Ideia escrita por Ícaro Bacelar:
Um fato noticiável e que por vezes pode nos ser útil é que:
Prova:
Sabendo das regras de derivação:
Que nos leva a:
E que a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
Além disso, usando a notação:
Que corresponde a variação de no tempo (a velocidade caso seja um comprimento).
Temos:
Ou seja:
Ex.1:
Imagine o seguinte plot: temos uma barra de comprimento , imutável, a qual se move com velocidade no instante dado. Sua extremidade se move no eixo horizontal com velocidade . Mostre que é constante, sabendo que a projeção da barra mede no eixo vertical e no eixo horizontal.
Sol. Sabemos que:
Logo:
Ex.2:
Agora temos a seguinte situação: a um carretel, com linha ao redor de si, é conferida uma velocidade vertical para cima. A ponta de sua linha é dada uma velocidade , sendo a componente horizontal desta correspondente a . Qual a velocidade do carretel?
Sol. Usando a ideia apresentada:
E sabemos que:
; e
Acarretando:
Ex.3:
Imagem 3
Um disco tem uma velocidade, em seu centro de massa, para frente. Além disso tem uma corda inextensível presa a parte superior deste, e ela também se encontra fixa uma uma parede, formando um ângulo com a mesma. Uma barra se move para frente com , na base do disco, e o disco rotaciona sobre este sem deslizar. Qual a velocidade do centro de massa?
Sol. Tendo que o disco não desliza, sabemos que:
(I)-
Onde , a velocidade angular do disco e o raio do disco. E pela ideia apresentada:
Sendo o eixo horizontal e o vertical. E sabemos que:
; e
Relações que nos levam a:
(II)-
Usando (I) em (II), obtemos por fim:
Problemas:
P1
Determine, em respeito a figura acima, sabendo que a malha é quadriculada, em função de .
P2 Na figura a seguir, a barra tem comprimento e faz um ângulo com a horizontal.
Sabendo que o ponto A se move para frente com velocidade horizontal , determine a velocidade vertical de B.
P3 Uma barra tem uma de suas extremidades pivotada no chão e a outra sobe com velocidade vertical . Sabendo que a barra faz um ângulo , encontre a velocidade horizontal do ponto móvel neste instante.
Ps.: Problemas semelhantes ao 2 e 3 estão na ideia 8 (escrita por Paulo Kitayama), de centro instantâneo de rotação. Confira outro linha de resolução 😉