Aula 4.4 - Espelhos esféricos

Escrita por Antônio Ítalo

Antes de começar a aula, é importante ressaltar que a partir daqui trabalharemos somente casos de raios paraxiais, pois, em situações diferentes dessas, em geral, não há uma formação perfeita de imagens. Isso significa que trabalharemos somente com aproximações de espelhos esféricos, nas chamadas condições gaussianas, que serão mais detalhadas no decorrer da aula.

Definição de espelho esférico

Até o momento, trabalhamos somente com espelhos planos, que são os mais convencionais e mais presentes no nosso cotidiano, contudo, existem diversos outros tipos de espelhos e, entre eles, os mais cobrados em provas com certeza são os espelhos esféricos. Um espelho esférico é um espelho curvado de tal forma que seja equidistante em todos os pontos da sua superfície de um ponto chamado centro de curvatura ( $C$ ). Sendo assim, $C$ é o centro da esfera que seria usada para gerar o espelho esférico. Note que 3 características serão muito importantes para caracterizar um certo espelho esférico $E$ :

Concavidade: Os espelhos esféricos serão divididos em dois tipos, convexos e côncavas, dependendo da face refletora. Essa classificação será explicada melhor a seguir.
Raio: O raio do espelho esférico será muito importante para a formação das imagens, de forma que a posição das imagens dependerão de maneira muito importante do mesmo.
Ângulo de abertura: De maneira geral, podemos dizer que o espelho esférico é gerado pela retirada de uma certa parte de uma esfera para construção do mesmo, sendo assim, o ângulo de abertura determinará o tamanho dessa parte.

Foco de um espelho esférico

Vamos começar nosso estudo sobre espelhos esféricos analisando a seguinte situação: Um raio de luz paralelo ao eixo óptico do nosso espelho e distante de uma altura $y$ é refletido pelo mesmo. Por que ponto do eixo óptico o raio refletido vai passar?

Na imagem acima temos dois pontos muito importantes: O ponto $C$ chamado de centro de curvatura é literalmente o centro da esfera geradora do nosso espelho enquanto o ponto $V$ é o denominado vértice do espelho, sendo o seu ponto de simetria. É importante notar que esse espelho é denominado côncavo, pois o seu centro de curvatura está na frente da superfície refletora. Sabendo disso, vamos agora tentar calcular a distância $x$ do ponto no eixo óptico (eixo de simetria do espelho, representado na figura). Da figura, temos:

$h=R \sin \theta$

E também:

$h=\left(R-x \right) \sin 2\theta$

Logo:

$1 - \dfrac{x}{R}= \dfrac{1}{2 \cos \theta}$

$x= R \left( 1 - \dfrac{1}{2 \cos \theta} \right)$

É interessante lembrar agora que trabalharemos sempre nas chamadas condições gaussianas, de forma que todos os raios que incidem paralelamente ao eixo focal toquem o mesmo ponto do eixo óptico, ponto esse conhecido como foco principal. Isso ocorre para ângulos $\theta << 1$ , ou seja, $\cos \theta \approx 1$ , logo:

$x=f=\dfrac{R}{2}$

A partir desse resultado, podemos demonstrar uma equação geral para a posição de uma imagem gerada por um espelho plano que segue as condições de Gauss.

Equação dos pontos conjugados de Gauss

Com base no foco definido anteriormente, encontraremos a chamada equação dos pontos conjugados de Gauss. Note que, desde que consideraremos pequenos ângulos de abertura, todos os pontos do espelho são considerados basicamente na mesma vertical que o vértice do mesmo. Diversas construções podem ser utilizadas para chegar nessa equação, vejamos uma a seguir:

Note que o raio que acerta o vértice do espelho reflete com o mesmo ângulo em relação ao eixo óptico.

A partir da imagem, definiremos a distância do objeto ao vértice do espelho como $p$ e da imagem ao vértice como $p'$ . $I$ é o comprimento da imagem e $O$ o comprimento do objeto. Além disso, $f$ é a distância focal do espelho. Por semelhança de triângulos, temos as seguintes equações:

$\dfrac{I}{p'}=\dfrac{O}{p} \rightarrow I=O \dfrac{p'}{p}$

$\dfrac{I+O}{p'}=\dfrac{O}{f} \rightarrow O \left( \dfrac{1}{p}+ \dfrac{1}{p'} \right) = \dfrac{O}{f}$

Logo:

$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}=\dfrac{1}{f}$

Alguns detalhes importantes devem ser notados:

$p$ e $p'$ são positivos quando na frente do espelho, ou seja, quando o objeto/imagem é real, do contrário, são negativos.
A distância focal $f$ é positiva quando o espelho é côncavo, conforme nos exemplos anteriores, do contrário, deve ser negativa.
A imagem obtida pelo espelho pode ser classificada em direita ou invertida, sendo direita caso tenha a mesma orientação perpendicular ao eixo óptico, do contrário, será considerada invertida. No caso da figura, temos uma imagem invertida.
É comum definir $I$ de forma orientada, tal que o aumento seja positivo caso a imagem seja direita e negativa caso seja invertida, sendo assim, podemos definir o aumento linear $A=\dfrac{I}{O}=-\dfrac{p'}{p}$ .

Também é importante citar alguns raios notáveis que podem ser utilizados alternativamente para deduzir a equação dos pontos conjugados de Gauss:

Se tomarmos um raio passando pelo foco, ou cujo prolongamento passa pelo foco, o mesmo deve, pelo princípio da reversibilidade, refletir paralelamente ao eixo óptico.
Se tomarmos um raio que passa pelo centro de curvatura, ou cujo prolongamento passa pelo centro de curvatura, o mesmo se refletirá sobre si mesmo.

É importante notar que apesar de utilizarmos esses raios para fazermos as deduções, qualquer raio paraxial que saia do objeto chegará na imagem. Isso pode ser provado com um pouco mais de geometria, contudo, esse exercício será deixado como exercício para o leitor.

Focos secundários

O foco ao qual nos referimos anteriormente ao longo da aula é conhecido como ponto focal principal, contudo, todos os pontos com mesma coordenada no eixo óptico que esse, são conhecidos como pontos focais secundários, pois possuem uma propriedade muito interessante. Quando um certo feixe de raios paralelos ao eixo óptico atingem o espelho, todos convergem para o ponto focal principal, contudo, se esse feixe de raios não for paralelo ao eixo óptico também convergirá para um plano no chamado eixo focal. Esse ponto é um foco secundário. Para calcular a posição desse foco secundário podemos utilizar um truque com os chamados objetos impróprios. Os objetos impróprios já foram mencionados anteriormente quando discutimos os diferentes tipos de objetos, contudo, não foram definidos. De maneira simplificada, um objeto impróprio é basicamente um objeto que se encontra no infinito, de forma que todos os raios na região próxima ao espelho são paralelos. Esse tipo de objeto será útil aqui pois podemos obter assim a posição do foco secundário para um certo feixe utilizando a equação do aumento e a equação dos pontos conjugados de Gauss. Note que, se um objeto está a uma distância finita do eixo óptico, mas a uma distância infinita do espelho esférico, os raios paralelos gerado por ele serão paralelos ao eixo óptico, contudo, se considerarmos uma distância infinita até o eixo óptico, tal que haja uma razão bem definida entre essas distâncias, esses raios se inclinarão. Suponha então que queremos representar um feixe de raios que incidem fazendo um ângulo $\alpha$ com o eixo óptico, para fazermos isso, vamos considerar um objeto que dista $d$ do vértice do espelho e localizado a uma altura orientada $-h$ de tal forma que $\dfrac{h}{d}= \tan \alpha$ , sendo assim, se levarmos esse objeto para o infinito, mantendo essa razão constante, teremos um feixe de raios paralelos formando um ângulo $\alpha$ . Podemos então utilizar a equação dos pontos conjugados para notar que a posição do foco secundário será acima do foco principal e utilizar a equação do aumento para identificar a altura desse foco:

$\dfrac{y_{foco}}{-h}=\dfrac{-f}{d} \rightarrow y_{foco}=\dfrac{h}{d}f= f \tan \alpha$