Aula 5.6 - Associações de Resistores

Escrito por Ualype Uchôa

Na presente aula, iremos lidar com diferentes tipos de associações de resistores, de uma forma muito semelhante à boa e velha associação de molas em mecânica; trabalharemos com a aplicação prática destes em circuitos elétricos. Em laboratórios de física e montagens experimentais, é extremamente comum nos depararmos com os tipos de associações que serão mostrados aqui. Os resultados que serão derivados podem ser usados em exercícios em provas sem necessidade de serem demonstrados.

Associações de Resistores

O resistor no circuito

Antes de mais nada, adianto que começaremos a trabalhar com representações esquemáticas de circuitos elétricos de fato. As representações mais usuais de um resistor são as seguintes:

Figura 1: Representações mais comuns de um resistor.

Aqui, optaremos pela de baixo.

Associação em Série

O primeiro e mais simples tipo de associação de resistores consiste na associação em série. Como evidencia o nome, ela consiste em vários resistores conectados um após o outro, como consta na figura a seguir.

Figura 2: Associação em série de $n$ (na figura, $n=3$) resistores entre os pontos $A$ e $B$.

Acima, os pontos $A$ e $B$ estão conectados a uma fonte de tensão que produz uma certa D.D.P $V_{AB}$ entre eles, e temos $N$ resistores de resistências $R_i$ ($i=1,2,3,...,n-1,n$) conectados em série entre esses pontos (na figura, temos $n=3$ por questões de simplicidade). Nosso principal objetivo será reduzir essa configuração de $N$ componentes em um único resistor de resistência equivalente $R_{eq}$. Sendo $I$ a corrente que atravessa esse ramo, perceba que ela é a mesma para todos os resistores. Logo, pela primeira lei de Ohm:

$V_{AB}=\left(R_1+R_2+...+R_{N-1}+R_N\right)I$.

Como a resistência equivalente produziria o mesmo efeito, temos

$V_{AB}=R_{eq}I$,

e, igualando-se as duas, obtemos

$\boxed{R_{eq}=R_1+R_2+...+R_{N-1}+R_N}$.

De forma mais compacta:

$\boxed{R_{eq}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} R_i}$.

Associação em Paralelo

Temos o mesmo cenário acima, porém agora cada resistor está conectado individualmente aos pontos $A$ e $B$, como na figura a seguir.

Figura 3: Associação em paralelo de $n$ (na figura, $n=3$) resistores entre os pontos $A$ e $B$.

Diferentemente da associação em série, agora não é mais a corrente que é a mesma para todos os resistores, mas sim, a diferença de potencial $V_{AB}$. Chamando de $I_1, I_2, ... , I_n$ as correntes que atravessam os ramos com os resistores $R_1, R_2, ... , R_n$, respectivamente, escrevemos as relações abaixo pela primeira lei de Ohm:

$I_1=\dfrac{V_{AB}}{R_1}$,

$I_2=\dfrac{V_{AB}}{R_2}$,

$I_3=\dfrac{V_{AB}}{R_3}$,

$.$

$.$

$.$

$I_{n-1}=\dfrac{V_{AB}}{R_{n-1}}$,

$I_n=\dfrac{V_{AB}}{R_n}$,

Efetuando a soma de todas as expressões, membro-a-membro, com $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} I_i = I$ sendo a corrente total que atravessa a associação, temos

$V_{AB}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_2}+...+\dfrac{1}{R_{n-1}}+\dfrac{1}{R_n}\right)}I$.

No entanto, essa configuração pode ser substituída por um único resistor de resistência equivalente $R_{eq}$, cuja corrente que o atravessa é $I$, o que nos leva a escrever que

$V_{AB}=R_{eq}I$.

Juntando as duas equações, chegamos, finalmente, em

$\boxed{\dfrac{1}{R_{eq}}=\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_2}+...+\dfrac{1}{R_{n-1}}+\dfrac{1}{R_n}}$.

Ou, de forma mais compacta:

$\boxed{\dfrac{1}{R_{eq}}= \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{R_{i}}}$.

Ponte de Wheatstone equilibrada

Uma montagem recorrente em problemas é a famosa Ponte de Wheatstone. Ela foi uma montagem experimental de circuito elétrico idealizada pelo físico Charles Wheatstone (1802-1975), e consiste em um excelente método para determinar-se o valor de uma resistência desconhecida. Considere um circuito composto por quatro resistências $R_1$, $R_2$, $R_3$ e $R_4$, e outra $r$ entre os nós $C$ e $D$ do circuito, com uma fonte de tensão (estudaremos melhor esse componente na próxima aula) direta que produz uma D.D.P. $V_{AB}=V_A-V_B$ entre os pontos $A$ e $B$.

Figura 4: Esquema de uma Ponte de Wheatstone.

Essa "ponte" se diz equilibrada quando a corrente que atravessa o resistor $r$ é nula; ou seja, o circuito não é afetado ao desconectar-se $r$. Para que isso aconteça, é necessária uma relação específica entre as demais resistências. Veja que, como a corrente no ramo $CD$ é nula, a d.d.p. entre esses pontos também há de ser, pois $V_{CD}=ri$, e $r$ é um número positivo não-nulo. Sendo assim, é fácil ver que $I_2=I_1=I$, bem como $I_4=I_3=I'$ (os respectivos pares de resistências estão num mesmo ramo, já que podemos simplesmente retirar $r$ do nosso circuito). Com isso, a primeira lei de Ohm nos permite escrever as quedas de potencial elétrico através dos resistores:

$V_A-V_C=R_1 I$,

$V_C-V_B=R_2 I$,

$V_A-V_D= R_3 I'$,

$V_D-V_B=R_4 I'$.

Dividindo-se a primeira pela segunda, obtém-se

$\dfrac{V_A-V_C}{V_C-V_B}=\dfrac{R_1}{R_2}$.

E, dividindo-se a terceira pela quarta:

$\dfrac{V_A-V_D}{V_D-V_B}=\dfrac{R_3}{R_4}$.

No entanto, como $V_C=V_D$, ambas as expressões acimas são equivalentes. Logo, concluímos que, para a ponte ser equilibrada, as resistências devem obedecer a seguinte relação:

$\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{R_3}{R_4}$,

$\boxed{R_1 R_4 = R_2 R_3}$.

Em geral, em montagens experimentais desse tipo, uma das resistências acima é desconhecida, e outra possui valor variável que pode ser controlado. Assim, varia-se essa resistência (chamada de potenciômetro) até que atinja-se o equilíbrio da ponte, que é identificado pela medição da corrente no trecho $CD$ com o auxílio de um galvanômetro, um aparelho usado para medir correntes elétricas (que será estudado na próxima aula). Para fins práticos de resoluções de exercícios, toda vez que nos depararmos com uma configuração como a da Figura 6, deve-se verificar se as resistências atendem à relação obtida acima. Caso afirmativo, podemos simplesmente negligenciar a resistência que conecta os pontos do meio e nosso circuito se torna muito mais simples! Para pontes não equilibradas, o método adequado a ser usado será mostrado a seguir.

Transformação $\Delta \rightarrow Y$ e $Y \rightarrow \Delta$

A transformação $\Delta \rightarrow Y$ (lê-se "Delta - Estrela"), muitas vezes, não é comentada em livros e materiais de Ensino Médio. No entanto, essa configuração aparece constantemente em problemas de olimpíada, bem como de Vestibulares como ITA/IME, e saber esse truque pode lhe ajudar fortemente nas resoluções de questões. Ela consiste no seguinte: sejam $A$, $B$ e $C$ três terminais quaisquer em um circuito. Imagine que um resistor $R_1$ esteja conectado entre $A$ e $B$, $R_2$ entre $B$ e $C$ e $R_3$ entre $A$ e $C$, formando uma espécie de figura semelhante a um "$\Delta$", conforme a figura a seguir.

Figura 5: Associação "$\Delta$" de resistores $R_1$, $R_2$ e $R_3$ entre os pontos $A$, $B$ e $C$.

Nosso objetivo é achar uma configuração equivalente à esta, transformando o "$\Delta$" de resistores $R_1$, $R_2$ e $R_3$ em uma estrela $Y$ (acredito, provavelmente assim como você, que o termo "estrela" não parece o mais adequado, mas essa é a nomenclatura mais usual) de resistores $r_1$, $r_2$ e $r_3$ conforme ilustra a imagem abaixo.

Figura 6: Associação "$Y$" de resistores $r_1$, $r_2$ e $r_3$ entre os pontos $A$, $B$ e $C$.

Perceba que, na associação mostrada na figura acima, nomeamos por $r_1$ o resistor que estaria localizado "oposto" ao $R_1$ da configuração $\Delta$, $r_2$ oposto à $R_2$ e o mesmo para $r_3$. A equivalência entre as configurações consiste em obtermos o mesmo resultado para a resistência equivalente entre quaisquer dois nós da figura. Com isso, podemos escrever, por exemplo, a seguinte igualdade de resistência medida entre $A$ e $B$.

$\dfrac{R_1\left(R_2+R_3\right)}{R_1+R_2+R_3}=r_2+r_3$      $(1)$

Do lado esquerdo, temos o resultado da associação de $R_1$ em paralelo com a associação em série de $R_2$ e $R_3$. Do mesmo modo, para $B$ e $C$, e $A$ e $C$, respectivamente, temos

$\dfrac{R_2\left(R_1+R_3\right)}{R_1+R_2+R_3}=r_1+r_3$       $(2)$

$\dfrac{R_3\left(R_1+R_2\right)}{R_1+R_2+R_3}=r_1+r_2$       $(3)$

Chame $R_1+R_2+R_3 \equiv R$, por simplicidade. Somando $(2)$ e $(3)$, membro a membro, temos

$\dfrac{R_2\left(R_1+R_3\right)}{R}+\dfrac{R_3\left(R_1+R_2\right)}{R}=2r_1+r_2+r_3$.    $(4)$

E, substituindo $r_2+r_3$ de $(1)$ em $(4)$ e multiplicando ambos os lados por $R$, chegamos em

$R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_1 R_2 +R_2 R_3 - R_1 R_2 -R_2 R_3=2r_1 R$   $\therefore$

$\therefore$   $r_1=\dfrac{R_2 R_3}{R}$.

Repetindo um procedimento algébrico similar com as equações, obtemos também os valores de $r_2$ e $r_3$. Com isso, as equações da transformação $\Delta \rightarrow Y$ são:

$\boxed{r_1=\dfrac{R_2 R_3}{R_1+R_2+R_3}}$,

$\boxed{r_2=\dfrac{R_1 R_3}{R_1+R_2+R_3}}$,

$\boxed{r_3=\dfrac{R_1 R_2}{R_1+R_2+R_3}}$.

Um bom método para memorização é perceber que, no numerador, sempre fica a multiplicação das resistências com índice diferente daquela que buscamos calcular. Podemos também, a partir de uma configuração do tipo "estrela" transformarmos em um "Delta", realizando o processo inverso; i.e., a partir de $(1)$, $(2)$ e $(3)$, isolamos $R_1$, $R_2$ e $R_3$ em função de $r_1$, $r_2$ e $r_3$. As equações para a transformação $Y \rightarrow \Delta$ serão colocadas abaixo, mas a prova será deixada como exercício (puramente algébrico).

$\boxed{R_1=\dfrac{r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3}{r_1}}$,

$\boxed{R_2=\dfrac{r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3}{r_2}}$,

$\boxed{R_3=\dfrac{r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3}{r_3}}$.

Simetrias

Além das associações mais simples mostradas acima - cujos resultados de resistência equivalente nos ajudam fortemente na resolução de circuitos elétricos - são recorrentes as situações em que nos deparamos com simetrias em circuitos, mais especificamente em associações de resistores. Identificar simetrias em associações é de extrema importância, ajudando fortemente na resolução de uma questão como o cálculo de resistências equivalentes em malhas infinitas. A identificação e uso prático das mais diversas simetrias em circuitos (principalmente no que se refere à associações de resistores, que é o foco dessa aula) são discutidas na Ideia 23. Caso você não entenda exatamente o que é uma simetria e deseje ver suas aplicações em outros ramos da Física, como Mecânica, recomendo fortemente que leia a Ideia 22.