Aula 4.2 - Movimento de imagens formadas por um espelho plano

Escrita por Antônio Ítalo

Essa aula visa o estudo do movimento das imagens formadas por espelhos planos em $4$ tipos de situações diferentes:

1. Objeto em movimento e espelho parado
2. Objeto parado e espelho em movimento translacional
3. Objeto parado e espelho em movimento rotacional

Ao longo da aula, notaremos que será possível lidar com situações que misturem essas situações acima através de mudanças de referenciais. Apesar de não ser muito importante mencionar isso, note que aqui estaremos lidando sempre com velocidades muito menores que a da velocidade da luz, sendo assim, podemos utilizar as transformações clássicas para mudanças de referenciais.

Caso 1: Objeto em movimento com espelho em repouso

Por conveniência, escolhamos um sistema de coordenadas cartesianas $(x,y,z)$ tal que o eixo $z$ seja perpendicular ao plano do nosso espelho e a origem pertença ao plano do espelho. Nesse sistema de coordenadas, o vetor posição do nosso objeto será dado por:

$\vec{r}_{o}=x_{o}\hat{x} +y_{o}\hat{y}+z_{o}\hat{z}$

E, conforme estudado na aula anterior, o vetor posição da imagem será:

$\vec{r}_{i}=x_{o}\hat{x}+y_{o}\hat{y}-z_{o}\hat{z}$

Pela definição vetorial de velocidade, temos:

$\vec{v}=\dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

Sendo assim, a velocidade vetorial do objeto pode ser escrito como:

$\vec{v}_{o}=v_{x} \hat{x}+ v_{y} \hat{y}+ v_{z} \hat{z}$

Enquanto, pela definição de velocidade, deve valer para a imagem:

$\vec{v}_{i}=v_{x} \hat{x} + v_{y} \hat{y} - v_{z} \hat{z}$

Ou seja, nessa situação, as componentes paralelas a superfície do espelho da velocidade da imagem serão iguais às da velocidade do objeto, contudo, a velocidade normal à superfície do espelho terá sentido oposto.

Caso 2: Objeto em repouso e espelho em movimento translacional

Primeiramente, note que se o espelho possuir uma velocidade tangencial à sua superfície, isso não importará, pois conforme discutido na aula anterior, o espelho se comportará como infinito no quesito de formação de imagens, sendo assim, basta considerarmos uma velocidade perpendicular à sua superfície, $V$. Note que, nesse caso, podemos analisar a situação no referencial do espelho. No referencial do espelho, vemos o objeto se aproximando do espelho com velocidade $V$, assim como a imagem. Para obtermos a velocidade do objeto e da imagem no referencial da terra, devemos somar vetorialmente $V$ à todos os corpos. Nesse caso, obtemos então que a imagem se move com velocidade $2V$ na mesma direção e sentido que o espelho.

Caso 3:  Objeto em repouso e espelho em movimento rotacional

Primeiramente, devemos definir nossas grandezas. Considere que o espelho gira com velocidade angular $\omega$ em torno de um ponto $O$ do espelho e que nosso objeto esteja à uma distância $R$ desse ponto $O$. Note que todo ponto do espelho deve ser equidistante da imagem e do objeto, incluindo o ponto $O$, ou seja, o movimento realizado pela imagem deve ser circular em torno do ponto $O$ e possuir raio $R$, basta agora então descobrir a velocidade angular desse movimento. No referencial que  gira com o espelho, a imagem e o objeto estarão fazendo um movimento circular com velocidade angular $\omega$, sendo assim, voltando ao referencial da terra, a imagem terá velocidade angular $2\omega$.

Combinação de casos

Aqui, exemplificaremos a combinação de movimentos através da mistura dos casos $1$ e $2$. Nesse exemplo, consideraremos um caso unidimensional de um espelho vertical que se move com velocidade $V$ na horizontal no sentido de aproximação do objeto $O$, contudo, o objeto $O$ está se movendo com velocidade $v$ no sentido de aproximação do espelho. Nessa situação, temos duas opções principais:

1.  Mudar para um referencial que recaia no caso $1$
2.  Mudar para um referencial que recaia no caso $2$

Comecemos pela primeira opção. No referencial do espelho, temos o objeto se aproximando com velocidade $v+V$ do mesmo, sendo assim, a imagem também possuirá a mesma velocidade. Ao voltarmos para o referencial do laboratório, obtemos então que a velocidade do objeto será $v+2V$. Utilizando a segunda opção, temos que no referencial do objeto o espelho se moverá com velocidade $v+V$, sendo assim, a imagem se moverá com velocidade $2v+2V$. Retornado para o referencial do laboratório, obtemos novamente a velocidade da imagem como $v+2V$.