Física - Ideia 04

Ideia escrita por Ícaro Bacelar

Um dos artifícios mais úteis na física, tanto para obtenção quanto verificação de fórmulas, é a análise dimensional.

Grandezas têm dimensões. Distâncias, por exemplo, têm dimensão de comprimento, podendo ser apresentadas em várias unidades, tais como metros, centímetros, milímetros e etc.

Quando temos igualdade de duas grandezas, estas têm de possuir mesma dimensão. Caso você calculasse a área de um terreno e a resposta desse em unidade de tempo (segundos, minutos, horas...) ao invés de em unidades de comprimento quadrado (metros quadrados, centímetros quadrados, hectares...) estaria, evidentemente, errado.

Além disso, constantes por muitas vezes também têm unidades. O $K$ (constante elástica) de uma mola, tem unidade de $\frac{N}{m} \rightarrow Nm^-1$

Quanto a escala usada para as unidades (dimensões) da grandeza, normalmente se adota a do S.I (sistema internacional de medidas), porém por vezes é mais prático se usar algo maior ou menor. Afinal, não é muito prático se medir o diâmetro de um fio de cabelo ou a distância entre dois planetas em metros, pois obteríamos números com muitas casas.

_{Imagem 01 - Unidades adotadas pelo S.I}

Um modo simples de se observar a utilidade deste mecanismo é se encontrando uma equação sabendo suas unidades de grandeza. Por exemplo, digamos que certa pessoa estivesse na dúvida de como poderia escrever o trabalho realizado por algo (que é razoável de se colocar como Força x Distância), mas se lembrasse de que trabalho é a variação da energia mecânica, ela poderia simplesmente ver que energia é dada em Joules, ou seja, $[kg][m]^2[s^]{-2}$ (no S.I), que equivale a $[N][m]$, e assim ela confirmaria que se pode escrever trabalho como força vezes a distancia.

Para um melhor entendimento, vamos a uma seção de exemplos, seguidos de suas soluções. Ps.: tente resolve-los, não vá direto às soluções ;).

(Nos exemplos seguintes adotarei o S.I para não haverem complicações com entendimento da unidade)

Ex.1: Força é comumente dada em Newtons. Qual a dimensão de Newtons?

Sol. Sendo $F=Ma$ (valido somente em certos casos, porém a dimensão permanece a mesma).

$N \rightarrow Ma \rightarrow \frac{Md}{t^2} \rightarrow [kg][m][s]^{-2}$ (no S.I).

Ex.2: Qual a dimensão da constante de gravitação $G$?

Sol.: Sabemos que a força de atração gravitacional se da por:

$F=\frac{MmG}{d^2} \rightarrow G=\frac{Fd^2}{Mm}$

Como força se da em Newtons, coloquemos as massas em $kg$, as distâncias em metros e o tempo em segundos (isso afeta somente a escala), temos:

$G \rightarrow [m^3][kg^-2][s^-2]$

Em outras palavras,$G$ tem unidades de distância ao cubo por massa ao quadrado por tempo ao quadrado.

Ex.3: Deduza o período de oscilação de um pêndulo simples, sabendo que você pode com certeza obtê-lo (dimensionalmente) com a gravidade $g$, comprimento do fio $L$ e a massa do peso em sua ponta $M$.

Sol. Temos que Período$\rightarrow T=[s]$.

Sabemos que $g=[m][s]^{-2}$, $L=[m]$ e $M=[kg]$.

Escrevamos assim:

$s=[s]^1[m]^0[kg]^0$

E temos:

$T=[g]^a[L]^b[M]^c \rightarrow [s]^1[m]^0[kg]^0=([m][s]^{-2})^a[m]^b[kg]^c$

Obtendo assim:

$[kg]^c=[kg]^0 \rightarrow c=0$;

$[m]^{(a+b)}=[M]^0 \rightarrow a=-b$;

$[s^{-2}]^a=[s]^1 \rightarrow a=-\frac{1}{2}$.

Por fim obtemos:

$T=g^{\frac{-1}{2}}L^{\frac{1}{2}} \rightarrow T=\sqrt{\frac{L}{g}}$

Talvez você tenha percebido que a resposta acima está ERRADA, sendo o CORRETO $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$. De fato a dimensão bate, mas a resposta pela análise não está completamente coerente pois tal ferramenta somente lhe fornece a grandeza, e portal não podíamos escrever uma igualdade, somente:

$T\sim \sqrt{\frac{L}{g}}$

Ex.4: Confira quais das expressões dadas são dimensionalmente coerentes (unidades no S.I, $V\rightarrow$velocidade, $N\rightarrow$newtons, $J\rightarrow$ joule e $C\rightarrow$calor específico):

(I) - $V=V_{0}e^{\frac{s}{kg}}$

(II) - $\ln{(\frac{V}{V_{0}})}=-[m][kg]^2[N]^{-2}[V][s]^{-3}$

(III) - $[J]=[m]^{0}[kg][V]^2+C[K][N][m]^{-1}[s]^2$

Sol.

(I) - O expoente precisa ser adimensional. Não faz sentido físico uma grandeza elevada a uma grandeza. Logo está errada, pois $\frac{s}{kg}$ possui dimensão.

(II) - Todo $\ln$ deve ser adimensional pois seu resultado é um expoente. Logo, para que seja verdadeira a expressão, devemos ter:

$[m][kg]^2[N]^{-2}[V][s]^{-3}=[m]^0[s]^0[kg]^0$

Sabemos que:

$[N]=[m][kg][s]^{-2}\rightarrow [N]^{-2}=[m]^{-2}[kg]^{-2}[s]^{-4}$

$[V]=[m][s]^{-1}$

E assim:

$\ln{(\frac{V}{V_{0}})}=[m][m]^{-2}[kg]^{-2}[s]^{-4}[m][s]^{-1}[s]^3=[m]^0[s]^0[kg]^0$

Sendo a expressão verdadeira.

(III) - Sabemos que, sendo $M$ a massa do corpo e $T$ a temperatura:

$\frac{J}{CM}=T$

Logo:

$[C]=[J][kg]{-1}[T]^{-1}$

E já vimos que:

$[N][m]^{-1}[s]^2=[kg]$

Temos:

$J=[kg][V]^2+C[kg][K]$

E

$[kg][V]^2=[kg][m]^2[s]^{-2}=[J]$

Sendo a expressão verdadeira.

Problemas:

1) Um satélite de massa $m$ orbita a terra (órbita circular), pouco acima da superfície terrestre. O que você pode afirmar sobre sua velocidade?

2) Uma mola de constante elástica $k$ tem uma massa $m$ presa a si, sendo a outra extremidade presa a uma parede. A força da mola é da forma $F_{x}=kX$, onde $X$ é a deformação da mesma. Indique de alguma forma o período da oscilação.

3) Como a velocidade de propagação de ondes em um fluido depende da densidade do líquido $\rho$ e de seu "módulo de bulk" (módulo volumétrico), que tem unidades de pressão?

4) Temos em um plot um tuno de massa $M$ pivotado, livre para girar. Inicialmente o tubo está na horizontal e uma massa $m$, que não atrita com o tubo está dentro deste, posicionada próxima a extremidade pivotada. No sistema atua uma gravidade $g$. O tubo então é solto. A fração do tubo percorrida pela massa no momento que este estiver na vertical depende o comprimento $L$ do tubo?

5) Uma mola e um pendulo oscilam harmonicamente aqui na Terra, cada um com período $T$. Ambos são levados para a Lua, cuja gravidade é $\frac{1}{6}$ a da Terra. O que acontece com cada sistema?