Aula 4.7 - Dioptro esférico e lentes

Escrito por Wanderson Faustino Patricio

Definição

Como visto em aulas passadas, um dipotro é a divisão entres dois meios com índices de refração diferentes. Para o nosso caso, a divisa possui formato esférico. O fenômeno óptico utilizado no dioptro é o da refração da luz.

Dioptro esférico

Considere uma separação esférica entre dois meios com índices de refração $n_1$ e $n_2$ , cujo raio de curvatura é $R$ .

Um ponto luminoso está à uma distância $p$ do vértice do eixo óptico (o qual passa pelo centro de curvatura), e sua imagem está a uma distância $p'$ . Qual é a relação entre essas distâncias?

Inicialmente, da geometria plana, temos que:

$\theta=\beta + \hat{\rho}$ e $\hat i =\alpha + \theta$

Seja $h$ a distância do ponto onde ocorre a refração da luz até o eixo óptico. Da trigonometria:

$\tan{\alpha}=\dfrac{h}{p}$ , $\tan{\theta}=\dfrac{h}{R}$ e $\tan{\beta}=\dfrac{h}{p'}$

Utilizando a lei de Snell no ponto de refração tiramos:

$n_1\sin{\hat i}=n_2\sin{\hat {\rho}}$

Para raios paraxiais, ou seja, com ângulos de pequena abertura, podemos utilizar a aproximação: $\sin{\omega} \approx \tan{\omega} \approx \omega$ . Logo:

$n_1\cdot \hat i=n_2\cdot \hat {\rho}$

$n_1(\theta + \alpha)=n_2(\theta -\beta)$

$n_1(\tan{\theta} + \tan{\alpha})=n_2(\tan{\theta}-\tan{\beta})$

$n_1\left(\dfrac{h}{R}+\dfrac{h}{p}\right)=n_2\left(\dfrac{h}{R}-\dfrac{h}{p'}\right)$

$\rightarrow \dfrac{n_1}{p} +\dfrac{n_2}{p'}=\dfrac{n_2-n_1}{R}$

Perceba que para essa prova utilizamos o referencial do raio de curvatura virado para o objeto, caso a curvatura estivesse para o outro lado, bastava utilizar o raio de curvatura como negativo.

Agora você, jovem padawan, deve estar se perguntando qual a utilidade prática do dioptro esférico.

Os dioptros esféricos são utilizados na construção de lentes, como as utilizadas em óculos e lentes de contato.

Lentes

Chama-se lente esférica a associação de dois dioptros: um necessariamente esférico e o outro plano ou esférico.

As lentes são corpos transparentes, geralmente fabricados em vidro, cristal ou acrílico. Ao serem atravessadas pela luz, fazem com que ela sofra duas refrações.

Considere uma lente formada pela associação de dois dioptros, com raios de curvatura $R_1$ e $R_2$ , um ao lado do outro separados por uma distância $\epsilon$ .

Seja $d$ a posição da imagem do primeiro dioptro caso não houvesse o segundo.

Aplicando a equação encontrada anteriormente no primeiro dioptro temos:

$\dfrac{n_1}{p}+\dfrac{n_2}{d}=\dfrac{n_2-n_1}{R_1}$

A posição do objeto no segundo dioptro é a posição da imagem do primeiro dioptro ( $\epsilon -d$ ).

$\dfrac{n_2}{\epsilon -d}+\dfrac{n_1}{p'}=\dfrac{n_1-n_2}{-R_2}$

Note que como o raio de curvatura está virado para o outro lado, logo, devemos utilizar o raio como $-R_2$ .

Esse equação é "chata" de analisar para uma lente de tamanho qualquer. Analisaremos portanto uma lente delgada (ou "fina"), ou seja, $\epsilon \rightarrow 0$ .

Temos portanto o seguinte sistema:

$\begin{cases} \dfrac{n_1}{p}+\dfrac{n_2}{d}=\dfrac{n_2-n_1}{R_1} \\ \dfrac{n_2}{ -d}+\dfrac{n_1}{p'}=\dfrac{n_1-n_2}{-R_2} \end{cases}$

Logo:

$\dfrac{n_1}{p}+\dfrac{n_1}{p'}=\dfrac{n_2-n_1}{R_1}+\dfrac{n_2-n_1}{R_2}$

$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}=\left(\dfrac{n_2}{n_1}-1\right)\left(\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\right)$

Essa equação pode não parecer muito atrativa, porém, consideremos a seguinte relação:

$\dfrac{1}{f}=\left(\dfrac{n_2}{n_1}-1\right)\left(\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}\right)$

Chegamos a:

$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{p'}=\dfrac{1}{f}$

$f$ é a distância focal da lente.

Essa equação é exatamente a mesma encontrada no espelho esférico, conhecida como equação de Gauss.

Tipos e variedades de lentes

Existem basicamente duas divisões quanto as variedades das lentes: quanto ao formato e quanto ao comportamento dos raios de luz.

$I)$ Quanto ao formato:

-Lentes borda grossa:

•Lente bicôncava:

•Lente plano-côncava:

•Lente convexo-côncava

-Lentes borda fina:

•Lente biconvexa:

•Lente plano-convexa:

•Lente côncava-convexa:

$II)$ Quanto ao comportamento dos raios de luz:

•Lentes convergentes:

Para esse tipo de lentes o foco é real, ou seja, para um conjunto de raios paralelos incidentes sobre a lente, todos eles convergirão ao mesmo ponto.

As lentes convergentes sao representadas por duas setas que apontam para fora do centro ótico.

•Lentes divergentes:

Para esse tipo de lentes o foco é virtual, para um conjunto de raios paralelos incidentes sobre a lente, todos eles divergirão, porém, o prolongamento da trajetória seguida pelos raios convergirão ao mesmo ponto.

As lentes divergentes são representadas por duas setas que apontam para o centro ótico.

Qualquer lente esférica pode ser convergente ou divergente, dependendo de seu índice de refração em relação ao do meio externo. Temos a seguinte relação:

Se a lente é mais refringente que o meio externo:

bordas finas — convergentes;

bordas grossas — divergentes.

Esse é o caso mais comum.

Se a lente é menos refringente que o meio externo:

bordas finas — divergentes;

bordas grossas — convergentes.

Esse é o caso menos comum.

Lentes no cotidiano

Definimos como vergência a capacidade de uma lente de curvar os raios de luz. Quanto maior a vergência de uma lente maior será o ângulo de deflexão da luz.

A definição matemática da vergência é:

$V=\dfrac{1}{f}$

A vergência é medida em dioptria ( $di$ ou $m^{-1}$ ).

Se você usa óculos ou conhece alguém que usa, já deve ter ouvido a pergunta: "qual é o grau do seu óculos?". O que significa um óculos ter tantos graus?

O grau é nada mais nada menos que a vergência do óculos. Portanto, se o óculos de uma pessoa possui 4 graus, sua vergência é $V=4 di=4m^{-1}$ , e seu foco é $0,25m$ .