Escrito por Vinicius Névoa
Desacoplamento de movimentos
Aqui trataremos de uma ideia que tem a ver com escalas de tempo, e de como movimentos que ocorrem em escalas de tempo muito distintas podem ser desacoplados. Muitas vezes vemos na natureza fenômenos que são a composição de duas ou mais oscilações de frequências muito distintas.
Por exemplo, as estações do ano e o ciclo noite-dia afetam a temperatura que percebemos. Contudo, a troca da noite pelo dia ocorre tão mais frequentemente que a troca das estações que podemos, qualitativamente, dizer que uma época do ano é mais fria do que outra baseando-se apenas nas estações e ignorando os vai-e-vem diários.
Separar fenômenos físicos em fase rápida e fase lenta, pode fazer surgir propriedades para além de meras distinções qualitativas como a acima, como estabilização dinâmica, ressonâncias paramétricas e outros. Por questões didáticas, primeiro solucionarei um problema famoso, e depois desenvolveremos uma teoria geral.
O Pêndulo de Kapitza
Um pêndulo simples possui dois pontos de equilíbrio: $$\theta=0$$ e $$\theta=\pi$$. Contudo, esse último ponto de equilíbrio é instável. Curiosamente, é possível torna-lo estável se o ponto de suporte do pêndulo oscilar verticalmente muito rápido!
Seja um pêndulo simples de massa $$m$$ e comprimento $$L$$, e a posição do ponto de apoio sendo $$Y(t)=asin(\lambda t)$$. Considere $$A<<L$$ e $$\lambda>>\sqrt{\dfrac{g}{L}}$$. Ache a condição para que a posição $$\theta=\pi$$ seja um equilíbrio estável.
Solução:
Como $$\lambda>>\sqrt{\dfrac{g}{L}}$$, isso quer dizer que quando o ponto de suporte tiver feito uma oscilação completa, a o ângulo que o pêndulo faz com a vertical não terá tido tempo de mudar apreciavelmente. Para quantificar isso, escreveremos a coordenada $$\theta$$ da posição do pêndulo como a soma de uma fase lenta e uma fase rápida, definidas como na figura:
$$\theta=\phi+\alpha$$
Aplicando a lei dos senos no triângulo ABC:
$$\dfrac{asin(\lambda t)}{\alpha}=\dfrac{L}{sin \phi}$$
$$\alpha=\dfrac{a}{L} sin \phi sin(\lambda t)$$
Temos que $$\alpha$$ é um ângulo pequeno pois $$A<<L$$. Vamos escrever o torque agindo na massa em relação ao ponto de suporte B. As forças são (usando $$\vec{F}_{inercia}=-m\vec{a}_{suporte}$$):
$$F_{g}=-mg\hat{y}$$
$$F_{inercia}=+ma\lambda^2 sin(\lambda t) \hat{y}$$
Agora calcularemos os torques, ou melhor, a média dos torque durante um período de oscilação de $$\alpha$$, já que nosso interesse é a coordenada lenta $$\phi$$:
$$\overline{\tau_{g}}=-mgL\overline{sin (\phi+\dfrac{a}{L} sin \phi sin(\lambda t))}$$
$$\overline{\tau}_{inercia}=ma\lambda^2 L\overline{sin(\lambda t) sin (\phi+\dfrac{a}{L} sin \phi sin(\lambda t))}$$
Entrando e saindo do papel respectivamente. Agora, basta abrir os senos e cossenos: qualquer termo que for proporcional a $$sin(\lambda t)$$ ou $$cos(\lambda t)$$ terá média zero. É fácil ver que:
$$\overline{\tau_{g}}=-mgL sin(\phi)$$
$$\overline{\tau}_{inercia}=\dfrac{ma^2\lambda^2}{2}sin \phi cos \phi$$
Veja bem, o que isso quer dizer? Na escala de tempo em que $$\phi$$ muda apreciavelmente (e por isso fizemos a média), a gravidade tenta fazer o pêndulo cair e a força inercial tenta mantê-lo no topo. Para que seja estável, o torque inercial deve ganhar:
$$\overline{\tau_{g}}+\overline{\tau}_{inercia}>0$$
Substituindo $$\phi=0$$, que é o nosso ponto de interesse, essa estabilidade ocorre desde que:
$$a \lambda > \sqrt{2gL}$$
É possível, inclusive, determinar até onde o desvio da vertical será estável. Os pontos críticos são aqueles nos quais o torque médio total é nulo:
$$\phi_{critical}=\pm arccos \dfrac{2gL}{a^2\lambda^2} $$
Comentário sobre energias: se você quiser tentar fazer esse exemplo por energia, cuidado! A energia desse sistema não se conserva, já que a força que faz oscilar o suporte do pêndulo realiza trabalho a todo instante. Contudo, se você for bem versado em mecânica analítica, sugiro fortemente que tente fazer esse exemplo com formalismo Lagrangiano ou Hamiltoniano, que já incluem naturalmente o trabalho da força externa. De fato, o pêndulo de Kapitza e sistemas análogos são normalmente resolvidos por Lagrangiana, esse método por torques acima é um “bizu” para ilustrar a ideia. Alguns outros comentários para quem se aventurar:
- A função Hamiltoniana não corresponderá à energia total do sistema (isso é porque o vínculo entre a coordenada $$\theta$$ e as coordenadas cartesianas é reonômico, ou seja, depende do tempo)
- Quando se soma a derivada temporal total de uma função $$F$$ à uma Lagrangiana, as equações de movimento são mantidas inalteradas:
$$L_{1}=L_{2}+\dfrac{dF}{dt}$$
Isso é porque o que importa é a variação da ação, que é a integral da Lagrangiana no tempo, então somar uma constante à ação é irrelevante. Use esse fato para fazer sumir termos $$\dot{\theta}sin\theta$$ da Lagrangiana.
Teoria Geral
Agora que fizemos um exemplo, vamos desenvolver uma teoria geral para isso no contexto da mecânica clássica, primeiro para o caso de apenas um grau de liberdade. Seja uma partícula de massa $$m$$ sujeita a um potencial externo $$U(x,t)$$. Suponha que essa partícula executa, sob ação desse potencial apenas, um movimento que se confina numa região finita do espaço (i.e, que é uma órbita fechada no espaço de fase), e que esse movimento se repete com um tempo característico $$T$$. Agora suponha que, em adição a esse campo $$U(x,t)$$, seja ligada uma força:
$$f(x,t)=A(x) cos(\omega t +\phi)$$
Com a propriedade que $$T>>\dfrac{2\pi}{\omega}$$ e de que as amplitudes dos movimento que ela causa são pequenas. Isso nos convida a separar a coordenada da partícula em uma fase rápida e uma fase lenta:
$$x(t)=X(t)+\xi(t)$$
A equação de movimento é:
$$m\ddot{x}=-\nabla U(x,t)+f(x,t)$$
Como, por hipótese, $$\xi(t)$$ é pequeno, vamos expandir em primeira ordem nele:
$$U(x,t)=U(X,t)+(x-X)\dfrac{dU}{dx}= U(X,t)+\xi \dfrac{dU}{dx}$$
$$f(x,t)=f(X,t)+\xi\dfrac{\partial f}{\partial x}$$
A equação de movimento pode ser escrita como:
$$m\ddot{X}+m\ddot{\xi}=-\dfrac{dU}{dx}-\xi\dfrac{d^2U}{dx^2}+f(X,t)+\xi\dfrac{\partial f}{\partial x}$$
O desacoplamento é afirmar que as partes rápidas e as partes lentas da equação acima são satisfeitas separadamente.
- Parte rápida: apesar da amplitude de $$\xi$$ ser pequena, $$\ddot{\xi}$$ é grande uma vez que a frequência $$\omega$$ é grande. Por isso, vamos desprezar os termos (rápidos) de ordem $$\xi$$ do lado direito:
$$m\ddot{\xi}=f(X,t)$$
O que, pela forma da função $$f$$, permite integração direta:
$$\xi=-\dfrac{f}{m\omega^2}$$
- Parte lenta: Vamos fazer a média temporal da equação de movimento. Perceba que todo termo que contenha apenas uma potência de $$\xi$$ ou $$f$$ rende média zero. Os únicos termos que sobrevivem são:
$$m\ddot{X}=-\dfrac{dU}{dx}+\overline{\xi\dfrac{\partial f}{\partial x}}$$
$$m\ddot{X}=-\dfrac{dU}{dx}-\overline{\dfrac{f}{m\omega^2}\dfrac{\partial f}{\partial x}}$$
Agora, a parte mais importante: vamos jogar aquele $$f$$ para dentro da derivada:
$$m\ddot{X}=-\dfrac{d U}{dx}-\dfrac{1}{2m\omega^2}\overline{\dfrac{\partial f^2}{\partial x}}$$
$$m\ddot{X}=-\dfrac{dU_{eff}}{dx}$$
Em que o potencial efetivo é:
$$U_{eff}=U+\dfrac{\overline{f^2}}{2m\omega^2}$$
Perceba que isso pode ser escrito como:
$$U_{eff}=U+\dfrac{m\overline{\xi^2}}{2}$$
Ou seja, o potencial efetivo da coordenada lenta é o potencial real somado a energia cinética média da parte rápida!
Observações finais:
- No caso da força externa $$f$$ ser uma superposição de $$N$$ frequências, duas a duas desacopláveis, é fácil ver que (produtos de funções senoidais de frequencias muito diferentes são dominados pela de maior frequência tem média zero):
$$U_{eff}=U+\sum \limits_{i=1}^{N}\dfrac{\overline{f^2_{i}}}{2m\omega^2_{i}}$$
- O resultado acerca da energia cinética é válido para mais coordenadas: mesmo se o sistema tiver vários graus de liberdade, o potencial efetivo da coordenada lenta continua sendo o potencial real mais a energia cinética média total do movimento rápido.
Exercícios:
1) Quase Kapitza
Quais são os pontos de equilíbrio estável de um pêndulo cujo suporte oscila muito rápido na horizontal, sendo a amplitude dessa oscilação pequena?
2) Cometa infrequente
Um cometa de massa $$m$$ orbita uma estrela de massa $$M_{0}$$ em uma órbita fechada de energia $$E<0$$ e excentricidade $$e$$. Então, por algum processo astrofísico, a massa da estrela começa a variar como:
$$M(t)=M_{0}+\Delta m sin( \omega t)$$
Se o período dessa oscilação for muito menor que o da órbita, e $$\Delta m<<M_{0}$$, qual a nova excentricidade média $$\overline{e}$$ ?
3) Andando com suavidade
Quando uma pessoa anda, existe uma certa estabilização dinâmica causada pelo andar que ajuda seu tronco ficar ereto. Obviamente, apenas caminhar não é suficiente: os músculos da base da coluna garantem que a parte superior do nosso corpo não caia, como um pêndulo invertido faria. Seja uma pessoa de altura $$H$$ e comprimento das pernas $$L$$. A parte superior do seu corpo pode ser pensada como um pêndulo invertido de massa efetiva $$m$$, concentrada no topo da cabeça. Se a abertura angular da pernas quando a pessoa caminha é $$\Delta \theta$$, e sua cabeça permance na mesma altura sempre, estime o aumento da estabilidade quando ela anda com uma velocidade $$v$$, em que o aumento da estabilidade é a variação do expoente real que governa a queda do “pêndulo efetivo”.