Física - Ideia 01

Escrita por Victor Ivo:

Uma ideia muito forte do eletromagnetismo é que um sistema que seja capaz de comportar carga e conduzir corrente pode ter sua capacitância encontrada a partir de sua resistência, e sua resistência a partir de sua capacitância, se a resistividade e permissividade do meio forem conhecidas. Seja a resistência do sistema $R$, capacitância $C$, resistividade $\rho$ e permissividade elétrica $\varepsilon$:

$RC=\rho \varepsilon$

Prova:

Considere que um sistema com cargas remanejadas está configurado de tal forma que você pode dividir ele em regiões de cargas com diferente polaridade. Tome a região, digamos $S_{1}$, pela lei de Gauss, o fluxo elétrico passando por uma superfície fechada que delimita essa região é:

$\phi=\int \vec{E} \cdot d\vec{A}=\frac{Q}{\varepsilon_{o}}$

Onde $Q$ é a carga dentro da superfície e $\varepsilon_{o}$ é a permissividade elétrica do vácuo. Ademais, você pode dividir qualquer cargas de um sistema em duas partes, uma chamada carga polarizada, que é gerada apenas por uma redistribuição local de cargas que se mantém por interações de dipolo, e outra que é a carga livre, que, diferente da carga polarizada, pode fluir ao longo do sistema e não está presa por nenhuma interação específica. Vamos demonstrar a relação para dois tipos de sistema, um estará em permissividade igual à do vácuo, pois isso facilita as contas e inclui estudantes que não sabem eletromagnetismo na matéria a capacidade de entender a demonstração, e o outro numa genérica (mas homogênea). Se você sabe eletromagnetismo na matéria, leia a demonstração para vácuo e depois tente generalizar a lei por conta própria, caso não consiga, veja a solução logo abaixo. Vale lembrar que nesses dois meios vale a lei de Ohm, isto é, dada uma condutividade do meio $\sigma$:

$\vec{J}=\sigma \vec{E}$

Em que $\vec{J}$ é a densidade de corrente do sistema (corrente por área), que tem direção igual à direção de fluxo da corrente, valendo que a corrente $I$ que atravessa uma superfície é:

$I=\int \vec{J} \cdot d\vec{A}$

Onde a integral é feita sobre a área toda.

Permissividade do vácuo:

Um meio com permissividade igual à do vácuo não tem carga polarizada, e devido a isso a carga é igual à carga livre e a corrente, que é o movimento da carga livre, é só o movimento de carga.  Pode-se dizer então, que a corrente fluindo de uma superfície que delimita o sistema é, sendo uma corrente positiva uma que leva carga para fora da superfície:

$I=-\frac{dQ}{dt}=\int \vec{J} \cdot d\vec{A}$

Onde $Q$ é a carga interna à superfície. Pela lei de Ohm vale:

$\vec{J}=\sigma \vec{E}$

Como a superfície que você está selecionado é uma que delimita a região, sendo fechada, a lei de Gauss vale:

$-\frac{dQ}{dt}=\int \sigma \vec{E} \cdot d\vec{A}=\sigma \frac{Q}{\varepsilon_{o}}$

Daí, usando a definição de condutividade e resistividade $\sigma \rho=1$ e:

$\frac{dQ}{Q}=-\frac{dt}{\rho \varepsilon_{o}}$

Integrando dos dois lados de um tempo $t=0$ até $t$ e de $Q_{o}$ até um $Q$:

$ln\frac{Q}{Q_{o}}=-\frac{t}{\rho \varepsilon_{o}}$

Daí:

$Q(t)=Q_{o} e^{-\frac{t}{\rho \varepsilon_{o}}}$

A carga da região deve cair exponencialmente com o tempo!! Isso lembra você de algum sistema? Se você estudou circuitos elétricos, e capacitores, você provavelmente ouviu falar do circuito $RC$. No circuito $RC$ você tem a seguinte configuração:

Figura 01: Circuito com capacitor e resistor, com carga do capacitor caindo exponencialmente.

O capacitor começa a descarregar no resistor, porque a lei de Kirchoff deve ser válida, isto é, uma volta inteira no loop deve levar ao mesmo potencial, então:

$RI+\frac{Q}{C}=0$

Sendo neste caso $I=\frac{dQ}{dt}$ (sempre verifique a relação da corrente com a taxa de variação de carga do seu sistema para acertar o sinal que multiplica a derivada da carga). Daí, você consegue a equação diferencial:

$\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{RC}=0$

E:

$\frac{dQ}{Q}=-\frac{dt}{RC}$

Aplicando a mesma integral do exemplo passado, você obterá:

$Q(t)=Q_{o} e^{-\frac{t}{RC}}$

Que também é um decaimento exponencial. A semelhança das duas equações não é mera coincidência, divida o seu sistema em duas regiões quaisquer, que podem ser compostas cada uma de uma soma de regiões desconexas, uma com carga $Q$ e outra com carga $-Q$, tal que toda carga que sai de uma região vai pra outra e existe uma diferença de potencial $V$ entre elas. Essa definição é a mesma que define um resistor e um capacitor em série. Num resistor, toda carga que sai de uma região vai pra outra, tal que existe uma diferença de potencial $V$ entre elas, e num capacitor uma diferença de carga de duas regiões gera uma tensão $V$ entre elas. Você pode fazer um circuito com esse sistema, imaginando que há um ganho de potencial $V$ indo da região $Q$ para $-Q$, que é compensada por uma queda de potencial pela corrente, que vale $V$ em módulo. Perfeito, nosso sistema é um circuito que atende todas restrições de um circuito $RC$ em série, e a carga calculada pela lei de Kirchoff e pela lei de Ohm e Gauss devem ser as mesmas. Isso é verdade, se e somente se, os tempos de decaimento forem iguais, logo:

$\tau=RC=\rho \varepsilon_{o}$

Como queríamos demonstrar.

Permissividade genérica (mas homogênea):

Se define o deslocamento elétrico de um sistema como sendo:

$\vec{D}=\varepsilon_{o} \vec{E}+\vec{P}$

Onde $P$ é o momento de dipolo por unidade de volume da região analisada. Ademais, num sistema com polarização linear, i.e, $\vec{D}$ é proporcional a $\vec{E}$, vale a seguinte relação:

$\vec{D}=\varepsilon \vec{E}$

A lei de Gauss para materiais polarizados diz que:

$\int \vec{D} \cdot d\vec{A} = Q_{l}$

Onde a integral é uma superfície fechada, da mesma maneira que na lei de Gauss, e $Q_{l}$ é a carga livre interna a essa superfície. Usando a relação de polarização linear:

$\int \vec{E} \cdot d\vec{A}=\frac{Q_{l}}{\varepsilon}$

Usando a lei de Ohm:

$\int \vec{E} \cdot d\vec{A}=\rho \int \vec{J} \cdot d\vec{A}=-\rho \frac{dQ_{l}}{dt}=\frac{Q_{l}}{\varepsilon}$

Onde a corrente agora foi escrita na sua forma mais geral, como uma derivada da carga livre no tempo. Disso, vale que:

$\frac{dQ}{Q}=-\frac{dt}{\rho \varepsilon}$

E analogamente:

$Q(t)=Q_{o} e^{-\frac{t}{\rho \varepsilon}}$

Desta maneira, usando o mesmo raciocínio da demonstração com permissividade do vácuo, vale que:

$\tau=RC=\rho \varepsilon$

Como queríamos demonstrar.

Exemplos:

1-Planos:

Considere duas placas muito grandes de área $A$ separadas por uma distância $l$, com o meio que as separada tendo permissividade igual à do vácuo. Vale, pela lei de Ohm, que a resistência entre as duas placas é:

$R=\frac{\rho l}{A}$

Daí, a capacitância do sistema é:

$C=\frac{\rho \varepsilon_{o}}{R}=\frac{\varepsilon_{o} A}{l}$

2-Resistor Cilíndrico:

Considere um fio condutor muito longo de raio $a$ e tamanho $L$, cercado por uma casca externa condutora de raio $b$. Considerando a casca aterrada, deve valer que seu potencial é nulo. Conseguir a resistência desse sistema, i.e, entre a casca externa e o fio, pode ser não tão simples, devido à dificuldade de visualizar a corrente, mas achar a capacitância é bem simples. Considere o meio que separa os condutores com permissividade igual à do vácuo.

Figura 02: Resistor cilíndrico

O campo elétrico dentro do fio é zero, pois ele é um condutor, e fora dele é radial, por simetria, e tal que vale a lei de Gauss, numa região entre o fio e a casca externa:

$\int \vec{E} \cdot d\vec{A}=E*2\pi r L=\frac{Q}{\varepsilon_{o}}=\frac{\lambda L}{\varepsilon_{o}}$

$E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{o} r}$

Depois da casca o campo é zero, pois ela, sendo condutora, blinda o campo. Daí, a diferença de potencial entre os dois condutores é:

$\Delta V=-\int \vec{E} \cdot d\vec{l}=-\int_{a}^{b} \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{o} r} dr=V(b)-V(a)=-V$

$V=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{o}} ln\frac{b}{a}$

Pela definição de $\lambda$ a capacitância do sistema é:

$C=\frac{Q}{V}=\frac{\lambda L}{V}=\frac{2 \pi \varepsilon_{o} L}{ln \frac{b}{a}}$

E vale, portanto:

$R=\frac{\rho \varepsilon_{o}}{C}=\frac{\rho}{2\pi L} ln\frac{b}{a}$

Questões Relacionadas:

P1- Calcule a capacitância equivalente de dois capacitores $C_{1}$ e $C_{2}$ em série, e a capacitância equivalente deles quando estão em paralelo.

P2(200 More Puzzling Physics Problems)- Um chocolate em formato de papai noel, coberto em papel alumínio, é pendurado num teto por uma corda isolante elétrica. O papai noel começa a perder carga lentamente para o ar, devido a sua condutividade pequena, mas não nula, $\sigma$. Assumindo que a condutividade do ar é a mesma em todo o espaço, descubra quanto tempo a carga do papai noel vai levar para cair pela metade.

Figura 03: Papai noel descarregando

P3(Introduction to Electrodynamics-Griffiths)- Duas esferas concêntricas de metal, de raios $a$ e $b$ respectivamente, são separadas por um meio de condutividade $\sigma$, como mostra a figura 4.a.

Figura 04: a) Esferas concêntricas com região divisora preenchida por um material de condutividade $\sigma$ b) Experimento de medição da condutividade da água

a) Se a diferença de potencial entre eles é $V$, qual corrente que flui de um para outro?

b) Qual a resistência entre as cascas?

c) Note que se $b>>a$ o raio externo é irrelevante. Como você quantifica isso? Use essa observação para achar a corrente fluindo entre duas esferas de metal de raio $a$, mergulhadas muito fundo no mar e separadas de uma distância muito grande, se a diferença de potencial entre elas é $V$. (Você pode usar essa montagem para medir a condutividade da água)

P4(Introduction to Electrodynamics-Griffiths)- Dois objetos metálicos estão cercados por um meio de condutividade $\sigma$.

Figura 05: Corpos metálicos cercados por meio de condutividade $\sigma$

a) Mostre que a resistência entre eles se relaciona com a capacitância da seguinte forma:

$R=\frac{\varepsilon_{o}}{\sigma C}$

b) Suponha que você conecta uma bateria entre os corpos, tal que eles ganham uma diferença de potencial $V_{o}$. Se você desconectar a bateria, a carga dos corpos vai gradualmente vazar, tal que a diferença de potencial entre eles varia no tempo da forma $V(t)=V_{o} e^{-\frac{t}{\tau}}$. Mostre que a diferença de potencial respeita a dependência da equação anterior e encontre a constante de tempo $\tau$ em função de $\sigma$ e $\varepsilon_{o}$.