Física - Ideia 03

Ideia escrita por Ícaro Bacelar:

Um fato noticiável e que por vezes pode nos ser útil é que:

 L^2=X^2+Y^2 \rightarrow L\dot{L}=X\dot{X}+Y\dot{Y}

Prova:

Sabendo das regras de derivação:

\frac{d(ZK)}{dW}=Z\frac{dK}{dW}+K\frac{dZ}{dW}

Que nos leva a:

\frac{dZ^2}{dW}=2Z\frac{dZ}{dW}

E que a derivada de uma soma é a soma das derivadas:

\frac{d(Z+K)}{dW}=\frac{dZ}{dW}+\frac{dK}{dW}

Além disso, usando a notação:

\frac{dZ}{dt}=\dot{Z}

Que corresponde a variação de Z no tempo (a velocidade caso Z seja um comprimento).

Temos:

\frac{d(L^2)}{dt}=\frac{d(X^2+Y^2)}{dt} \rightarrow 2L\dot{L}=2X\dot{X}+2Y\dot{Y}

Ou seja:

L\dot{L}=X\dot{X}+Y\dot{Y}

Ex.1:

 Imagine o seguinte plot: temos uma barra de comprimento L, imutável, a qual se move com velocidade V_L no instante dado. Sua extremidade B se move no eixo horizontal com velocidade V_B. Mostre que \frac{bV_{X}+aV_{Y}}{V_{L}} é constante, sabendo que a projeção da barra mede a no eixo vertical e b no eixo horizontal.

Sol. Sabemos que:

LV_{L}=aV_{Y}+bV_{X}

Logo:

\frac{bV_{X}+aV_{Y}}{V_{L}}=L\rightarrow CTE

Ex.2:

Agora temos a seguinte situação: a um carretel, com linha ao redor de si, é conferida uma velocidade vertical para cima. A ponta de sua linha é dada uma velocidade V_L, sendo a componente horizontal desta correspondente a V_x. Qual a velocidade do carretel?

Sol. Usando a ideia apresentada:

aV_{A}=LV_{L}-bV_{B}

E sabemos que:

L=V_{L}t; b=V_{B}t e a=V_{A}t

Acarretando:

t(V_{A})^2=t(V_{L})^2-t(V_{B})^2 \rightarrow V_{A}=\sqrt{(V_{L})^2-(V_{B})^2}

Ex.3:

Cilindro

Imagem 3

Um disco tem uma velocidade, em seu centro de massa, para frente. Além disso tem uma corda inextensível presa a parte superior deste, e ela também se encontra fixa uma uma parede, formando um ângulo \alpha com a mesma. Uma barra se move para frente com v, na base do disco, e o disco rotaciona sobre este sem deslizar. Qual a velocidade do centro de massa?

Sol. Tendo que o disco não desliza, sabemos que:

(I)- V_{cm}+wr=V

Onde V_{cm}, w a velocidade angular do disco e r o raio do disco. E pela ideia apresentada:

L\dot{L}=X\dot{X}+Y\dot{Y}

Sendo X o eixo horizontal e Y o vertical. E sabemos que:

\dot{Y}=0; \frac{X}{L}=\sin{\alpha} e \dot{L}=wr

Relações que nos levam a:

(II)- \dot{L}=\dot{x}=V_{cm}

Usando (I) em (II), obtemos por fim:

V_{cm}=\frac{V}{1+\sin{\alpha}}

Problemas:

P1

Determine, em respeito a figura acima, sabendo que a malha é quadriculada, V_{B} em função de V_{A}.

P2 Na figura a seguir, a barra tem comprimento L e faz um ângulo \theta com a horizontal.

Sabendo que o ponto A se move para frente com velocidade horizontal V, determine a velocidade vertical de B.

P3 Uma barra tem uma de suas extremidades pivotada no chão e a outra sobe com velocidade vertical V. Sabendo que a barra faz um ângulo \theta, encontre a velocidade horizontal do ponto móvel neste instante.

Ps.: Problemas semelhantes ao 2 e 3 estão na ideia 8 (escrita por Paulo Kitayama), de centro instantâneo de rotação. Confira outro linha de resolução 😉