Escrito por Vinicius Névoa
As origens de um mundo não clássico
A necessidade da mecânica quântica surge quando tentamos aplicar os preceitos da mecânica clássica e da eletrodinâmica clássica a sistemas atômicos, e nos deparamos com resultados em óbvio conflito com a realidade. Provavelmente, o primeiro grande exemplo disso é a previsão clássica de que os elétrons emitiriam radiação eletromagnética ao orbitarem os núcleos de seus átomos, o que por si só tornaria impossível a existência de qualquer matéria agregada, algo que espero que você já tenha se convencido do contrário experimentalmente.
Mas então, como sequer começaríamos a construir um mundo diferente do nosso clássico? Bem, existem duas respostas: a histórica, que é organizada pela cronologia dos desenvolvimentos da quântica, e a teórica, que é organizada pelos passos lógicos desse desenvolvimento. Aqui, por conveniência, escolheremos uma abordagem teórica. Desde já, me desculpo se fui mais breve do que deveria.
Se a motivação para essa teoria é experimental, nada mais justo do que começar por um fato experimental:
- Um feixe de elétrons, ao incidir sobre uma tela impermeável com duas fendas, sofre interferência tal como uma onda clássica sofreria.
A consequência direta disso é que, seja lá o que for um elétron em sua essência, sua dinâmica não pode possuir nem posição nem trajetória bem definidas. Essa é a origem de toda a diferença entre o clássico e o quântico, é o pedra fundamental do mundo microscópico. Então, as características de um sistema quântico serão determinadas por uma função, até agora arbitrária, chamada de função de onda, que é definida em todos os pontos do espaço:
$$\Psi=\Psi(r,t)$$
Agora, é necessário que haja algo análogo a uma equação de movimento para $$\Psi$$ obedecer. Eis que surge a equação de Schrödinger. Embora haja uma forte motivação para a forma dessa equação, ela é, invariavelmente, um postulado. Em uma dimensão (denotada por $$x$$) e para uma “partícula” de massa $$m$$:
$$i \hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = – \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V(x) \Psi$$
Para aliviar um pouco o desconfortável gosto de mistério que um postulado tão importante deixa, me sinto na obrigação de dizer de onde ele veio: O mundo quântico nasce onde o mundo clássico acaba, e isso quer dizer que, de alguma forma, a mecânica clássica é um caso limite da mecânica quântica. Algo semelhante ocorre na ligação entre a ótica física e a ótica geométrica, uma vez que no limite em que o comprimento de onda da luz se torna desprezível em relação as dimensões do sistema, a ótica física converge para a ótica geométrica.
Na ótica física, um parâmetro que descreve um campo eletromagnético (o componente $$x$$ do campo $$\vec{E}$$, digamos) é sempre da forma $$A e^{i \phi}$$, em que $$A$$ é uma amplitude real e $$\phi$$ uma fase real. O que ocorre no limite da ótica geométrica? A amplitude $$A$$ é praticamente constante e a fase $$\phi$$ assume valores muito grandes (se convença disso).
Na ótica geométrica, o que determina a trajetória do raio de luz é o Princípio de Fermat, que equivale a dizer que a diferença de fase entre o início e o final do raio de luz é mínima (ou máxima). Mas isso lembra muito o Princípio de Hamilton, não? (esse princípio diz que de todas as trajetórias possíveis de uma partícula clássica, a que ela toma é a que minimiza a ação, no mesmo espírito do princípio de Fermat, mas nesse caso a ação é em termos da energia da partícula). Então faremos um paralelismo entre uma “ação” e a fase $$\phi$$: $$S=constante \times \phi$$.
Se quisermos que a mecânica quântica seja completa, é preciso que a função de onda em um tempo futuro $$\Psi(r,t)$$ seja determinada pela função de onda em um dado instante $$\Psi(r,0)$$. Mais ainda, o princípio da superposição é virtualmente onipresente na física, então é justo assumir uma relação que seja linear em $$\Psi$$:
$$\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{L} \Psi$$
Em que $$\hat{L}$$ é um operador linear, até então indeterminado, que vai conter toda a física do sistema. Eis o pulo do gato: e se identificarmos o termo $$\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}$$ com a derivada temporal de $$A e^{i \phi}$$ no limite geométrico?
$$\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = A \dfrac{\partial \phi}{\partial t} \Psi $$
$$\hat{L} \sim \dfrac{\partial \phi}{\partial t} \sim \dfrac{\partial S}{\partial t}$$
Adivinhe que quantidade clássica é exatamente $$\dfrac{\partial S}{\partial t}$$? Exatamente ela, a função hamiltoniana! E é essa sequência de paralelismos e analogias a melhor tentativa de ilustrar o nascimento da mecânica quântica: ela nasce de princípios de mínima ação. Mais para frente vamos ver porque o operador Hamiltoniano assume a forma $$- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V(x) \Psi$$.
Quer dizer então que a mecânica quântica, em toda sua glória, é, literalmente, uma ramificação da óptica geométrica? Errrrr, são primas distantes…
A função de onda
Ao dizer que uma “partícula quântica” não possui trajetória, definimos uma função $$\Psi$$. O que é essa função? Se a partícula não tem trajetória, então que tipo de quantidade poderia representá-la? O que poderia defina-la?
Uma possível resposta é uma distribuição de probabilidades. Oras, se eu não posso dizer se o elétron “está” ali ou acolá, que eu pelo menos seja capaz de atribuir a cada ponto do espaço uma probabilidade. Isso também é consistente com a ideia de que o elétron se espalha pelo espaço. Então, definimos a interpretação de Born:
$$P(x | a <x<b) = \displaystyle{\int \limits_{a}^{b} |{\Psi (x,t)}|^2 dx}$$
Em palavras, a probabilidade de a partícula estar entre os pontos $$a$$ e $$b$$ (lembrem-se de que toda essa teoria unidimensional generaliza de forma óbvia para 3 dimensões) é a integral do quadrado do módulo da função de onda entre tais pontos. Isso significa que, nesse instante, uma medição do elétron (por um fotosensor, digamos) retornaria o elétron entre $$a$$ e $$b$$ com probabilidade dada pela fórmula acima. Nesse argumento, surge uma das maiores problemáticas do século XX: imediatamente antes da medição, onde estava a partícula? A resposta mais aceita é: ela não “estava”. Ela não tinha posição definida, isto é, não é nossa incompetência em não saber onde ela estava, e sim que ela não estava em nenhum ponto específico. A partícula estava espalhada pelo espaço, e ao ser medida, acabou, por acaso, no ponto em que foi detectada, mas poderia muito bem ter acabado em algum outro lugar, com suas respectivas probabilidades.
Agora que iluminamos mais o significado da função $$\Psi$$, vamos voltar para a equação de Schrödinger:
$$i \hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t} = – \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V(x) \Psi$$
Perceba que toda a física de uma situação é determinada por uma função potencial $$V(x)$$, que codifica toda a informação sobre o ambiente em que $$\Psi(x,t)$$ evolui. Resta, então, resolver essa equação. E, a parte de alguns elementos especiais como spin, a mecânica quântica praticamente se encerra nessa frase. Contudo, para qualquer situação real, a função $$V(x)$$ torna essa equação quase impossível de resolver, e para superar esse desafio, surgem inúmeros artifícios, dos quais o primeiro é a seguinte ideia, a separação de variáveis:
$$\Psi(x,t)=\psi(x) \phi(t)$$
Ou seja, vamos decompor a função de onda em um produto de uma função apenas do espaço com uma outra função apenas do tempo. Isso soa extremamente restritivo, e da a impressão que forçar essa condição nos fará perder inúmeras soluções para a equação acima. De fato, mas mais para frente as resgataremos. Substituindo e separando as funções em cada lado:
$$i \hbar \psi(x) \dfrac{\partial \phi(t)}{\partial t} = – \dfrac{\hbar^2}{2m} \phi(t) \dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + V(x) \psi(x) \phi(t)$$
$$i \hbar \dfrac{1}{\phi(t)} \dfrac{\partial \phi(t)}{\partial t} = -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{1}{\psi(x)} \dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + V(x)$$
Como o lado esquerdo é independente do direito, para essa igualdade ocorrer, ambos devem se igualar a um número constante, que por conveniência chamaremos de $$E$$ (você já deve imaginar onde isso vai parar…):
$$i \hbar \dfrac{1}{\phi(t)} \dfrac{\partial \phi(t)}{\partial t} = E$$
$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} + V(x) \psi(x) = E \psi(x)$$
A primeira equação pode ser resolvida imeadiatamente, pois não depende de $$V(x)$$:
$$\phi(t) = e^{- i \dfrac{E}{\hbar} t}$$
Vou omitir a amplitude uma vez que podemos anexá-la ao $$\psi(x)$$. Então definimos o operador Hamiltoniano:
$$\hat{H}= -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} + V(x) $$
$$\hat{H} \psi(x) = E \psi(x)$$
Essa equação imeadiatamente acima é a famosa equação de Schrödinger independente do tempo, isso por que o fator temporal $$e^{- i \dfrac{E}{\hbar} t}$$ foi “descascado”. Antes de fazermos nossos primeiros exercícios, falta uma última peça: a equação acima geralmente possui várias soluções $$\psi_{n}(x)$$, que constituem uma família de funções ortogonais. Naturalmente, cada uma dessas soluções possui sua própria constante de separação $$E_{n}$$:
$$\hat{H} \psi_{n}(x) = E_{n} \psi(x)$$
Cada uma dessas soluções $$\psi_{n}(x) e^{- i \dfrac{E_{n}}{\hbar} t}$$ é chamada de estado estacionário, isso porque as probabilidades e valores esperados são independentes do tempo.
Assim, vale:
$$\Psi_{n}(x,t) = \psi_{n}(x) e^{- i \dfrac{E_{n}}{\hbar} t}$$
Como todas as equações envolvidas são lineares em $$\Psi(x,t)$$ (isto é, não há termos como $$\Psi^2$$), a solução geral é uma combinação linear:
$$\Psi(x,t) = \displaystyle{ \sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} \psi_{n}(x) e^{- i \dfrac{E_{n}}{\hbar} t}}$$
A solução geral acima já não é mais estacionária.
Mas calma, o que são funções ortogonais? Da mesma forma que o produto interno de dois vetores ortogonais é nulo, funções ortogonais são tais que:
$$\displaystyle{\int \psi_{n}^{*}(x) \psi_{m}(x) dx}=0$$ para $$m \neq n$$
Acima, o asterisco denota a conjugação complexa (em geral temos funções de números complexos). A integral acima é descrita pela notação de braket como: $$\left \langle \psi_{n}(x) | \psi_{m}(x) \right \rangle$$. Inteprete isso como o componente de $$\psi_{n}(x)$$ ao longo da “direção” de $$\psi_{m}(x)$$.
Normalizando a função de onda
Uma partícula, mesmo que quântica, deve estar em algum lugar. Por isso, uma restrição física sobre a função de onda é que a probabilidade de encontrar a partícula em algum lugar deve ser 1. Geralmente, essa condição de normalização determina um fator multiplicativo que precede a função de onda. Matematicamente, a função obtida acima deve ser multiplicada por uma constante apropriada para que valha:
$$\displaystyle{\int \limits_{-\infty}^{\infty} |{\Psi (x,t)}|^2 dx} = 1$$
Somente funções de onda normalizáveis corresposdem a estados fisicamente realizáveis. Mais para frente, veremos exemplos de funções de onda não normalizáveis. O primeiro exemplo que me vem é a função de onda de uma particula livre com energia bem definida (tente você mesma): significa que isso não pode existir (nesse caso isso ocorre devido ao princípio da incerteza, que veremos mais adiante).
Vale lembrar que $$|{\Psi (x,t)}|^2 = \Psi^{*}(x) \Psi(x)$$, e devido a essa conjugação, os fatores dependentes do tempo se cancelam. Disso vem um resultado muito importante:
Uma função de onda normalizada em um dado instante do tempo sempre estará normalizada em qualquer outro instante do tempo
Duas consequências nascem disso: precisamos normalizar a função de onda apenas uma vez e as probabilidades globais se conservam.
Combinação linear de estados estacionários
Agora, lembra de quando falamos que resgataríamos todas as soluções possíveis? Então, é um fato matemático que qualquer função pode ser escrita como uma combinação linear de funções ortogonais. Logo, a equação acima se torna, enfim, a solução mais geral possível. Só nos resta determinar os coeficientes $$c_{n}$$, e para isso vamos usar o fato das funções serem ortogonais junto a uma condição inicial em $$t=0$$:
$$\Psi(x,0)=\displaystyle{ \sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} \psi_{n}(x)}$$
Multiplicando os dois lados por $$\psi_{m}^{*}(x)$$ e integrando:
$$\displaystyle{ \int\Psi(x,0)\psi_{m}^{*}(x) dx}=\displaystyle{\int \sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} \psi_{m}^{*}(x) \psi_{n}(x) dx}$$
Como os estados estacionários são ortogonais, o único termo que sobrevive à integração do lado direito é o termo $$m=n$$. Portanto:
$$\displaystyle{ \int\Psi(x,0)\psi_{m}^{*}(x) dx}= c_{m }\displaystyle{\int \psi_{m}^{*}(x) \psi_{n}(x) dx}$$
$$c_{m} = \dfrac{\displaystyle{ \int\Psi(x,0)\psi_{m}^{*}(x) dx}}{\displaystyle{\int \psi_{m}^{*}(x) \psi_{m}(x) dx}}$$.
Finalmente, isso determina a função de onda do sistema. Recapitulando:
$$\hat{H}= -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} + V(x) $$
$$\hat{H} \psi_{n}(x) = E_{n} \psi(x)$$
$$c_{m} = \dfrac{\displaystyle{ \int \limits_{-\infty}^{\infty} \Psi(x,0)\psi_{m}^{*}(x) dx}}{\displaystyle{\int \limits_{-\infty}^{\infty} \psi_{m}^{*}(x) \psi_{m}(x) dx}}$$.
$$\Psi(x,t) = \displaystyle{ \sum \limits_{n=0}^{\infty} c_{n} \psi_{n}(x) e^{- i \dfrac{E_{n}}{\hbar} t}}$$
Dessa forma, construimos uma solução geral para a equação de Schrödinger de uma partícula em uma dimensão. Nos encontramos na próxima ideia.
Até logo!