemplo. Uma questão muito clássica a respeito de campo visual pede o tamanho mínimo de um espelho para que uma pessoa de altura $H$ possa se ver por inteiro. Veja a seguir a resolução pelo primeiro método e tente fazer você mesmo a solução pelo segundo método.

Note que o comprimento do espelho será $x=x_{1}+x_{2}$ . Por semelhança de triângulos, temos:

$\dfrac{x_{1}}{D}=\dfrac{H-h}{2D} \rightarrow x_{1}=\dfrac{H-h}{2}$

$\dfrac{x_{2}}{D}=\dfrac{h}{2D} \rightarrow x_{2}=\dfrac{h}{2}$

Somando, temos então:

$x=x_{1}+x_{2}=\dfrac{H}{2}$

Note que esse resultado não depende da distância da pessoa ao espelho nem da altura $h$ .