Física - Ideia 29

Escrito por Wanderson Faustino Patricio 

Componentes elétricos

Relembremos primeiramente alguns dos componentes eletrônicos mais utilizados.

$(I)$ Resistor:

Resistores são componentes que têm por finalidade oferecer uma oposição à passagem de corrente elétrica, através de seu material. Os resistores são geralmente representados da seguinte maneira nos desenhos de circuito:

A diferença de potencial entre os polos do resistor (na direção da corrente) é:

$V_R=-R\cdot I$

$(II)$ Capacitor:

O Capacitor  é um componente que armazena cargas elétricas num campo elétrico, acumulando um desequilíbrio interno de carga elétrica. Geralmente representada por duas placas paralelas:

O capacitor gera uma diferença de potencial entre as placas por haver uma polaridade induzida nas cargas das placas ($+Q$ e $-Q$).

A diferença de potencial entre as placas na direção das cargas positivas para as negativas é:

$V_C=-\dfrac{Q}{C}$

$(III)$ Indutor:

Um indutor é um dispositivo elétrico passivo que armazena energia na forma de campo magnético, normalmente combinando o efeito de vários loops da corrente elétrica. O indutor é usado em muitos circuitos para balancear o crescimento da intensidade da corrente. Os indutores mais comuns são de fios de cobre enrolados em formato helicoidal.

A ddiferença potencial entre os polos do capacitor na direção da corrente é:

$V_L=-L\dfrac{dI}{dt}$

Circuitos de corrente alternada

A tensão que passa nas tomadas de nossa casas são tensões de corrente alternada. A d.d.p. é do tipo:

$V=V_o \cos{(\omega t)}$

Suponhamos um circuito $RLC$ em série com uma tensão alternada. Aplicando as leis de Kirchoff temos:

$V+V_R+V_C+V_L=0$

$L\dfrac{dI}{dt}+RI+\dfrac{Q}{C}=V_o\cos{(\omega t)}$

A resolução para a corrente nao é trivial, demanda algum tempo para ser encontrada, e como muitas vezes estamos simplesmente interessados, por exemplo, em valores médios de potência, é um trabalho desnecessário calcular a solução completa dessa EDO, visto que só precisamos do valor de sua amplitude.

Seria muito bom se pudéssemos considerar que todos os componentes tivessem uma dependência linear com a corrente.

Infelizmente, no mundo real isso é impossível. Então a resposta deve estar no mundo complexo.

Impedância dos componentes eletrônicos

Para compreensão dessa ideia você precisa ter experiência de como trabalhar com números complexos

Primeiramente considere as notações: $i=\sqrt{-1}$ e $Re(z)$ denota a parte real do número complexo z.

Como estamos simplesmente resolvendo equações, podemos resolvê-las no mundo complexo e depois retirar a parte real da solução.

Sabendo que $e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$ perceba que $V_o\cos{(\omega t)}=Re(V_oe^{i\omega t})$.

Definamos portanto uma tensão complexa $\overline{V}=V_oe^{i\omega t}$, É uma corrente complexa do tipo $\overline{I}=ke^{i\omega t}$.

Definamos a impedância do composto $X$ ($Z_x$) tal que:

$\overline{V_x}=Z_x\cdot \overline{I}$ (dependência linear)

Ou

$Z_x=\dfrac{\overline{V_x}}{\overline{I}}$

$(I)$ Impedância do resistor:

$\overline{V_R}=R\overline{I}$

$\rightarrow Z_R=\dfrac{R\overline{I}}{\overline{I}}$

$\rightarrow Z_R=R$

$(II)$ Impedância do capacitor:

A carga complexa do capacitor é: $\overline{Q}=\int \overline{I} dt=\int ke^{i\omega t} dt$

$\overline{Q}=\dfrac{k}{i\omega}e^{i\omega t}$

A tensão no capacitor será:

$\overline{V_C}=\dfrac{\overline{Q}}{C}=\dfrac{k}{i\omega C}e^{i\omega t}$

Logo:

$Z_C=\dfrac{\frac{k}{i\omega C}e^{i\omega t}}{ke^{i\omega t}}=\dfrac{1}{i\omega C}$

$\rightarrow Z_C=-\dfrac{i}{\omega C}$

$(III)$ Impedância do indutor:

A tensão no indutor é:

$V_L=L\dfrac{d\overline{I}}{dt}=i\omega L k\cdot e^{i\omega t}$

Logo:

$Z_L=\dfrac{i\omega L k\cdot e^{i\omega t}}{ke^{i\omega t}}$

$\rightarrow Z_L=i\omega L$

Como utilizar a impedância

Como vimos que existe uma função linear nesses componentes complexos podemos tratå-los como se fossem resistores, inclusive podendo utilizar as associações em série e paralelo.

Tomemos o exemplo do circuito $RLC$ apresentado anteriormente.

Qual a amplitude de tensão no indutor?

Trabalharemos com a visão complexa do circuito:

$\overline{V}=Z_R\cdot \overline{I}+Z_L\cdot \overline{I}+Z_C\cdot \overline{I}$

$V_o\cdot e^{i\omega t}=\left (R+i\omega L-\frac{i}{\omega C}\right)\cdot \overline{I}$

$\overline{I}=\dfrac{V_o}{R+i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}e^{i\omega t}$

A tensão complexa no indutor será $\overline{V_L}=Z_L\cdot \overline{I}$.

$\overline{V_L}=\dfrac{i\omega L V_o}{R+i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}e^{i\omega t}$

A tensão no indutor é $V_L=Re(\overline{V_L})$:

$V_L=\dfrac{\left|i\omega L V_o\right|}{\left|R+i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right|}\cos{(\omega t +\frac{\pi}{2}-\theta)}$; onde $\theta=\tan^{-1}{\left(\dfrac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right)}$

$V_L=\dfrac{\omega L V_o}{\sqrt{R^2+\left( \omega L -\frac{1}{\omega C}\right)^2}}\cdot \cos{(\omega t +\frac{\pi}{2}-\theta)}$

Portanto, a amplitude de oscilação no indutor é:

$A=\dfrac{\omega L V_o}{\sqrt{R^2+\left( \omega L -\frac{1}{\omega C}\right)^2}}$

Perceba que conseguimos encontrar a amplitude da tensão no indutor em apenas 7 passos, muito menos do que se fossemos resolver a EDO no mundo real.

Filtros de tensão

A ideia de Impedância é bastante utilizada para a construção de filtros de tensão.  Esse filtros permitem maiores tensões para determinadas tensões dependendo dos componentes utilizados em sua construção.

Considere dois componentes $X_1$ e $X_2$, cujas impedâncias são $Z_1$ e $Z_2$ respectivamente, conectados em série a uma tensão alternada $V=V_t\cos{(\omega t)}$.

 

Sendo $V_o$ a amplitude da tensão componente $X_2$, qual seu valor em função das demais informações?

Essa resolução torna-se bastante rápida utilizando a ideia de Impedância.

$\overline{V}=V_te^{i\omega t}$

$\overline{V}=Z_1\overline{I}+Z_2\overline{I}$

$\overline{I}=\dfrac{V_t}{Z_1+Z_2}\cdot e^{i\omega t}$

A tensão complexa em $X_2$ será:

$\overline{V_2}=Z_2\overline{I}=\dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}\cdot V_te^{i\omega t}$

Sabemos que $Z_2=\left|Z_2\right|\cdot e^{i\alpha}$ e $Z_1+Z_2=\left|Z_1+Z_2\right|\cdot e^{i\beta}$. Portanto:

$\overline{V_2}=\dfrac{\left|Z_2\right|}{\left|Z_1+Z_2\right|}V_t\cdot e^{i(\omega t+\alpha -\beta)}$

$V_2=Re(\overline{V_2})=\dfrac{\left|Z_2\right|}{\left|Z_1+Z_2\right|}V_t\cos{(\omega t+\alpha -\beta)}$

Vemos, portanto, que a amplitude de oscilação é:

$V_o=\dfrac{\left|Z_2\right|}{\left|Z_1+Z_2\right|}V_t$

Os três filtros mais comuns são os filtros: "passa-alta", "passa-baixa", e "passa-média".

$(I)$ Filtro passa-baixa:

No filtro passa-baixa $X_1$ é um resistor e $X_2$ é um capacitor, ou seja, $Z_1=R$ e $Z_2=-\dfrac{i}{\omega C}$. Logo:

$V_o=\dfrac{\left|-\frac{i}{\omega C}\right|}{\left|R-\frac{i}{\omega C}\right|}V_t$

$V_o=\dfrac{\frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega^2C^2}}}V_t$

Esboçando o gráfico de $V_o$ em função de $\omega$ temos:

Perceba que quanto menores os valores de $\omega$ maiores os valores de $V_o$, por isso o filtro é chamado de passa-baixa, pois para as baixas frequências ele tem maior abertura.

$(II)$ Filtro passa-alta:

No filtro passa-alta $X_1$ é um resistor e $X_2$ é um indutor, logo, $Z_1=R$ e $Z_2=i\omega L$. Portanto:

$V_o=\dfrac{\left|i\omega L\right|}{\left|R+i\omega L\right|}V_t$

$\rightarrow V_o=\dfrac{\omega L}{\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}V_t$

Esboçando o gráfico de $V_o$ em função de $\omega$ obtemos:

Perceba que quanto maiores os valores de $\omega$ maiores os valores de $V_o$,  por isso o filtro é chamado de passa-alta, pois há uma maior abertura para as frequências altas.

$(III)$ Filtro passa-média:

O filtro passa-média é uma combinação entre os filtros passa-baixa e passa-alta. Nele $X_1$ é a associação de um capacitor e um indutor em série e $X_2$ é um resistor, ou seja, $Z_1=i\omega L-\dfrac{i}{\omega C}$ e $Z_2=R$.

$V_o=\dfrac{\left|R\right|}{\left|R+i\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega c}\right) \right|}V_t$

$\rightarrow V_o=\dfrac{R}{\sqrt{R^2+\left( \omega L -\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}V_t$

Para $\omega \rightarrow 0$, $V_o\rightarrow 0$. Para $\omega \rightarrow \infty$, $V_o \rightarrow 0$.

A função possui valor máximo para $\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ e esse valor é $V_o=V_t$

Chegamos ao seguinte esboço para $V_o$ em função de $\omega$.

Perceba que para os valores de $\omega$ nas proximidades de $\omega_o=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ há uma maior abertura para a tensão.

Esse tipo de filtro pode ser utilizado na produção de rádios por exemplo, visto que para uma determinada frequência haverá a passagem de informação por ele.

Para memorizar

1 - Potência média:

Para o circuito $RLC$ apresentado no início dessa ideia, calcule a potência média irradiada pelo resistor por efeito Joule.

2 - Associação diferente:

Para $\omega=377$ rad/s, calcule a corrente no resistor de $12\Omega$ em função do tempo. A voltagem de entrada tem amplitude $5V$.

3 - Associação diferente 2 (Electricity and Magnetism Morin/Purcell):

O circuito abaixo tem dois indutores iguais de indutância $L$ e um resistor de resistência $R$. A frequência da fonte de voltagem, $\varepsilon = \varepsilon_{0} \cos \omega t$, é escolhida para ser $\omega = \dfrac{R}{L}$.

a) Qual é a impedância complexa equivalente do circuito? Dê isso em termos de $R$ somente.

b) Se a corrente total que passa pelo circuito é escrita como $I_{0} \cos \left(\omega t + \phi\right)$, quais os valores de $I_{0}$ e $\phi$?

c) Qual a potência média dissipada no circuito?

4 - Ponte equilibrada (Olimpíadas Russas)

Uma ponte de Wheatstone é utilizada para medir a capacitância $C_{2}$ em paralelo a uma resistência $r_{2}$. A ponte está em equilíbrio quando a fonte de voltagem fornece uma voltagem harmônica alternada. Além disso, o equilíbrio permanece mesmo que o valor da frequência da fonte mude. Determine $C_{2}$ e $r_{2}$ sabendo que $r_{1}=2500 \, \Omega$, $r_{3}=10 \, \Omega$, $L_{3}=1 \, \text{H}$ e $r_{4}=800 \, \Omega$.

5 - Associação diferente 3 (Electricity and Magnetism Morin/Purcell)

O circuito abaixo tem dois indutores iguais de indutância $L$ e um resistor de resistência $R$. A frequência da fonte de voltagem, $\varepsilon = \varepsilon_{0} \cos \omega t$, é escolhida para ser $\omega = \dfrac{1}{RC}$.

a) Qual é a impedância complexa equivalente do circuito? Dê isso em termos de $R$ somente.

b) Se a corrente total que passa pelo circuito é escrita como $I_{0} \cos \left(\omega t + \phi\right)$, quais os valores de $I_{0}$ e $\phi$?

c) Qual a potência média dissipada no circuito?

6 - Cadeia Infinita (200 More Puzzling Physics Problems)

Encontre a impendância elétrica equivalente entre os terminais $A$ e $B$ mostrados na figura, para uma corrente de frequência alternada $\omega$. A cadeia "infinita" consiste de um um grande número de unidades idênticas, cada uma consistindo de um indutor de indutância $L$ e um capacitor de capacitância $C$. É possível a impedância equivalente ter dois valores diferentes?