Física - Ideia 20

Escrito por Paulo Henrique

Apesar dessa ideia apresentar somente conteúdos cobrados a partir da OBF Nível $2$ é importante notar que o nível dessa ideia é realmente avançado, sendo improvável de ser cobrado na prova da OBF, entretanto, possível principalmente nas provas da seletiva.

Introdução

Considere um sistema com uma parâmetro característico $\lambda$. Suponha que esse mesmo parâmetro seja variado lentamente ("adiabaticamente") via agentes externos. Agora, seja $I$ uma determinada grandeza mecânica. Por hipótese, é necessário um tempo $T$ para que $\lambda$ mude apreciavelmente. Dizemos que $I$ é um invariante adiabático se $T\gg{\tau}$ onde $\tau$ é o intervalo de tempo característico do sistema, ou seja, um intervalo da ordem de grandeza dos que lidamos quando analisamos o sistema. Por exemplo, considere um pêndulo simples de comprimento $l$ e que $\lambda=l$, em outras palavras, $l$ é variado adiabaticamente (pode-se fazer isso puxando o fio lentamente através de um buraco no ponto de suporte). Neste caso, $T$ deve ser muito maior que $t=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, o período do pêndulo. Nessa condição, é dito que o pêndulo está sofrendo uma transformação adiabática.

Oscilador Harmônico

Neste exemplo, será mostrado que a quantia $\frac{E}{f}$ de um ocilador harmônico de frequência dependente do tempo é invariante adiabático. Começemos pela a energia desse ocilador

$E=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{m{\omega}^2x^2}{2}$          $(1)$

Observe que este poderia ser o caso do pêndulo simples com ${\omega}^2=g/l$ e $l$ variando adiabaticamente.

Tomando a derivada com relação ao tempo, temos

$\dfrac{dE}{dt}=mva+m{\omega}^2xv+m{\omega}x^2\dfrac{d\omega}{dt}$          $(2)$

Onde $a$ é a aceleração. Como é de costume em problemas desse tipo, há termos que variam rapidamente e outros lentamente. Os rápidos executam um grande número de oscilações, de modo que podemos substituí-los pelos seus valores médios num período de oscilação. Estes são os dois primeiros termos do lado direito de $(2)$. Agora, perceba que a média do produto $va$ em um período é

$(va)_{m}=0$         $(3)$

Assim como é nulo o valor médio $xv$. Pode-se concluir isso tendo em vista a simetria do ocilador harmônico. Mas, de qualquer forma, você é encorajado a calcular esse valores na mão: use a solução do oscilador harmônico $A\cos \left(\omega t+\phi \right)$ e proceda usualmente para calcular a média. Obs: no cálculo dessas médias $\omega$ é tido como constante, devido a hipótese que o processo é adiabático. A solução do oscilador harmômico também permanece inalterada, visto que tudo será calculado dentro de um período. Dessa forma, ficamos com

$$dE/E=d{\omega}/{\omega}$$

Integrando, conclui-se que (usando $\omega=2{\pi}f$) $E/f=contante$, ou seja, é invariante adiabático.

 

Espaço de fase

Nessa secção iremos enunciar um importante teorema do invariante adiabático, infelizmente, sua demonstração é complicada e não é o foco dessa aula.

Considere que uma partícula possui um movimento oscilatório. Conforme dito antes, suponha que $\tau\ll{T}$. Nessa transformação adiabática, $I$, o invariante adiabático é conservado. O último é dado pela área sob o gráfico de $p_x$ por $x$ ($p_x$ é o momento correspondente a coordenada $x$). O gráfico $p_x$ por $x$ é chamado de espaço de fase. Ou seja, dado um movimento, possivelmente oscilatório, traçamos o gráfico $p_x(t)$ por $x(t)$ em um período completo: a área sob a curva é conservada durante todo o movimento. Evidentemente, essa área não é perfeitamente conservada. Mas a precisão  aumenta conforme a razão $\tau/T$ diminui. Esse resultado é muito importante em toda física. Ele é utilizado desde Termodinâmica até Mecânica Quântica. 

Esfera, parede e bloco

Uma pequena esfera de massa $m=1g$ se move em uma superfície horizontal, indo pra frente e pra trás colidindo com uma parede e uma bloco. A massa do bloco é $M=100kg$, a velocidade inicial da esfera é $v_0=10m/s$. Qual a velocidade da esfera no momento em que a distância do bloco a parede dobrou comparado ao valor inicial?

 Como a massa do bloco é muito maior que a da esfera, a velocidade adquirida pelo bloco após uma colisão é baixa. Ou seja, a sua distância até a parede varia lentamente (adiabaticamente). Logo, devemos conservar o invariante adiabático (área do espaço de fase) entre os dois momentos (inicial e final). Para a partícula, o espaço de fase é um retângulo de lados $L$ e $2mv$, onde $L$ é a distância do bloco a parede e $v$ é a velocidade da esfera. Portanto, o invariante adiabático é

$$I=2mvL$$

A massa da partícula é constante, portanto, como a distância dobrou, a velocidade deve ser reduzida à metade, afim de manter $I$ constante. 

$$v_F=5m/s$$

Pêndulo com amigos

Duas massas, A e B, que possuem massa $m$ estão ligadas por uma corda e duas polias sem massa. Inicialmente, o comprimento de cada fio é $l$, então, a massa A recebe um pequeno impulso e balança com amplitude $\epsilon\ll{l}$. Depois de muito tempo mesmo, uma das massas atinge a polia. Qual massa atingiu a polia? 

 

Primeiramente, identifiquemos qual parâmetro varia adiabaticamente: o comprimento $l$ do fio. Sendo assim, a massa da esquerda é um pêndulo simples com comprimento que varia lentamente. Como o movimento é oscilatório, devemos trabalhar com valores médio sempre que possível. Dessa forma, tratando o conjunto da esquerda como um pêndulo simples, determinemos o valor médio da componente vertical da tração. Defina $\theta$ como sendo o ângulo que o fio faz com a vertical. Por força centrípeta

$$T-mg\cos{\theta}=\dfrac{mv^2}{l}$$

Por conservação de energia (seja ${\theta}_0$ a amplitude angular inicial)

$$v^2=2gl(\cos{\theta}-\cos{{\theta}_0})$$

Sendo assim

$$T(\theta)=mg(3\cos{\theta}-2\cos{{\theta}_0})$$

A componente em $y$ é obtida multiplicando a equação acima por $\cos{\theta}$. Observe que durante o movimento da massa, o ângulo $\theta$ é sempre menor ou igual a ${\theta}_0$. Logo

$$\cos{\theta}\ge{\cos{{\theta}}_0}$$

Sendo assim

$$T(\theta)\le{mg\cos{{\theta}_0}}$$

Como $\cos{{\theta}_0}\le{1}$

$$T(\theta)\le{mg}$$

E

$$T_{med}<mg$$

O valor médio da componente da vertical também será menor que $mg$. Portanto, a massa da esquerda tende a descer após vários períodos. Dessa forma, a massa que atinge a polia é a da direita. 

Pêndulo, de novo

A corda de um pêndulo simples passa através de um pequeno buraco no teto. A corda é puxada muito lentamente para cima. A amplitude linear do pêndulo muda? Se muda, como?

Sabemos que o comprimento do fio varia lentamente, portanto, as grandezas características do sistema (comprimento do fio, amplitude, etc) praticamente não mudam durante uma oscilação completa. Sendo assim, a segunda lei de Newton é escrita normalmente e a solução é dada por (para o ângulo com a vertical). Seja $\epsilon=A/l$, onde $\epsilon$ é amplitude angular, $A$ a amplitude linear e $l$ o comprimento instantâneo do fio.

$${\theta}(t)={\epsilon}\sin{{\omega}t}$$

e

$$v(t)={\epsilon}l{\omega}\cos{{\omega}t}$$

Que são as solução usuais do oscilador harmônico (pequenas oscilações). $\omega$ é, evidentemente, a frequência angular $\sqrt{g/l}$. Novamente, buscamos o valor médio da tração. Por força centrípeta

$$T=mg\cos{\theta}+\dfrac{mv^2}{l}\approx{mg(1-\dfrac{{\theta}^2}{2})+\dfrac{mv^2}{l}}$$

Na equação acima, foi feita a aproximação para pequenos ângulos. Usando a solução para ${\theta}(t)$ podemos expressar $T$ em função do tempo. O resultado é

$$T(t)=mg+mg{\epsilon}^2((\cos{{\omega}t})^2-(\sin{{\omega}t})^2/2)$$

Usando os valores médios das função trigonométricas ao quadrado (1/2). Temos

$$T_{med}=mg(1+{\epsilon}^2/4)$$

Por outro lado, a energia total do pêndulo é (com o zero de energia potencial no teto)

$$E=-mgl+\dfrac{m{v_{max}}^2}{2}=-mgl+m{\epsilon}^2{l}^2{\omega}^2/2$$

Usando o valor de $\omega$

$$E=mgl(-1+{\epsilon}^2)$$

Quando o comprimento do fio muda por $\Delta{l}$ e amplitude angular por $\Delta{\epsilon}$, a energia muda por

$$\Delta{E}=mg\Delta{l}(-1+{\epsilon}^2/2)+mgl{\epsilon}\Delta{\epsilon}$$

Podemos aplicar o teorema da energia cinética e escrever que

$$T_{med}\Delta{l}=-\Delta{E}$$

Com $\Delta{l}<0$. Fazendo a operação da equação acima chegamos em

$\dfrac{\Delta{\epsilon}}{\epsilon}=-\dfrac{3\Delta{l}}{4l}>0$  $(*)$

Como a amplitude linear é $A=l{\epsilon}$

$$\dfrac{\Delta{A}}{A}=\dfrac{\Delta{\epsilon}}{{\epsilon}}+\dfrac{\Delta{l}}{l}=\dfrac{1}{4}\dfrac{\Delta{l}}{l}<0$$

Logo, a amplitude diminui. Se multiplicarmos $(*)$ por $l^3{\epsilon}^4$, teremos

$$4l^3{\epsilon}^3\Delta{{\epsilon}}+3l^2{\epsilon}^4\Delta{l}=0$$

Isso pode ser escrito como sendo

$$\Delta({l^3{\epsilon}^4})=0$$

Ou seja, a quantia $l^3{\epsilon}^4$ é um invariante adiabático. Você pode mostrar que esse resultado é análogo ao que foi obtido no primeiro exemplo.

Problemas

1- Para o exemplo "Pêndulo com amigos" determine a velocidade da massa que atinge a polia imediatamente antes da colisão.

2- Desenhe o espaço de fase para um M.H.S. unidimensional

3- Mostre que $\dfrac{E}{f}$ é constante ao longo de um movimento harmônico a partir da área do espaço de fase.