Escrito por Wanderson Faustino Patricio
Componentes elétricos
Relembremos primeiramente alguns dos componentes eletrônicos mais utilizados.
$$(I)$$ Resistor:
Resistores são componentes que têm por finalidade oferecer uma oposição à passagem de corrente elétrica, através de seu material. Os resistores são geralmente representados da seguinte maneira nos desenhos de circuito:
A diferença de potencial entre os polos do resistor (na direção da corrente) é:
$$V_R=-R\cdot I$$
$$(II)$$ Capacitor:
O Capacitor é um componente que armazena cargas elétricas num campo elétrico, acumulando um desequilíbrio interno de carga elétrica. Geralmente representada por duas placas paralelas:
O capacitor gera uma diferença de potencial entre as placas por haver uma polaridade induzida nas cargas das placas ($$+Q$$ e $$-Q$$).
A diferença de potencial entre as placas na direção das cargas positivas para as negativas é:
$$V_C=-\dfrac{Q}{C}$$
$$(III)$$ Indutor:
Um indutor é um dispositivo elétrico passivo que armazena energia na forma de campo magnético, normalmente combinando o efeito de vários loops da corrente elétrica. O indutor é usado em muitos circuitos para balancear o crescimento da intensidade da corrente. Os indutores mais comuns são de fios de cobre enrolados em formato helicoidal.
A ddiferença potencial entre os polos do capacitor na direção da corrente é:
$$V_L=-L\dfrac{dI}{dt}$$
Circuitos de corrente alternada
A tensão que passa nas tomadas de nossa casas são tensões de corrente alternada. A d.d.p. é do tipo:
$$V=V_o \cos{(\omega t)}$$
Suponhamos um circuito $$RLC$$ em série com uma tensão alternada. Aplicando as leis de Kirchoff temos:
$$V+V_R+V_C+V_L=0$$
$$L\dfrac{dI}{dt}+RI+\dfrac{Q}{C}=V_o\cos{(\omega t)}$$
A resolução para a corrente nao é trivial, demanda algum tempo para ser encontrada, e como muitas vezes estamos simplesmente interessados, por exemplo, em valores médios de potência, é um trabalho desnecessário calcular a solução completa dessa EDO, visto que só precisamos do valor de sua amplitude.
Seria muito bom se pudéssemos considerar que todos os componentes tivessem uma dependência linear com a corrente.
Infelizmente, no mundo real isso é impossível. Então a resposta deve estar no mundo complexo.
Impedância dos componentes eletrônicos
Para compreensão dessa ideia você precisa ter experiência de como trabalhar com números complexos
Primeiramente considere as notações: $$i=\sqrt{-1}$$ e $$Re(z)$$ denota a parte real do número complexo z.
Como estamos simplesmente resolvendo equações, podemos resolvê-las no mundo complexo e depois retirar a parte real da solução.
Sabendo que $$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$$ perceba que $$V_o\cos{(\omega t)}=Re(V_oe^{i\omega t})$$.
Definamos portanto uma tensão complexa $$\overline{V}=V_oe^{i\omega t}$$, É uma corrente complexa do tipo $$\overline{I}=ke^{i\omega t}$$.
Definamos a impedância do composto $$X$$ ($$Z_x$$) tal que:
$$\overline{V_x}=Z_x\cdot \overline{I}$$ (dependência linear)
Ou
$$Z_x=\dfrac{\overline{V_x}}{\overline{I}}$$
$$(I)$$ Impedância do resistor:
$$\overline{V_R}=R\overline{I}$$
$$\rightarrow Z_R=\dfrac{R\overline{I}}{\overline{I}}$$
$$\rightarrow Z_R=R$$
$$(II)$$ Impedância do capacitor:
A carga complexa do capacitor é: $$ \overline{Q}=\int \overline{I} dt=\int ke^{i\omega t} dt$$
$$\overline{Q}=\dfrac{k}{i\omega}e^{i\omega t}$$
A tensão no capacitor será:
$$\overline{V_C}=\dfrac{\overline{Q}}{C}=\dfrac{k}{i\omega C}e^{i\omega t}$$
Logo:
$$Z_C=\dfrac{\frac{k}{i\omega C}e^{i\omega t}}{ke^{i\omega t}}=\dfrac{1}{i\omega C}$$
$$\rightarrow Z_C=-\dfrac{i}{\omega C}$$
$$(III)$$ Impedância do indutor:
A tensão no indutor é:
$$V_L=L\dfrac{d\overline{I}}{dt}=i\omega L k\cdot e^{i\omega t}$$
Logo:
$$Z_L=\dfrac{i\omega L k\cdot e^{i\omega t}}{ke^{i\omega t}}$$
$$\rightarrow Z_L=i\omega L$$
Como utilizar a impedância
Como vimos que existe uma função linear nesses componentes complexos podemos tratå-los como se fossem resistores, inclusive podendo utilizar as associações em série e paralelo.
Tomemos o exemplo do circuito $$RLC$$ apresentado anteriormente.
Qual a amplitude de tensão no indutor?
Trabalharemos com a visão complexa do circuito:
$$\overline{V}=Z_R\cdot \overline{I}+Z_L\cdot \overline{I}+Z_C\cdot \overline{I}$$
$$V_o\cdot e^{i\omega t}=\left (R+i\omega L-\frac{i}{\omega C}\right)\cdot \overline{I}$$
$$ \overline{I}=\dfrac{V_o}{R+i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}e^{i\omega t}$$
A tensão complexa no indutor será $$\overline{V_L}=Z_L\cdot \overline{I}$$.
$$\overline{V_L}=\dfrac{i\omega L V_o}{R+i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}e^{i\omega t}$$
A tensão no indutor é $$V_L=Re(\overline{V_L})$$:
$$V_L=\dfrac{\left|i\omega L V_o\right|}{\left|R+i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\right|}\cos{(\omega t +\frac{\pi}{2}-\theta)}$$; onde $$\theta=\tan^{-1}{\left(\dfrac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}\right)}$$
$$V_L=\dfrac{\omega L V_o}{\sqrt{R^2+\left( \omega L -\frac{1}{\omega C}\right)^2}}\cdot \cos{(\omega t +\frac{\pi}{2}-\theta)}$$
Portanto, a amplitude de oscilação no indutor é:
$$A=\dfrac{\omega L V_o}{\sqrt{R^2+\left( \omega L -\frac{1}{\omega C}\right)^2}}$$
Perceba que conseguimos encontrar a amplitude da tensão no indutor em apenas 7 passos, muito menos do que se fossemos resolver a EDO no mundo real.
Filtros de tensão
A ideia de Impedância é bastante utilizada para a construção de filtros de tensão. Esse filtros permitem maiores tensões para determinadas tensões dependendo dos componentes utilizados em sua construção.
Considere dois componentes $$X_1$$ e $$X_2$$, cujas impedâncias são $$Z_1$$ e $$Z_2$$ respectivamente, conectados em série a uma tensão alternada $$V=V_t\cos{(\omega t)}$$.
Sendo $$V_o$$ a amplitude da tensão componente $$X_2$$, qual seu valor em função das demais informações?
Essa resolução torna-se bastante rápida utilizando a ideia de Impedância.
$$\overline{V}=V_te^{i\omega t}$$
$$\overline{V}=Z_1\overline{I}+Z_2\overline{I}$$
$$\overline{I}=\dfrac{V_t}{Z_1+Z_2}\cdot e^{i\omega t}$$
A tensão complexa em $$X_2$$ será:
$$\overline{V_2}=Z_2\overline{I}=\dfrac{Z_2}{Z_1+Z_2}\cdot V_te^{i\omega t}$$
Sabemos que $$Z_2=\left|Z_2\right|\cdot e^{i\alpha}$$ e $$Z_1+Z_2=\left|Z_1+Z_2\right|\cdot e^{i\beta}$$. Portanto:
$$\overline{V_2}=\dfrac{\left|Z_2\right|}{\left|Z_1+Z_2\right|}V_t\cdot e^{i(\omega t+\alpha -\beta)}$$
$$V_2=Re(\overline{V_2})=\dfrac{\left|Z_2\right|}{\left|Z_1+Z_2\right|}V_t\cos{(\omega t+\alpha -\beta)}$$
Vemos, portanto, que a amplitude de oscilação é:
$$V_o=\dfrac{\left|Z_2\right|}{\left|Z_1+Z_2\right|}V_t$$
Os três filtros mais comuns são os filtros: “passa-alta”, “passa-baixa”, e “passa-média”.
$$(I)$$ Filtro passa-baixa:
No filtro passa-baixa $$X_1$$ é um resistor e $$X_2$$ é um capacitor, ou seja, $$Z_1=R$$ e $$Z_2=-\dfrac{i}{\omega C}$$. Logo:
$$V_o=\dfrac{\left|-\frac{i}{\omega C}\right|}{\left|R-\frac{i}{\omega C}\right|}V_t$$
$$V_o=\dfrac{\frac{1}{\omega C}}{\sqrt{R^2+\frac{1}{\omega^2C^2}}}V_t$$
Esboçando o gráfico de $$V_o$$ em função de $$\omega$$ temos:
Perceba que quanto menores os valores de $$\omega$$ maiores os valores de $$V_o$$, por isso o filtro é chamado de passa-baixa, pois para as baixas frequências ele tem maior abertura.
$$(II)$$ Filtro passa-alta:
No filtro passa-alta $$X_1$$ é um resistor e $$X_2$$ é um indutor, logo, $$Z_1=R$$ e $$Z_2=i\omega L$$. Portanto:
$$V_o=\dfrac{\left|i\omega L\right|}{\left|R+i\omega L\right|}V_t$$
$$\rightarrow V_o=\dfrac{\omega L}{\sqrt{R^2+\omega^2L^2}}V_t$$
Esboçando o gráfico de $$V_o$$ em função de $$\omega$$ obtemos:
Perceba que quanto maiores os valores de $$\omega $$ maiores os valores de $$V_o$$, por isso o filtro é chamado de passa-alta, pois há uma maior abertura para as frequências altas.
$$(III)$$ Filtro passa-média:
O filtro passa-média é uma combinação entre os filtros passa-baixa e passa-alta. Nele $$X_1$$ é a associação de um capacitor e um indutor em série e $$X_2$$ é um resistor, ou seja, $$Z_1=i\omega L-\dfrac{i}{\omega C}$$ e $$Z_2=R$$.
$$V_o=\dfrac{\left|R\right|}{\left|R+i\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega c}\right) \right|}V_t$$
$$\rightarrow V_o=\dfrac{R}{\sqrt{R^2+\left( \omega L -\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}V_t$$
Para $$\omega \rightarrow 0$$, $$V_o\rightarrow 0$$. Para $$\omega \rightarrow \infty$$, $$V_o \rightarrow 0$$.
A função possui valor máximo para $$\omega=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$$ e esse valor é $$V_o=V_t$$
Chegamos ao seguinte esboço para $$V_o$$ em função de $$\omega$$.
Perceba que para os valores de $$\omega$$ nas proximidades de $$\omega_o=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$$ há uma maior abertura para a tensão.
Esse tipo de filtro pode ser utilizado na produção de rádios por exemplo, visto que para uma determinada frequência haverá a passagem de informação por ele.
Para memorizar
1 – Potência média:
Para o circuito $$RLC$$ apresentado no início dessa ideia, calcule a potência média irradiada pelo resistor por efeito Joule.
2 – Associação diferente:
Para $$\omega=377$$ rad/s, calcule a corrente no resistor de $$12\Omega$$ em função do tempo. A voltagem de entrada tem amplitude $$5V$$.
3 – Associação diferente 2 (Electricity and Magnetism Morin/Purcell):
O circuito abaixo tem dois indutores iguais de indutância $$L$$ e um resistor de resistência $$R$$. A frequência da fonte de voltagem, $$\varepsilon = \varepsilon_{0} \cos \omega t$$, é escolhida para ser $$\omega = \dfrac{R}{L}$$.
a) Qual é a impedância complexa equivalente do circuito? Dê isso em termos de $$R$$ somente.
b) Se a corrente total que passa pelo circuito é escrita como $$I_{0} \cos \left(\omega t + \phi\right)$$, quais os valores de $$I_{0}$$ e $$\phi$$?
c) Qual a potência média dissipada no circuito?
4 – Ponte equilibrada (Olimpíadas Russas)
Uma ponte de Wheatstone é utilizada para medir a capacitância $$C_{2}$$ em paralelo a uma resistência $$r_{2}$$. A ponte está em equilíbrio quando a fonte de voltagem fornece uma voltagem harmônica alternada. Além disso, o equilíbrio permanece mesmo que o valor da frequência da fonte mude. Determine $$C_{2}$$ e $$r_{2}$$ sabendo que $$r_{1}=2500 \, \Omega$$, $$r_{3}=10 \, \Omega$$, $$L_{3}=1 \, \text{H}$$ e $$r_{4}=800 \, \Omega$$.
5 – Associação diferente 3 (Electricity and Magnetism Morin/Purcell)
O circuito abaixo tem dois indutores iguais de indutância $$L$$ e um resistor de resistência $$R$$. A frequência da fonte de voltagem, $$\varepsilon = \varepsilon_{0} \cos \omega t$$, é escolhida para ser $$\omega = \dfrac{1}{RC}$$.
a) Qual é a impedância complexa equivalente do circuito? Dê isso em termos de $$R$$ somente.
b) Se a corrente total que passa pelo circuito é escrita como $$I_{0} \cos \left(\omega t + \phi\right)$$, quais os valores de $$I_{0}$$ e $$\phi$$?
c) Qual a potência média dissipada no circuito?
6 – Cadeia Infinita (200 More Puzzling Physics Problems)
Encontre a impendância elétrica equivalente entre os terminais $$A$$ e $$B$$ mostrados na figura, para uma corrente de frequência alternada $$\omega$$. A cadeia “infinita” consiste de um um grande número de unidades idênticas, cada uma consistindo de um indutor de indutância $$L$$ e um capacitor de capacitância $$C$$. É possível a impedância equivalente ter dois valores diferentes?
