Ideia escrita por Ícaro Bacelar:
Um fato noticiável e que por vezes pode nos ser útil é que:
$$L^2=X^2+Y^2 \rightarrow L\dot{L}=X\dot{X}+Y\dot{Y}$$
Prova:
Sabendo das regras de derivação:
$$\frac{d(ZK)}{dW}=Z\frac{dK}{dW}+K\frac{dZ}{dW}$$
Que nos leva a:
$$\frac{dZ^2}{dW}=2Z\frac{dZ}{dW}$$
E que a derivada de uma soma é a soma das derivadas:
$$\frac{d(Z+K)}{dW}=\frac{dZ}{dW}+\frac{dK}{dW}$$
Além disso, usando a notação:
$$\frac{dZ}{dt}=\dot{Z}$$
Que corresponde a variação de $$Z$$ no tempo (a velocidade caso $$Z$$ seja um comprimento).
Temos:
$$\frac{d(L^2)}{dt}=\frac{d(X^2+Y^2)}{dt}$$ $$\rightarrow 2L\dot{L}=2X\dot{X}+2Y\dot{Y}$$
Ou seja:
$$L\dot{L}=X\dot{X}+Y\dot{Y}$$
Ex.1:
Imagine o seguinte plot: temos uma barra de comprimento $$L$$, imutável, a qual se move com velocidade $$V_L$$ no instante dado. Sua extremidade $$B$$ se move no eixo horizontal com velocidade $$V_B$$. Mostre que $$\frac{bV_{X}+aV_{Y}}{V_{L}}$$ é constante, sabendo que a projeção da barra mede $$a$$ no eixo vertical e $$b$$ no eixo horizontal.
Sol. Sabemos que:
$$LV_{L}=aV_{Y}+bV_{X}$$
Logo:
$$\frac{bV_{X}+aV_{Y}}{V_{L}}=L\rightarrow CTE$$
Ex.2:
Agora temos a seguinte situação: a um carretel, com linha ao redor de si, é conferida uma velocidade vertical para cima. A ponta de sua linha é dada uma velocidade $$V_L$$, sendo a componente horizontal desta correspondente a $$V_x$$. Qual a velocidade do carretel?
Sol. Usando a ideia apresentada:
$$aV_{A}=LV_{L}-bV_{B}$$
E sabemos que:
$$L=V_{L}t$$; $$b=V_{B}t$$ e $$a=V_{A}t$$
Acarretando:
$$t(V_{A})^2=t(V_{L})^2-t(V_{B})^2 \rightarrow V_{A}=\sqrt{(V_{L})^2-(V_{B})^2}$$
Ex.3:
Imagem 3
Um disco tem uma velocidade, em seu centro de massa, para frente. Além disso tem uma corda inextensível presa a parte superior deste, e ela também se encontra fixa uma uma parede, formando um ângulo $$\alpha$$ com a mesma. Uma barra se move para frente com $$v$$, na base do disco, e o disco rotaciona sobre este sem deslizar. Qual a velocidade do centro de massa?
Sol. Tendo que o disco não desliza, sabemos que:
(I)- $$V_{cm}+wr=V$$
Onde $$V_{cm}$$, $$w$$ a velocidade angular do disco e $$r$$ o raio do disco. E pela ideia apresentada:
$$L\dot{L}=X\dot{X}+Y\dot{Y}$$
Sendo $$X$$ o eixo horizontal e $$Y$$ o vertical. E sabemos que:
$$\dot{Y}=0$$; $$\frac{X}{L}=\sin{\alpha}$$ e $$\dot{L}=wr$$
Relações que nos levam a:
(II)- $$\dot{L}=\dot{x}=V_{cm}$$
Usando (I) em (II), obtemos por fim:
$$V_{cm}=\frac{V}{1+\sin{\alpha}}$$
Problemas:
P1
Determine, em respeito a figura acima, sabendo que a malha é quadriculada, $$V_{B}$$ em função de $$V_{A}$$.
P2 Na figura a seguir, a barra tem comprimento $$L$$ e faz um ângulo $$\theta$$ com a horizontal.
Sabendo que o ponto A se move para frente com velocidade horizontal $$V$$, determine a velocidade vertical de B.
P3 Uma barra tem uma de suas extremidades pivotada no chão e a outra sobe com velocidade vertical $$V$$. Sabendo que a barra faz um ângulo $$\theta$$, encontre a velocidade horizontal do ponto móvel neste instante.
Ps.: Problemas semelhantes ao 2 e 3 estão na ideia 8 (escrita por Paulo Kitayama), de centro instantâneo de rotação. Confira outro linha de resolução 😉