Física - Ideia 25

Escrita por Antonio Italo

Nessa ideia, chegaremos a chamada equação de Binet. Essa equação diferencial é utilizada para encontrarmos a equação da trajetória de um corpo submetido a uma força central, por exemplo, essa equação pode ser utilizada para mostrar que os planetas do sistema solar se movem numa elipse com foco no sol, a partir da expressão da força gravitacional (O oposto também pode ser feito). A seguir, vamos ver a definição dessa equação e uma aplicação da mesma a partir da lei da gravitação universal. OBS: Apesar do conteúdo dessa ideia estar presente desde o Nível 2 da OBF, as técnicas utilizadas aqui são bem avançadas, envolvendo cálculo e eq. diferenciais simples, sendo mais recomendada para quem estiver estudando para provas mais avançadas como a da própria seletiva de Física.

Demonstração

Para iniciar, devemos escrever a equação do movimento para um corpo submetido a uma força central, ou seja, uma força do tipo:

$\vec{F}=F(r)\hat{r}$

Já que a força é central, sabemos que o movimento se limitará a um plano, devido a conservação do vetor momento angular, dado por:

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=m \vec{r} \times \vec{v}$

Essa conservação pode ser demonstrada se derivarmos o vetor momento angular e aplicarmos a regra do produto:

$\dfrac{d\vec{L}}{dt}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{p} +\vec{r} \times \dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{v} \times \vec{p} +\vec{r}\times \vec{F}=\vec{0}$

Note que isso é zero, pois tanto $\vec{v}$ é paralelo à $\vec{p}$ quanto $\vec{r}$ é paralelo à $\vec{F}$, já que $\vec{F}$ é central. Sabendo disso, podemos utilizar um sistema de coordenadas bidimensional. Nesse caso, utilizaremos um sistema de coordenadas polar $\left(r,\theta \right)$. Em coordenadas polares, as equações de movimento ficam:

$F(r)=m \left( \ddot{r} - r \dot{\theta}^{2}\right)$

$0= m \left(2\dot{r}\dot{\theta}+ r \ddot{\theta}\right)$

A segunda equação leva diretamente a conservação do momento angular:

$L= m r^{2} \dot{\theta}$

E a primeira equação dará origem à equação de Binet, quando aplicarmos a seguinte substituição de variável:

$u=\dfrac{1}{r}$

Mas antes disso, perceba que podemos trocar:

$\dfrac{d}{dt} \rightarrow \dot{\theta} \dfrac{d}{d\theta} \rightarrow \dfrac{Lu^{2}}{m} \dfrac{d}{d\theta}$

utilizando a regra da cadeia. Sabendo disso, calculemos $\ddot{r}$ em função de $L$, $m$, $u$ e suas derivadas.

$\dot{r}=\dfrac{d\left(\dfrac{1}{u}\right)}{dt}=-\dfrac{1}{u^{2}}\dot{u}=-\dfrac{L}{m}\dfrac{du}{d\theta}$

Derivando novamente:

$\ddot{r}=-\dfrac{L^{2}u^{2}}{m^{2}} \dfrac{d^{2}u}{d \theta^{2}}$

Agora, substituindo o valor de $\ddot{r}$ e de $\dot{\theta}$ na equação de movimento radial, obtemos:

$-\dfrac{L^{2}u^{2}}{m^{2}} \dfrac{d^{2}u}{d \theta^{2}}-\dfrac{1}{u} \dfrac{L^{2}u^{4}}{m^{2}}=\dfrac{F}{m}$

$\dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=-\dfrac{mF}{L^{2}u^{2}}$

Que é a equação de Binet. A seguir, apliquemos ela para a lei da gravitação universal e verifiquemos sua utilidade.

Órbitas Cônicas

Da lei da gravitação universal de Newton, sabemos que:

$F(r)=-\dfrac{GMm}{r^{2}}=-GMmu^{2}$

no caso gravitacional. Substituindo essa força na equação de Binet, obtemos:

$\dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=\dfrac{GMm^{2}}{L^{2}}$

Sendo essa equação consideravelmente simples de se resolver. Muitos devem estar familiarizados com equações do tipo:

$\dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=0$

Pois essa equação é muito conhecida em problemas de $M.H.S.$, porém, obtivemos uma equação com uma constante do outro lado, dessa forma devemos somar uma constante à solução padrão do $M.H.S.$ para obtermos a solução geral. Nesse caso, temos então que:

$u(\theta)=\dfrac{GMm^{2}}{L^{2}}+B* \cos \left(\theta - \theta_{0}\right)$

Sobre a constante $\theta_{0}$, podemos dar a mesma qualquer valor, já que há uma ambiguidade na posição $\theta=0$, sendo assim, por conveniência, façamos $\theta_{0}= 0$

A equação da trajetória é então do tipo:

$r(\theta)=\dfrac{\dfrac{L^{2}}{GMm^{2}}}{1+\epsilon \cos \theta}=\dfrac{l}{1+\epsilon \cos \theta}$

Que é a equação geral de uma cônica (Elipse, Parábola ou Hipérbole) a partir de um dos focos. A constante $l$ é o chamado semi-lactus rectum da cônica e $\epsilon$ é a excentricidade da cônica. Essas constantes são determinadas pela energia e pelo momento angular da partícula submetida ao potencial central.

Órbita circular diferenciada

Uma partícula realiza uma órbita circular de raio $R$ sujeita à uma força centra $F(r)$, com centro de força (Local para onde a força central aponta) em um ponto pertencente à órbita (ver Imagem). Qual é o formato da força? Esse é outro tipo de problema típico onde a equação de Binet pode ser utilizada!

Para resolvermos o problema, basta acharmos a expressão para $u$ e $\dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}$ em função de $r$ e substituirmos na equação de Binet. O primeiro passo é simples, por definição:

$u=\dfrac{1}{r}$

Mas devemos achar $u$ em função de $\theta$. Definamos aqui $\theta$ como o ângulo entre a reta que liga o centro de força e a partícula com a reta que liga o centro de força ao centro da órbita. Temos que:

$\left(r \sin \theta \right)^{2}+\left(r \cos \theta - R \right)^{2} =R^{2}$

Logo:

$r^{2}-2Rr \cos \theta + R^{2}=R^{2}$

$r=2R \cos \theta$

Portanto:

$u=\dfrac{1}{2R \cos \theta}$

E, daí, utilizando as derivadas do produto, da secante e da tangente, além da relação fundamental da trigonometria:

$\dfrac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{\tan \theta \sec \theta}{2R}\right)=\dfrac{\sec^{3} \theta +\left(\sec^{2} \theta -1 \right) \sec \theta}{2R}$

Aplicando na equação de Binet:

$u+ \dfrac{d^{2} u}{d\theta^{2}}= \dfrac{\sec^{3} \theta}{R}=-\dfrac{mr^{2}F(r)}{L^{2}}$

Mas note que $\sec \theta = \dfrac{2R}{r}$, logo:

$\dfrac{8R^{2}}{r^{3}}=-\dfrac{mr^{2}F(r)}{L^{2}}$

Logo:

$F(r)=-\dfrac{8R^{2}L^{2}}{mr^{5}}$

Logo, temos uma força proporcional a $\dfrac{1}{r^{5}}$.

Exercícios Relacionados

1 - Órbita Espiral (MIT)

Uma partícula se move em duas dimensões sobre ação de uma força central determinada pelo potencial $V(r)=\alpha r^{p}+ \beta r^{q}$, encontre os valores de $p$ e $q$ para que a partícula possa se mover em uma órbita espiral da forma $r(\theta)=c \theta^{2}$, com $c$ sendo uma constante.

2 - Força central de uma órbita (Princeton)

Encontre a força central que resulta na seguinte órbita para uma partícula:

$r(\theta)=a\left(1+\cos \theta \right)$

3 -  Encontro Terra-Cometa (Princeton)

Calcule o máximo tempo que um cometa de massa $m$ seguindo uma trajetória parabólica (Dica: $\epsilon=1$) ao redor do sol pode gastar dentro da órbita da Terra. Assuma que a órbita da Terra é circular e está no mesmo plano que a do cometa. (Ver figura).

4 - Trivial, mas de outro jeito (David Morin, adaptada)

É um fato conhecido que quando a força sobre um corpo é nula sua trajetória será uma reta (se o mesmo estiver se movendo), contudo, esse fato é um pouco confuso em coordenadas polares. Utilizando a equação de Binet, encontre a trajetória do corpo em coordenadas polares e mostre que essa é uma reta.

5 - Casos e casos

Encontre a equação da trajetória de uma partícula submetida à uma força central do tipo $F(r)=\dfrac{K}{r^{3}}$. Analise os diferentes casos.