Aula 7.2 - Radiação do corpo negro

Escrito por Wanderson Faustino Patricio

Transferência de calor

Ao estudarmos os primeiros conceitos termodinâmicos, aprendemos que existem três maneiras de se transmitir calor entre dois sistemas: condução, convecção e radiação.

Existem algumas pequenas diferenças entre estes três tipos de transferência:

• Condução: para que dois sistemas troquem calor através da condução, estes devem ter um contato físico entre si. Por exemplo, esquentar uma panela no fogão.
• Convecção: para que dois sistemas troquem calor através da convecção, não necessariamente eles estarão em contato, mas é necessário que exista entre eles um meio material (majoritariamente fluídos), através do qual o calor fluirá. Por exemplo, o fluxo de ar entre a terra e o ar no céu.
• Radiação: para que dois sistemas troquem calor através da radiação, eles não precisam estar em contato, e não necessariamente um meio material precisa estar entre eles, a energia é transmitida entre os sistemas através de fótons (quantum de luz) ou ondas eletromagnéticas. Por exemplo, sentir o calor fluindo do fogo em uma fogueira, mesmo estando a uma distância relativamente grande desta

Radiação térmica

A transmissão de energia através da radiação térmica, como o próprio nome já diz, está intimamente ligada à temperatura. É muito comum no nosso cotidiano vermos exemplo de radiação térmica, como, por exemplo, ao aquecermos uma faca na boca de um fogão, mesmo não tocando a faca, conseguimos sentir o calor fluindo dela (não tente fazer isso em casa). Mesmo não tendo estudado radiação, naturalmente temos a noção de que, quanto maior a temperatura da faca, mais forte sentimos o fluxo de calor.

Ademais, outra propriedade interessante da radiação térmica, é como a cor que vemos no corpo varia dependendo da quantidade de calor que está sendo emitida por ele. Imagine uma placa de metal (cuja cor natural é algo em torno do cinza) que emite tonalidades de cor amarelo-avermelhado.

Figura 01: Placa de metal aquecida

Não é preciso chegar perto desta placa, ou mesmo tocá-la para saber que a temperatura dela está bastante elevada, temos naturalmente a intuição de que metais com essa cor estão emitindo muita energia.

Como a energia é transmitida através de fótons, quanto maior a temperatura, maior será a energia que cada fóton carregará consigo, consequentemente aumentando a frequência deste, e, portanto, alterando a cor vista pelos observadores.

Como sabemos, o ser humano só consegue enxergar luz em um certo intervalo de frequências, ou comprimentos de onda ($c=\lambda\cdot f$), o chamado espectro visível. O olho humano só consegue enxergar luzes entre o violeta ($\lambda\approx 400\,nm$ ou $f\approx 7,5\cdot 10^{14}\,Hz$) e o vermelho ($\lambda\approx 700\,nm$ ou $f\approx 4,3\cdot 10^{14}\,Hz$). Para valores de frequência acima do violeta (ultravioleta), ou abaixo do vermelho (infravermelho), não é possível ao olho humano identificar luz.

Tendo em mente o espectro visível, e sabendo que quanto maior a temperatura de um corpo, maior a frequência da luz emitida por ele, é de se esperar que ao esquentar muito um corpo, em algum mometno ele começará a emitir luz fora do espectro visível, ou seja, a placa se tornaria invisível para nós. Todavia, os experimentos realizados, não mostraram isso, mesmo aquecendo o corpo a temperaturas altíssimas, ele ainda continua emitindo luz no espectro visível. Este resultado intrigou bastante os cientistas no século XIX e início do século XX.

Com a chegada das descobertas feitas pelas primeiras descobertas da física moderna, no início do século passado, foi considerada a hipótese de um comportamento quântico para a radiação, entre estas a térmica.

Primeiras análises sobre radiação e radiação do corpo negro

Quando a radiação cai em um corpo opaco, parte dela é refletida e o resto é absorvida. Corpos claros refletem a maior parte da radiação visível incidente sobre eles, enquanto os corpos escuros absorvem a maior parte dela.

A radiação absorvida pelo corpo aumenta a energia cinética dos átomos constituintes, que oscilam em torno de suas posições de equilíbrio. Como a energia cinética translacional média dos átomos determina a temperatura do corpo, a energia absorvida faz com que a temperatura aumente. No entanto, os átomos contêm cargas (os elétrons) e eles são acelerados pelas oscilações. Consequentemente, conforme exigido pela teoria eletromagnética, os átomos emitem radiação eletromagnética, que reduz a energia cinética das oscilações e tende a reduzir a temperatura.

Quando a taxa de absorção é igual à taxa de emissão, a temperatura do corpo se mantém constante e dizemos que o corpo está em equilíbrio térmico com seus arredores. Um bom absorvedor de radiação é, portanto, também um bom emissor.

Tendo em mente a relação entre absorção e emissão, suponhamos que exista um corpo capaz de absorver toda a radiação incidente sobre ele. Esta corpo é definido na física moderna como um CORPO NEGRO, um corpo que não reflete nenhum tipo da radiação incidente sobre este. Este corpo é meramente teórico, visto que na realidade, não existe um corpo capaz de absorver toda a energia incidente, todavia, muitos corpos têm um comportamento bastante próximo ao comportamento ideal. Definimos desta forma, uma razão que chamamos de emissividade:

$\varepsilon=\dfrac{I_{abs}}{I_{tot}}$

Quanto mais perto do comportamento do corpo negro, mais perto o coeficiente estará de $1$, e quanto menos o corpo conseguir absorver energia, mais próximo nosso coeficiente estará de $0$.

Houve, todavia, um sitema, que foi utilizado pelos físicos do século XX, que possui um comportamento quase idêntico ao ideal. Esse sistema é formado por uma caixa, cujas paredes internas estão pintadas de preto, e as paredes externas possuem um material isolante. Nessa caixa há um pequeno orifício, de maneira que toda a energia que entre ou saia dessa caixa deverá passar pela cavidade. O comportamento desse sistema é muito próximo do ideal.

Vale ressaltar que para o comportamento de um corpo se aproximar do de um corpo negro não necessariamente a cor deste precisa ser preta. O nome corpo negro foi utilizado devido ao comportamento dos materiais escuros da vida real estar muito próximo do ideal, por exemplo, você já deve ter ouvido a expressão: "roupas pretas esquentam mais". Isso se deve devido ao comportamento das cores escuras, que conseguem absorver quase toda a energia incidente sobre ele.

Ademais, uma obseração bastante interessante feita durante os experimentos relacionados à radiação térmica, foi que independente do tamanho, material ou formato do corpo, matendo-se a temperatura uniformemente distribuída nos corpos, os mesmos produzem um padrão de intensidade quase idêntico. Desta forma, chegou-se a conclusão de que a raadiação térmica não depende do tipo do corpo, mas só de sua temperatura, ou seja:

$I_{total}=f(T)$

Pico de emissão

Quando analisamos o caso da placa de metal à alta temperatura, é normal pensar que a luz emitida terá apenas um comprimento de onda, o que implicaria o metal ficar invisível à altas temperaturas. Porém, se pensarmos que a energia está sendo emitida em vários comprimentos de onda, e que para algum comprimento de onda ocorrerá um pico de intensidade, temos uma resposta para o porquê percebermos uma cor predominante, que se mantém aproximadamente constante mesmo em variações de temperatura relativamente altas.

Análise experimental

Assim como em todos os casos do pensamento científico, o próximo passo seria a análise experimental da radiação, afim de verificar se a hipótese proposta está correta.

Com a ajuda de sensores, foi medida a fração da intensidade que é liberada por um corpo em um certo intervalo de frequências ($\nu$ e $\nu+d\nu$).

Suponhamos que a fração de intensidade detectada nesse intervalo, seja:

$f=\dfrac{dI}{I_{total}}$

Definimos a função $B(\nu)$ como a intensidade emitidade em um intervalo de frequências, ou seja:

$B(\nu)=\dfrac{dI}{d\nu}$

Podemos também definir a função $R(\lambda)$, definida com:

$R(\lambda)=\dfrac{dI}{d\lambda}$

A partir dos experimentos, foi possível plotar o seguinte gráfico de $R(\lambda)$ em função de $\lambda$:

Figura 02: Gráfico $R(\lambda)$ x $\lambda$ para diferentes temperaturas

Podemos tirar alguma conclusões olhando para o nosso gráfico experimental:

1. Quanto maior a temperatura, maior a intensidade resultante, visto que os picos de intensidade estarão cada vez mais altos, e ao somarmos tudo, teremos um resultante maior.
2. Os comprimentos de onda para os quais as intensidades serão máximas (comumente chamados de picos de intensidade) diminuem quanto maiores são as temperaturas. Esse resultado foi visto pelo físico alemão Franz Wien.
3. Para temperaturas entre 3000K e 6000K (apresentadas no gráfico) o pico de intensidade está dentro do espectro visível. Essa descoberta explica o porquê da placa de metal não ficar invisível conforme aumentamos sua temperatura. Porém, mesmo que o corpo deixasse de ter um pico de intensidade no visível, ainda o veríamos, pois sua temperatura estaria tão alta, que mesmo o pico não estando no vísivel, a intensidade nos arredores ainda seria muito alta, e conseguiríamos enxergar alguma luz.

Análise matemática dos resultados

Primeiramente, um resultado que vem diretamente da fórmula, é que ao integrarmos a nossa função em todo o espectro, teremos a intensidade total:

$\boxed{\displaystyle \int_0^{\infty} R(\lambda) d\lambda=I_{tot}}$

Alguns cientistas tentaram propor fórmulas para o nosso $R(\lambda)$. Mesmo essas fórmulas não atendendo todas as condições de nosso gráfico, elas serviram como base para a fórmula final.

I) Lei de Rayleigh-Jeans

Os físicos John William Strutt (Barão de Rayleigh) e James Hopwood Jeans conseguiram chegar no mesmo resultado para uma fórmula empírica que atendia bem algumas partes do gráfico, mas que extrapolava em outras regiões.

Eles propuseram a seguinte fórmula:

$R(\lambda)=\dfrac{2\pi kcT}{\lambda^4}$

Onde $k$ é a constante de Boltzman, $c$ é a velocidade da luz no vácuo, e $T$ é a temperatura do corpo.

Essa fórmula se mostrou bastante precisa durante muito tempo, visto que as temperaturas de análise eram pequenas, e o comprimento de onda para o qual a intensidade é máxima é muito grande, e a intensidade total será pequena. Porém, ao analisarmos temperaturas maiores essa função deixa de ser precisa.

Vejamos graficamente como fica essa diferença:

Figura 03: Catástrofe do ultravioleta

Perceba como o gráfico teórico prosposto pelos dois físicos para a temperatura de 5000K distoa muito do gráfico experimental. Entretanto, para a região do comprimento de onda longo, ela aproxima-se do gráfico experimental.

Essa diferença entre os gráficos teórico e experimental ficou conhecida como catástrofe do ultravioleta, visto que ao aproximarmos a nossa função na região do comprimento de onda curto do espectro eletromagnético, a nossa função afasta-se muito da realidade.

Outro motivo pelo qual podemos perceber que esta fórmula não se adequa a realidade é pela intensidade total:

$I_{tot}=\displaystyle \int_0^{\infty} R(\lambda) d\lambda=\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{2\pi kcT}{\lambda^4} d\lambda=\infty$

Pela lei de Rayleigh-Jeans, todas as temperaturas deveriam emitir uma intensidade total infinita, o que é totalmente contrário à realidade.

II) Wien 

Franz Wien propôs que, para que a nossa função não colapse para o comprimento de onda curto, ela deveria estar associada a uma exponencial:

$R(\lambda)=\dfrac{c_1}{\lambda^5}\cdot e^{-\frac{c_2}{\lambda}}$

Essa função é uma boa aproximação para o comprimento de onda curto, mas extrapola para valores intermediários de $\lambda$.

Lei de Planck

Após vários anos de estudo, a respeito desse assunto, o físico alemão Max Karl Ernst Ludwig Planck chegou à uma função que se adequou perfeitamente aos gráficos experimentais, todavia, o próprio Max Planck não achava que a sua equação estava correta, pois, para chegar à esta, ele necessitou assumir uma condição um pouco controversa.

Para que o resultado desse certo, ele teve que assumir que a energia emitida não poderia assumir qualquer valor, mas que deveriam ser múltiplos inteiros de uma quantidade fundamental.

Para uma frequência $\nu$, a energia só pode ser emitida em múltiplos inteiros da quantidade:

$E_o=h\nu$

Hoje em dia a constante $h$ é conhecida como constante de Planck, em homenagem a esse cientista.

Esse resultado também foi detectado por Albert Einstein anos mais tarde.

Com esse resultado em mente, Planck propôs a sua fórmula:

$\boxed{R(\lambda)=\dfrac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\cdot \dfrac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}}$

Essa função encontrada por Planck atende todas as regiões do gráfico experimental.

1. Comprimento de onda curto:

Tomemos o "limite" de $\lambda$ muito pequeno.

$e^{\frac{hc}{\lambda kT}}>>1$

$\rightarrow R(\lambda) \approx \dfrac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\cdot e^{-\frac{hc}{\lambda kT}}$

Atende a fórmula proposta por Wien para o comprimento de onda curto.

2. Comprimento de onda longo:

Tomemos o "limite" de $\lambda$ muito grande.

$e^{\frac{hc}{\lambda kT}}\approx 1+\dfrac{hc}{\lambda kT}$

$\rightarrow R(\lambda)\approx \dfrac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\cdot \dfrac{1}{1+\dfrac{hc}{\lambda kT}-1}=\dfrac{2\pi kcT}{\lambda^4}$

Atende a fórmula proposta por Rayleigh e Jeans para o comprimento de onda longo.

3. O pico de intensidade máxima:

$\exists \lambda_o \in (0, \infty)$ tal que:

$R'(\lambda_o)=0$

Provaremos esse resultado posteriormente.

4. Intensidade total emitida:

Calcularemos a intensidade total proveniente da Lei de Planck:

$I_{tot}=\displaystyle \int_0^{\infty} R(\lambda) d\lambda=\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\cdot \dfrac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1} d\lambda$

Seja $x=\dfrac{hc}{\lambda kT}$:

i)

$\lambda=\frac{hc}{x kT}$

$\lambda=0$ implica $x\rightarrow \infty$ e $\lambda\rightarrow \infty$ implica $x=0$

ii)

$d\lambda=-\dfrac{hc}{x^2kT}dx$

Voltando à nossa integral:

$I_{tot}=\displaystyle \int_{\infty}^0 \dfrac{2\pi hc^2}{\left(\frac{hc}{x kT}\right)^5}\cdot \dfrac{1}{e^x-1}\cdot \left(-\dfrac{hc}{x^2kT}dx\right)$

$I_{tot}=\dfrac{2\pi k^4 T^4}{h^3c^2} \displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{x^3}{e^x-1}dx$

Existem várias maneiras de calcular a integral que apareceu na nossa intensidade, e esta integral aparece algumas vezes nos cálculos da física. Não está presente em nosso curso a necessidade de demonstrar como se resolve essa integral, porém, é interessante mostrar como é a solução geral desse tipo de integral.

$I_m=\displaystyle \int_0^{\infty}\dfrac{x^m}{e^x-1}dx$

$I_m=m!\cdot \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k^{m+1}}$

Para o nosso caso:

$I_3=\displaystyle \int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=3!\cdot \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{k^{4}}$

$\displaystyle \int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=6\cdot \dfrac{\pi^4}{90}$

$\displaystyle \int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{\pi^4}{15}$

Voltando para a Lei de Planck:

$I_{tot}=\dfrac{2\pi k^4 T^4}{h^3c^2}\cdot \dfrac{\pi^4}{15}$

$\boxed{I_{tot}=\dfrac{2\pi^5k^4}{15h^3c^2}\cdot T^4}$

Essa equação é mostrada nos livros na forma:

$\boxed{I_{tot}=\sigma T^4}$

Onde $\sigma=\dfrac{2\pi^5k^4}{15h^3c^2}=5,67\cdot 10^{-8}\, \dfrac{W}{m^2K^4}$ é conhecida como constante de Stefan-Boltzmann.

Esse resultado é um dos principais dos estudos da radiação térmica. Analisando a equação percebemos que quanto maior a temperatura, maior a intensidade emitida. Esse aumento é cada vez mais acentuado quanto maior a temperatura.

Esse é o resultado para o corpo negro. Ao considerarmos um corpo não ideal basta adicionarmos a emissividade:

$\boxed{I=\varepsilon \sigma T^4}$

Lei de deslocamento de Wien

Como dito anteriormente, Wien verificou que quanto maior a temperatura do corpo, menor será o comprimento de onda para o qual ocorrerá o pico de intensidade.

Para o pico de intensidade máxima, a função $R(\lambda)$ também será máxima.

$\dfrac{dR(\lambda)}{d\lambda}=0$

$\dfrac{dR(\lambda)}{d\lambda}=\dfrac{2\pi hc^2}{\lambda^6}\cdot \dfrac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\cdot \left(\dfrac{\dfrac{hc}{\lambda kT}\cdot e^{\frac{hc}{\lambda kT}}}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}-5\right)=0$

Seja $x=\dfrac{hc}{\lambda kT}$:

$\dfrac{xe^x}{e^x-1}-5=0$

$x=4,96511423...$

$\dfrac{hc}{\lambda kT}=x$

$\lambda T=\dfrac{kx}{hc}\approx 2,8978\cdot 10^{-3}\,m\cdot K=cte$

Chegamos portanto à lei de deslocamento de Wien.

Se $\lambda_{max}$ é o comprimento de onda para o qual ocorre um pico de intesidade à uma temperatura $T$, temos que:

$\boxed{\lambda_{max}\cdot T=cte}$

Quando olhamos para os gráficos da intensidade para diferentes temperaturas é possível perceber como o comprimento de pico vai se deslocando.

Figura 04: Deslocamento dos comprimentos de onda

Nota de rodapé

No século XVIII, alguns físicos foram tão audaciosos e orgulhosos, ao ponto de dizer que toda a física já havia se desenvolvido, e que havia apenas algumas nuvenzinhas no céu azul da física.

Dessas nuvenzinhas sugiram todos os estudos da física quântica e os estudos relacionados à radiação do corpo negro, duas áreas que se desenvolvem mais e mais a cada dia, e que revelam mais e mais indícios de novas áreas surgindo.

Nunca se deixe tomar pela falsa sensação de que não há o que melhorar. Tenha sempre em mente a vontade de pesquisar mais e mais, e desenvolver os seus estudos a cada dia. Quem sabe algum dia você também não descobre uma área inexplorada da física?