Escrita por Antonio Italo
Nessa ideia, chegaremos a chamada equação de Binet. Essa equação diferencial é utilizada para encontrarmos a equação da trajetória de um corpo submetido a uma força central, por exemplo, essa equação pode ser utilizada para mostrar que os planetas do sistema solar se movem numa elipse com foco no sol, a partir da expressão da força gravitacional (O oposto também pode ser feito). A seguir, vamos ver a definição dessa equação e uma aplicação da mesma a partir da lei da gravitação universal. OBS: Apesar do conteúdo dessa ideia estar presente desde o Nível 2 da OBF, as técnicas utilizadas aqui são bem avançadas, envolvendo cálculo e eq. diferenciais simples, sendo mais recomendada para quem estiver estudando para provas mais avançadas como a da própria seletiva de Física.
Demonstração
Para iniciar, devemos escrever a equação do movimento para um corpo submetido a uma força central, ou seja, uma força do tipo:
$$\vec{F}=F(r)\hat{r}$$
Já que a força é central, sabemos que o movimento se limitará a um plano, devido a conservação do vetor momento angular, dado por:
$$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=m \vec{r} \times \vec{v}$$
Essa conservação pode ser demonstrada se derivarmos o vetor momento angular e aplicarmos a regra do produto:
$$\dfrac{d\vec{L}}{dt}=\dfrac{d\vec{r}}{dt}\times \vec{p} +\vec{r} \times \dfrac{d\vec{p}}{dt}=\vec{v} \times \vec{p} +\vec{r}\times \vec{F}=\vec{0}$$
Note que isso é zero, pois tanto $$\vec{v}$$ é paralelo à $$\vec{p}$$ quanto $$\vec{r}$$ é paralelo à $$\vec{F}$$, já que $$\vec{F}$$ é central. Sabendo disso, podemos utilizar um sistema de coordenadas bidimensional. Nesse caso, utilizaremos um sistema de coordenadas polar $$\left(r,\theta \right)$$. Em coordenadas polares, as equações de movimento ficam:
$$F(r)=m \left( \ddot{r} – r \dot{\theta}^{2}\right)$$
$$0= m \left(2\dot{r}\dot{\theta}+ r \ddot{\theta}\right)$$
A segunda equação leva diretamente a conservação do momento angular:
$$L= m r^{2} \dot{\theta}$$
E a primeira equação dará origem à equação de Binet, quando aplicarmos a seguinte substituição de variável:
$$u=\dfrac{1}{r}$$
Mas antes disso, perceba que podemos trocar:
$$\dfrac{d}{dt} \rightarrow \dot{\theta} \dfrac{d}{d\theta} \rightarrow \dfrac{Lu^{2}}{m} \dfrac{d}{d\theta}$$
utilizando a regra da cadeia. Sabendo disso, calculemos $$\ddot{r}$$ em função de $$L$$, $$m$$, $$u$$ e suas derivadas.
$$\dot{r}=\dfrac{d\left(\dfrac{1}{u}\right)}{dt}=-\dfrac{1}{u^{2}}\dot{u}=-\dfrac{L}{m}\dfrac{du}{d\theta}$$
Derivando novamente:
$$\ddot{r}=-\dfrac{L^{2}u^{2}}{m^{2}} \dfrac{d^{2}u}{d \theta^{2}}$$
Agora, substituindo o valor de $$\ddot{r}$$ e de $$\dot{\theta}$$ na equação de movimento radial, obtemos:
$$-\dfrac{L^{2}u^{2}}{m^{2}} \dfrac{d^{2}u}{d \theta^{2}}-\dfrac{1}{u} \dfrac{L^{2}u^{4}}{m^{2}}=\dfrac{F}{m}$$
$$\dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=-\dfrac{mF}{L^{2}u^{2}}$$
Que é a equação de Binet. A seguir, apliquemos ela para a lei da gravitação universal e verifiquemos sua utilidade.
Órbitas Cônicas
Da lei da gravitação universal de Newton, sabemos que:
$$F(r)=-\dfrac{GMm}{r^{2}}=-GMmu^{2}$$
no caso gravitacional. Substituindo essa força na equação de Binet, obtemos:
$$\dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=\dfrac{GMm^{2}}{L^{2}}$$
Sendo essa equação consideravelmente simples de se resolver. Muitos devem estar familiarizados com equações do tipo:
$$\dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}+u=0$$
Pois essa equação é muito conhecida em problemas de $$M.H.S.$$, porém, obtivemos uma equação com uma constante do outro lado, dessa forma devemos somar uma constante à solução padrão do $$M.H.S.$$ para obtermos a solução geral. Nesse caso, temos então que:
$$u(\theta)=\dfrac{GMm^{2}}{L^{2}}+B* \cos \left(\theta – \theta_{0}\right)$$
Sobre a constante $$\theta_{0}$$, podemos dar a mesma qualquer valor, já que há uma ambiguidade na posição $$\theta=0$$, sendo assim, por conveniência, façamos $$\theta_{0}= 0$$
A equação da trajetória é então do tipo:
$$r(\theta)=\dfrac{\dfrac{L^{2}}{GMm^{2}}}{1+\epsilon \cos \theta}=\dfrac{l}{1+\epsilon \cos \theta}$$
Que é a equação geral de uma cônica (Elipse, Parábola ou Hipérbole) a partir de um dos focos. A constante $$l$$ é o chamado semi-lactus rectum da cônica e $$\epsilon$$ é a excentricidade da cônica. Essas constantes são determinadas pela energia e pelo momento angular da partícula submetida ao potencial central.
Órbita circular diferenciada
Uma partícula realiza uma órbita circular de raio $$R$$ sujeita à uma força centra $$F(r)$$, com centro de força (Local para onde a força central aponta) em um ponto pertencente à órbita (ver Imagem). Qual é o formato da força? Esse é outro tipo de problema típico onde a equação de Binet pode ser utilizada!
Para resolvermos o problema, basta acharmos a expressão para $$u$$ e $$\dfrac{d^{2}u}{d\theta^{2}}$$ em função de $$r$$ e substituirmos na equação de Binet. O primeiro passo é simples, por definição:
$$u=\dfrac{1}{r}$$
Mas devemos achar $$u$$ em função de $$\theta$$. Definamos aqui $$\theta$$ como o ângulo entre a reta que liga o centro de força e a partícula com a reta que liga o centro de força ao centro da órbita. Temos que:
$$\left(r \sin \theta \right)^{2}+\left(r \cos \theta – R \right)^{2} =R^{2}$$
Logo:
$$r^{2}-2Rr \cos \theta + R^{2}=R^{2}$$
$$r=2R \cos \theta $$
Portanto:
$$u=\dfrac{1}{2R \cos \theta}$$
E, daí, utilizando as derivadas do produto, da secante e da tangente, além da relação fundamental da trigonometria:
$$\dfrac{d^{2} u}{d \theta^{2}}=\dfrac{d}{d\theta}\left(\dfrac{\tan \theta \sec \theta}{2R}\right)=\dfrac{\sec^{3} \theta +\left(\sec^{2} \theta -1 \right) \sec \theta}{2R}$$
Aplicando na equação de Binet:
$$u+ \dfrac{d^{2} u}{d\theta^{2}}= \dfrac{\sec^{3} \theta}{R}=-\dfrac{mr^{2}F(r)}{L^{2}}$$
Mas note que $$\sec \theta = \dfrac{2R}{r}$$, logo:
$$\dfrac{8R^{2}}{r^{3}}=-\dfrac{mr^{2}F(r)}{L^{2}}$$
Logo:
$$F(r)=-\dfrac{8R^{2}L^{2}}{mr^{5}}$$
Logo, temos uma força proporcional a $$\dfrac{1}{r^{5}}$$.
Exercícios Relacionados
1 – Órbita Espiral (MIT)
Uma partícula se move em duas dimensões sobre ação de uma força central determinada pelo potencial $$V(r)=\alpha r^{p}+ \beta r^{q}$$, encontre os valores de $$p$$ e $$q$$ para que a partícula possa se mover em uma órbita espiral da forma $$r(\theta)=c \theta^{2}$$, com $$c$$ sendo uma constante.
2 – Força central de uma órbita (Princeton)
Encontre a força central que resulta na seguinte órbita para uma partícula:
$$r(\theta)=a\left(1+\cos \theta \right)$$
3 – Encontro Terra-Cometa (Princeton)
Calcule o máximo tempo que um cometa de massa $$m$$ seguindo uma trajetória parabólica (Dica: $$\epsilon=1$$) ao redor do sol pode gastar dentro da órbita da Terra. Assuma que a órbita da Terra é circular e está no mesmo plano que a do cometa. (Ver figura).
4 – Trivial, mas de outro jeito (David Morin, adaptada)
É um fato conhecido que quando a força sobre um corpo é nula sua trajetória será uma reta (se o mesmo estiver se movendo), contudo, esse fato é um pouco confuso em coordenadas polares. Utilizando a equação de Binet, encontre a trajetória do corpo em coordenadas polares e mostre que essa é uma reta.
5 – Casos e casos
Encontre a equação da trajetória de uma partícula submetida à uma força central do tipo $$F(r)=\dfrac{K}{r^{3}}$$. Analise os diferentes casos.