Física – Ideia 03

Ideia escrita por Ícaro Bacelar:

Um fato noticiável e que por vezes pode nos ser útil é que:

 $L^2=X^2+Y^2 \rightarrow L\dot{L}=X\dot{X}+Y\dot{Y}$

Prova:

Sabendo das regras de derivação:

$\frac{d(ZK)}{dW}=Z\frac{dK}{dW}+K\frac{dZ}{dW}$

Que nos leva a:

$\frac{dZ^2}{dW}=2Z\frac{dZ}{dW}$

E que a derivada de uma soma é a soma das derivadas:

$\frac{d(Z+K)}{dW}=\frac{dZ}{dW}+\frac{dK}{dW}$

Além disso, usando a notação:

$\frac{dZ}{dt}=\dot{Z}$

Que corresponde a variação de $Z$ no tempo (a velocidade caso $Z$ seja um comprimento).

Temos:

$\frac{d(L^2)}{dt}=\frac{d(X^2+Y^2)}{dt}$ $\rightarrow 2L\dot{L}=2X\dot{X}+2Y\dot{Y}$

Ou seja:

$L\dot{L}=X\dot{X}+Y\dot{Y}$

Ex.1:

 Imagine o seguinte plot: temos uma barra de comprimento $L$, imutável, a qual se move com velocidade $V_L$ no instante dado. Sua extremidade $B$ se move no eixo horizontal com velocidade $V_B$. Mostre que $\frac{bV_{X}+aV_{Y}}{V_{L}}$ é constante, sabendo que a projeção da barra mede $a$ no eixo vertical e $b$ no eixo horizontal.

Sol. Sabemos que:

$LV_{L}=aV_{Y}+bV_{X}$

Logo:

$\frac{bV_{X}+aV_{Y}}{V_{L}}=L\rightarrow CTE$

Ex.2:

Agora temos a seguinte situação: a um carretel, com linha ao redor de si, é conferida uma velocidade vertical para cima. A ponta de sua linha é dada uma velocidade $V_L$, sendo a componente horizontal desta correspondente a $V_x$. Qual a velocidade do carretel?

Sol. Usando a ideia apresentada:

$aV_{A}=LV_{L}-bV_{B}$

E sabemos que:

$L=V_{L}t$; $b=V_{B}t$ e $a=V_{A}t$

Acarretando:

$t(V_{A})^2=t(V_{L})^2-t(V_{B})^2 \rightarrow V_{A}=\sqrt{(V_{L})^2-(V_{B})^2}$

Ex.3:

Imagem 3

Um disco tem uma velocidade, em seu centro de massa, para frente. Além disso tem uma corda inextensível presa a parte superior deste, e ela também se encontra fixa uma uma parede, formando um ângulo $\alpha$ com a mesma. Uma barra se move para frente com $v$, na base do disco, e o disco rotaciona sobre este sem deslizar. Qual a velocidade do centro de massa?

Sol. Tendo que o disco não desliza, sabemos que:

(I)- $V_{cm}+wr=V$

Onde $V_{cm}$, $w$ a velocidade angular do disco e $r$ o raio do disco. E pela ideia apresentada:

$L\dot{L}=X\dot{X}+Y\dot{Y}$

Sendo $X$ o eixo horizontal e $Y$ o vertical. E sabemos que:

$\dot{Y}=0$; $\frac{X}{L}=\sin{\alpha}$ e $\dot{L}=wr$

Relações que nos levam a:

(II)- $\dot{L}=\dot{x}=V_{cm}$

Usando (I) em (II), obtemos por fim:

$V_{cm}=\frac{V}{1+\sin{\alpha}}$

Problemas:

P1

Determine, em respeito a figura acima, sabendo que a malha é quadriculada, $V_{B}$ em função de $V_{A}$.

P2 Na figura a seguir, a barra tem comprimento $L$ e faz um ângulo $\theta$ com a horizontal.

Sabendo que o ponto A se move para frente com velocidade horizontal $V$, determine a velocidade vertical de B.

P3 Uma barra tem uma de suas extremidades pivotada no chão e a outra sobe com velocidade vertical $V$. Sabendo que a barra faz um ângulo $\theta$, encontre a velocidade horizontal do ponto móvel neste instante.

Ps.: Problemas semelhantes ao 2 e 3 estão na ideia 8 (escrita por Paulo Kitayama), de centro instantâneo de rotação. Confira outro linha de resolução 😉