Física - Ideia 22

Escrita por Antônio Ítalo

Essa ideia busca mostrar a utilidade da simetria na resolução de problemas de Física, principalmente na parte da mecânica. Em uma ideia posterior, será mostrada as suas aplicações na área de circuitos, onde é extremamente importante.

Introdução

Em Física, simetria é uma propriedade de um determinado sistema que permanece inalterada após uma certa transformação no sistema. Por exemplo, no caso da lei da gravitação universal de Newton, a força entre as partículas só depende da distância radial entre elas, portanto, se girarmos o sistema inteiro por um certo ângulo $\theta$, a interação entre os planetas e o movimento dos mesmos permanecem inalterados, sendo assim, o sistema possui simetria rotacional. Alguns tipos de simetria são a simetria rotacional. a simetria translacional e a simetria temporal. Num contexto de Física mais avançada, podemos dizer que as conservações de algumas grandezas como energia, momento linear e momento angular são consequências diretas, respectivamente, das simetrias temporal, translacional e rotacional das equações da física. Apesar desse conceito de simetria também ser útil, o tipo de simetria que mais será utilizado em problemas de olimpíada é diferente. Por exemplo, sabemos que a equação da trajetória de um lançamento oblíquo é uma parábola, que é simétrica em relação ao vértice da mesma, sendo assim, a posição no eixo $x$ do ponto mais alto da trajetória será metade do alcance do lançamento. Esse tipo de argumento será melhor exemplificado ao decorrer da ideia, sendo o ponto principal da mesma.

Exemplo 1:

Uma circunferência está parada quando outra circunferência de raio igual se aproxima da mesma com velocidade $v$. Quando as circunferências estão se superpondo, há dois pontos de superposição $P$ e $P'$, calcule a componente horizontal da velocidade desses pontos. (Ver figura).

Solução:

Note que a figura é simétrica em relação ao eixo que liga os centros das circunferências, sendo assim, a velocidade de $P$ e $P'$ é igual. Além disso, podemos analisar o problema de um referencial diferente, onde podemos "forçar" uma simetria. Nessa situação. o referencial que se move para a direita com velocidade $\dfrac{v}{2}$ é interessante pois nesse referencial ambas as circunferências possuem a mesma velocidade de forma que, por simetria, o ponto de superposição fica sempre com a mesma coordenada horizontal. Sendo assim, no referencial do laboratório, a velocidade horizontal será justamente $\dfrac{v}{2}$.

Exemplo 2:

Um bloco de massa $m$ está em repouso sobre uma mesa horizontal sem atrito; duas molas idênticas com a mesma constante elástica $k$ são presas ao bloco (ver figura). A ponta da direita da mola $2$ começa a ser puxada com uma velocidade constante $u$ em $t=0$. Quanto tempo se passa desde o início do movimento até o bloco atingir velocidade $u$ pela primeira vez?

Solução:

Se tentássemos tratar esse problema no referencial da terra, seria difícil encontrar a velocidade do mesmo em função do tempo, pois seria necessário resolver uma equação do movimento semelhante ao de um M.H.S. comum, mas com um termo linear com o tempo, contudo, se formos para o referencial $S'$ que se move para a direita com velocidade $\dfrac{u}{2}$ teremos "forçado" novamente uma simetria no sistema, pois tanto a extremidade esquerda da mola ligada a parede quanto a extremidade da direita da mola da direita se movem com velocidade $\dfrac{u}{2}$. Nesse referencial, podemos escrever a equação do movimento para o bloco de uma maneira bem familiar:

$ma=-k \left( x+ \dfrac{u t}{2} \right) -k \left( x - \dfrac{u t}{2} \right) \rightarrow ma=-2k x$

Daqui, temos:

$\omega =\sqrt{\dfrac{2k}{m}}$

Devemos pensar agora, qual será a velocidade do bloco no referencial $S'$ quando estiver com velocidade $u$ no laboratório? Nosso bloco deve estar com velocidade $\dfrac{u}{2}$ para a direita, de forma que quando transformarmos sua velocidade para o laboratório, obtenhamos $u$. Note que, no instante inicial do movimento, o bloco está com velocidade $\dfrac{u}{2}$ para a esquerda, de forma que deve se passar então meio período para velocidade dele no laboratório ser $u$:

$\Delta t= \pi \sqrt{\dfrac{m}{2k}}$

Onde usou-se $T=\dfrac{2 \pi}{\omega}$.

Momento de Inércia

Uma aplicação muito interessante da simetria é no cálculo do momento de inércia das mais diversas figuras, sejam essas figuras comuns, como um quadrado ou um cubo, quanto para figuras mais complexas, como os chamados fractais. A chave dessa técnica é que quando trabalhamos com figuras altamente simétricas, como um quadrado, que é definido somente pelo comprimento do seu lado $L$, podemos geralmente escrever o momento de inércia no formato $I=\beta M L^{2}$, sendo $\beta$ um fator numérico, $M$ a massa da figura e $L$ a característica que no caso do quadrado é o comprimento do seu lado. Sabendo disso, podemos utilizar o teorema dos eixos paralelos para calcular o fator numérico $\beta$, para melhor entendimento veja o exemplo a seguir.

Exemplo 3:

Calcular o momento de inércia de um quadrado com aresta de comprimento $L$ e massa $M$ em relação ao eixo perpendicular ao plano do mesmo. (Ver figura).

Solução:

Vamos dividir nosso quadrado grande em quatro quadrados menores, conforme a figura abaixo:

Note que o momento do inércia do quadrado completo em relação a $O$ $\left(I_{O}\right)$ é a soma dos momentos de inércia dos $4$ pequenos quadrados em relação a $O$ $\left(I'_{O}\right)$ que pode ser calculado através do teorema dos eixos paralelos:

$I^{'}_{O}=I^{'}_{O'}+\dfrac{M}{4}h^{2}$

Sendo $h$ a distância do ponto $O'$  até o ponto $O$ e $\dfrac{M}{4}$ a massa de um dos pequenos quadrados. Note, contudo, que $I^{'}_{O'}$ é dado por:

$I^{'}_{O'}=\dfrac{I_{O}}{16}$

Pois o lado de um quadrado menor é metade do lado do quadrado completo e sua massa é um quarto, portanto, o momento de inércia será $4*2^{2}=16$ vezes menor.

Sendo assim, temos:

$I_{O}=4 \left(\dfrac{I_{O}}{16}+\dfrac{M}{4} \left( \dfrac{L \sqrt{2}}{4}\right)^{2} \right)$

$\dfrac{3 I_{O}}{4}=M \dfrac{L^{2}}{8}$

$I_{O}=\dfrac{ML^{2}}{6}$

Mais exemplos de aplicação para essa técnica podem ser encontrados na Lista 4 do Foice do Vinícius Gabriel Félix Barbosa. Com exceção da primeira questão, todas as questões dessa lista podem ser resolvidas com essa exata mesma ideia.

Associações infinitas

Outro tipo de questão onde é muito utilizar simetrias é quando há uma associação infinita de componentes. Em geral, a ideia para resolver isso é bem semelhante com aquela utilizada para calcular momentos de inércia ensinada anteriormente, com uma ligeira diferença em alguns casos. Basicamente, se temos uma distribuição infinita de polias, por exemplo, não faz diferença colocar uma mola ou tirar uma mola, pois $\infty \pm 1=\infty$. Vamos aplicar isso a seguir.

Exemplo 4:

Considerando o sistema infinito de molas abaixo, calcule o valor do período de oscilações da massa $M$

Solução:

Note que os dois conjuntos de molas marados na figura acima devem possuir mesmo valor de constante elástica equivalente, devido ao número infinito de molas, sendo assim, pelas regras de associações de molas, vale:

$k_{eq}=\dfrac{\left(k+k_{eq}\right)k}{2k+k_{eq}}$

$2kk_{eq}+k_{eq}^{2}=k^{2}+kk_{eq}$

$k_{eq}^{2}+kk_{eq}-k^{2}=0$

Por Bháskara:

$k_{eq}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} k$

Onde a raiz negativa foi descartada, já que a constante elástica deve ter valor positivo. Associando então as duas molas de $k_{eq}$ com a mola do meio de $k$ em paralelo, obtemos:

$k_{res}=\sqrt{5}k$

Logo, o período de oscilação será dado por:

$T=2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{\sqrt{5}k}}$

Simetria na reflexão

Sabemos que espelhos são geradores natos de simetria em óptica, contudo, em Mecânica, paredes também podem ser geradoras natas dessas simetrias! Isso ocorre quando tratamos da colisão elástica de uma partícula com uma parede fixa. Veja o exemplo a seguir para melhor entendimento.

Exemplo 5:

Duas paredes fixas e semi-infinitas fazem um ângulo $\theta$ qualquer entre si. Uma partícula é lançada em direção a uma das paredes conforme ilustrado na figura abaixo. Calcule o menor valor de $r$ durante o movimento subsequente. Considere todas as colisões perfeitamente elásticas.

 

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Solução:

Já que temos colisões elásticas, é um fato conhecido que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, enquanto a velocidade da partícula permanece a mesma. (Para demonstrar isso, basta conservar o momento na direção tangencial à parede e aplicar a definição de coeficiente de restituição na direção normal). Note, no entanto, que se prolongássemos a trajetória do mesmo ignorando a presença da parede, obteríamos uma trajetória simétrica a real após a segunda parte da colisão, de forma que para cada ponto da trajetória real possui um equivalente na trajetória prolongada com mesmo distância r até o ponto de encontro das duas paredes. Daí, podemos tomar que a distância mínima na trajetória real será a mesma distância mínima da trajetória prolongada, ou seja, a distância mínima será $h$. Para melhor entendimento, veja a figura abaixo.

 

Outra maneira de analisar isso, seria escrever a segunda lei de Newton radial para a partícula, que está sempre sujeita a uma força radial nula, logo:

$\ddot{r}=r \dot{\theta}^{2}$

Sendo que o módulo do momento angular é conservado, já que o coeficiente de restituição é $1$, de forma que o módulo da velocidade normal é conservada durante a colisão, ou seja:

$\dot{\theta}^{2}=\dfrac{K}{r^{4}}$

Sendo assim, vale:

$\ddot{r}=\dfrac{K}{r^{3}}$

O valor de $K$ pode ser determinado a partir da velocidade da partícula e da distância $h$ e então, após resolução para $r(t)$, pode-se então minimizar a função. Também poderia-se perceber que essa é a mesma equação que para o $r(t)$ de uma partícula livre e, portanto, pode-se calcular a distância mínima para o caso de uma partícula livre (que se move em linha reta).

 

Exercícios Relacionados

1 - Toda a Lista 4 do Foice, exceto a primeira questão.

2 - Na situação do exemplo 5, calcule o número de colisões entre a partícula e a parede.

3 - Avançado dos Problemas da Semana 83

4 - Uma partícula de massa $m$ está confinada entre duas paredes semi-infinitas conforme na figura abaixo. Essa partícula também estará sujeita a uma energia potencial do tipo:

$U=-\dfrac{K}{r}$

Sendo $r$ a distância da partícula ao ponto de encontro entre as duas paredes. Sabendo disso, calcule o período do movimento da partícula quando a mesma é lançada com velocidade $u=\sqrt{\dfrac{K}{mr_{0}}}$ conforme a figura abaixo, sendo $r_{0}$ a distância inicial da partícula até o encontro das paredes. Todas as colisões devem ser consideradas perfeitamente elásticas.

5 - Calcule o momento de inércia em torno do $C.M.$ de uma barra fractal de massa $M$ que é construída da seguinte forma:

1. Começamos com uma barra uniforme de comprimento $L$;
2. Repartimos essa barra em $3$ partes iguais e retiramos a do meio;
3. Repetimos esse mesmo procedimento para as duas partes restantes infinitamente