Escrito por Paulo Henrique
Apesar dessa ideia apresentar somente conteúdos cobrados a partir da OBF Nível $$2$$ é importante notar que o nível dessa ideia é realmente avançado, sendo improvável de ser cobrado na prova da OBF, entretanto, possível principalmente nas provas da seletiva.
Introdução
Considere um sistema com uma parâmetro característico $$\lambda$$. Suponha que esse mesmo parâmetro seja variado lentamente (“adiabaticamente”) via agentes externos. Agora, seja $$I$$ uma determinada grandeza mecânica. Por hipótese, é necessário um tempo $$T$$ para que $$\lambda$$ mude apreciavelmente. Dizemos que $$I$$ é um invariante adiabático se $$T\gg{\tau}$$ onde $$\tau$$ é o intervalo de tempo característico do sistema, ou seja, um intervalo da ordem de grandeza dos que lidamos quando analisamos o sistema. Por exemplo, considere um pêndulo simples de comprimento $$l$$ e que $$\lambda=l$$, em outras palavras, $$l$$ é variado adiabaticamente (pode-se fazer isso puxando o fio lentamente através de um buraco no ponto de suporte). Neste caso, $$T$$ deve ser muito maior que $$t=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$, o período do pêndulo. Nessa condição, é dito que o pêndulo está sofrendo uma transformação adiabática.
Oscilador Harmônico
Neste exemplo, será mostrado que a quantia $$\frac{E}{f}$$ de um ocilador harmônico de frequência dependente do tempo é invariante adiabático. Começemos pela a energia desse ocilador
$$E=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{m{\omega}^2x^2}{2}$$ $$(1)$$
Observe que este poderia ser o caso do pêndulo simples com $${\omega}^2=g/l$$ e $$l$$ variando adiabaticamente.
Tomando a derivada com relação ao tempo, temos
$$\dfrac{dE}{dt}=mva+m{\omega}^2xv+m{\omega}x^2\dfrac{d\omega}{dt}$$ $$(2)$$
Onde $$a$$ é a aceleração. Como é de costume em problemas desse tipo, há termos que variam rapidamente e outros lentamente. Os rápidos executam um grande número de oscilações, de modo que podemos substituí-los pelos seus valores médios num período de oscilação. Estes são os dois primeiros termos do lado direito de $$(2)$$. Agora, perceba que a média do produto $$va$$ em um período é
$$(va)_{m}=0$$ $$(3)$$
Assim como é nulo o valor médio $$xv$$. Pode-se concluir isso tendo em vista a simetria do ocilador harmônico. Mas, de qualquer forma, você é encorajado a calcular esse valores na mão: use a solução do oscilador harmônico $$A\cos \left(\omega t+\phi \right)$$ e proceda usualmente para calcular a média. Obs: no cálculo dessas médias $$\omega$$ é tido como constante, devido a hipótese que o processo é adiabático. A solução do oscilador harmômico também permanece inalterada, visto que tudo será calculado dentro de um período. Dessa forma, ficamos com
\[dE/E=d{\omega}/{\omega}\]
Integrando, conclui-se que (usando $$\omega=2{\pi}f$$) $$E/f=contante$$, ou seja, é invariante adiabático.
Espaço de fase
Nessa secção iremos enunciar um importante teorema do invariante adiabático, infelizmente, sua demonstração é complicada e não é o foco dessa aula.
Considere que uma partícula possui um movimento oscilatório. Conforme dito antes, suponha que $$\tau\ll{T}$$. Nessa transformação adiabática, $$I$$, o invariante adiabático é conservado. O último é dado pela área sob o gráfico de $$p_x$$ por $$x$$ ($$p_x$$ é o momento correspondente a coordenada $$x$$). O gráfico $$p_x$$ por $$x$$ é chamado de espaço de fase. Ou seja, dado um movimento, possivelmente oscilatório, traçamos o gráfico $$p_x(t)$$ por $$x(t)$$ em um período completo: a área sob a curva é conservada durante todo o movimento. Evidentemente, essa área não é perfeitamente conservada. Mas a precisão aumenta conforme a razão $$\tau/T$$ diminui. Esse resultado é muito importante em toda física. Ele é utilizado desde Termodinâmica até Mecânica Quântica.
Esfera, parede e bloco
Uma pequena esfera de massa $$m=1g$$ se move em uma superfície horizontal, indo pra frente e pra trás colidindo com uma parede e uma bloco. A massa do bloco é $$M=100kg$$, a velocidade inicial da esfera é $$v_0=10m/s$$. Qual a velocidade da esfera no momento em que a distância do bloco a parede dobrou comparado ao valor inicial?
Como a massa do bloco é muito maior que a da esfera, a velocidade adquirida pelo bloco após uma colisão é baixa. Ou seja, a sua distância até a parede varia lentamente (adiabaticamente). Logo, devemos conservar o invariante adiabático (área do espaço de fase) entre os dois momentos (inicial e final). Para a partícula, o espaço de fase é um retângulo de lados $$L$$ e $$2mv$$, onde $$L$$ é a distância do bloco a parede e $$v$$ é a velocidade da esfera. Portanto, o invariante adiabático é
\[I=2mvL\]
A massa da partícula é constante, portanto, como a distância dobrou, a velocidade deve ser reduzida à metade, afim de manter $$I$$ constante.
\[v_F=5m/s\]
Pêndulo com amigos
Duas massas, A e B, que possuem massa $$m$$ estão ligadas por uma corda e duas polias sem massa. Inicialmente, o comprimento de cada fio é $$l$$, então, a massa A recebe um pequeno impulso e balança com amplitude $$\epsilon\ll{l}$$. Depois de muito tempo mesmo, uma das massas atinge a polia. Qual massa atingiu a polia?
Primeiramente, identifiquemos qual parâmetro varia adiabaticamente: o comprimento $$l$$ do fio. Sendo assim, a massa da esquerda é um pêndulo simples com comprimento que varia lentamente. Como o movimento é oscilatório, devemos trabalhar com valores médio sempre que possível. Dessa forma, tratando o conjunto da esquerda como um pêndulo simples, determinemos o valor médio da componente vertical da tração. Defina $$\theta$$ como sendo o ângulo que o fio faz com a vertical. Por força centrípeta
\[T-mg\cos{\theta}=\dfrac{mv^2}{l}\]
Por conservação de energia (seja $${\theta}_0$$ a amplitude angular inicial)
\[v^2=2gl(\cos{\theta}-\cos{{\theta}_0})\]
Sendo assim
\[T(\theta)=mg(3\cos{\theta}-2\cos{{\theta}_0})\]
A componente em $$y$$ é obtida multiplicando a equação acima por $$\cos{\theta}$$. Observe que durante o movimento da massa, o ângulo $$\theta$$ é sempre menor ou igual a $${\theta}_0$$. Logo
\[\cos{\theta}\ge{\cos{{\theta}}_0}\]
Sendo assim
\[T(\theta)\le{mg\cos{{\theta}_0}}\]
Como $$\cos{{\theta}_0}\le{1}$$
\[T(\theta)\le{mg}\]
E
\[T_{med}<mg\]
O valor médio da componente da vertical também será menor que $$mg$$. Portanto, a massa da esquerda tende a descer após vários períodos. Dessa forma, a massa que atinge a polia é a da direita.
Pêndulo, de novo
A corda de um pêndulo simples passa através de um pequeno buraco no teto. A corda é puxada muito lentamente para cima. A amplitude linear do pêndulo muda? Se muda, como?
Sabemos que o comprimento do fio varia lentamente, portanto, as grandezas características do sistema (comprimento do fio, amplitude, etc) praticamente não mudam durante uma oscilação completa. Sendo assim, a segunda lei de Newton é escrita normalmente e a solução é dada por (para o ângulo com a vertical). Seja $$\epsilon=A/l$$, onde $$\epsilon$$ é amplitude angular, $$A$$ a amplitude linear e $$l$$ o comprimento instantâneo do fio.
\[{\theta}(t)={\epsilon}\sin{{\omega}t}\]
e
\[v(t)={\epsilon}l{\omega}\cos{{\omega}t}\]
Que são as solução usuais do oscilador harmônico (pequenas oscilações). $$\omega$$ é, evidentemente, a frequência angular $$\sqrt{g/l}$$. Novamente, buscamos o valor médio da tração. Por força centrípeta
\[T=mg\cos{\theta}+\dfrac{mv^2}{l}\approx{mg(1-\dfrac{{\theta}^2}{2})+\dfrac{mv^2}{l}}\]
Na equação acima, foi feita a aproximação para pequenos ângulos. Usando a solução para $${\theta}(t)$$ podemos expressar $$T$$ em função do tempo. O resultado é
\[T(t)=mg+mg{\epsilon}^2((\cos{{\omega}t})^2-(\sin{{\omega}t})^2/2)\]
Usando os valores médios das função trigonométricas ao quadrado (1/2). Temos
\[T_{med}=mg(1+{\epsilon}^2/4)\]
Por outro lado, a energia total do pêndulo é (com o zero de energia potencial no teto)
\[E=-mgl+\dfrac{m{v_{max}}^2}{2}=-mgl+m{\epsilon}^2{l}^2{\omega}^2/2\]
Usando o valor de $$\omega$$
\[E=mgl(-1+{\epsilon}^2)\]
Quando o comprimento do fio muda por $$\Delta{l}$$ e amplitude angular por $$\Delta{\epsilon}$$, a energia muda por
\[\Delta{E}=mg\Delta{l}(-1+{\epsilon}^2/2)+mgl{\epsilon}\Delta{\epsilon}\]
Podemos aplicar o teorema da energia cinética e escrever que
\[T_{med}\Delta{l}=-\Delta{E}\]
Com $$\Delta{l}<0$$. Fazendo a operação da equação acima chegamos em
$$\dfrac{\Delta{\epsilon}}{\epsilon}=-\dfrac{3\Delta{l}}{4l}>0$$ $$(*)$$
Como a amplitude linear é $$A=l{\epsilon}$$
\[\dfrac{\Delta{A}}{A}=\dfrac{\Delta{\epsilon}}{{\epsilon}}+\dfrac{\Delta{l}}{l}=\dfrac{1}{4}\dfrac{\Delta{l}}{l}<0\]
Logo, a amplitude diminui. Se multiplicarmos $$(*)$$ por $$l^3{\epsilon}^4$$, teremos
\[4l^3{\epsilon}^3\Delta{{\epsilon}}+3l^2{\epsilon}^4\Delta{l}=0\]
Isso pode ser escrito como sendo
\[\Delta({l^3{\epsilon}^4})=0\]
Ou seja, a quantia $$l^3{\epsilon}^4$$ é um invariante adiabático. Você pode mostrar que esse resultado é análogo ao que foi obtido no primeiro exemplo.
Problemas
1- Para o exemplo “Pêndulo com amigos” determine a velocidade da massa que atinge a polia imediatamente antes da colisão.
2- Desenhe o espaço de fase para um M.H.S. unidimensional
3- Mostre que $$\dfrac{E}{f}$$ é constante ao longo de um movimento harmônico a partir da área do espaço de fase.