Física – Ideia 34

Escrito por Vinicius Névoa

 

O poço quadrado infinito e as condições de contorno

O poço quadrado infinito é, muitas vezes, o exemplo que inaugura a apresentação do aparato matemático desenvolvido na parte 1 dessa introdução. Ele é definido pelo seguinte potencial $V(x)$:

Em palavras, ele é nulo no poço e infinito em todas as suas adjacências. Isso nos permite escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula de massa $m$ dentro do poço como:

$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} = E \psi$

 Cujas soluções são da forma:

$\psi(x) = A \sin(k x +\phi)$

$k=\dfrac{\sqrt{2 m E}}{\hbar}$

Você deve ter percebido que faltam informações, não é? Como determinar $A$? E $\phi$? E principalmente o $k$, afinal de contas o $E$ continua sendo uma constante desconhecida. Eis que entram as condições de contorno:

1. A função de onda é sempre contínua no espaço, ou seja $\psi(x)$ não possui descontinuidades do tipo salto.
2. A primeira derivada da função de onda $\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)$ também é contínua, salvo em casos (artificias) em que $V(x)$ diverge.

A primeira condição se deve ao fato de que, se $\psi(x)$ fosse descontínua, haveria ambiguidade na probabilidade de achar a partícula na posição $x$ da descontinuidade; como essa probabilidade é mensurável e bem definida, então $\psi(x)$ deve ser contínua.

A segunda condição é mais sutil, e vem da integração da equação de Schrödinger:

$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \displaystyle{\int \limits_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} \dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} dx}=\displaystyle{\int \limits_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} (E - V(x)) \psi dx}$

No limite em que $\epsilon \rightarrow 0$, o lado esquerdo é simplesmente a variação da primeira derivada de $\psi$ imediatamente antes e imediatamente depois de $x$:

$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \Delta \left( \dfrac{\partial \psi(x)}{\partial x} \right)=\displaystyle{\int \limits_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} (E - V(x)) \psi dx}$

Veja que sempre que $E-V(x)$ for finito, como se prova verdade em toda situação real, a integral do lado direito é nula por conta da continuidade de $\psi(x)$, implicando o que queríamos mostrar:

$\Delta \left( \dfrac{\partial \psi(x)}{\partial x} \right) = 0$

Agora vamos retornar da nossa digressão direto para o fundo do poço. Como o potencial fora do poço é infinito, a função de onda nessas regiões é nula. Logo, a primeira condição nos diz que $\psi(0)=\psi(L)=0$. Lembre-se que:

$\psi(x) = A \sin(k x +\phi)$

$k=\dfrac{\sqrt{2 m E}}{\hbar}$

A primeira igualdade rende que $\phi=0$ e a segunda rende algo muito significativo:

$kL=n \pi$  $\Rightarrow$ $E_{n}=\dfrac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2 m L^2}$

Vamos por em palavras o que acabou de acontecer: as condições de contorno da função de onda obrigaram a energia do sistema a ser quantizada! Cada número natural $n$ rende um nível de energia para a partícula. Agora vamos tratar do fator $A$: ele vem na normalização da função de onda, de modo que a probabilidade total de achar a partícula no poço seja 1.

$\displaystyle{\int \limits_{0}^{L} A^2 \sin^2(kx) dx} = 1$ $\Rightarrow$ $A=\sqrt{\dfrac{2}{L}}$.

Agora, note que achamos uma solução para cada nível de energia $n$, e, como dissemos no artigo anterior, a solução geral é uma combinação linear da seguinte família de funções de onda:

$\psi_{n}(x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left(\dfrac{n \pi x}{L} \right)$

Vamos ilustrar um exemplo. Suponha que, no instante inicial, valha que $\Psi(x,0) =\sqrt{\dfrac{30}{L^{5}}} x(L-x)$. Já forneci a expressão normalizada, por isso o fator numérico. Note que essa função de onda é nulo no início e no final do poço, como deveria. Qual a probabilidade da partícula ser medida em um nível de energia $n$?

Note que como já normalizamos as funções onda de cada nível de energia, não precisamos mais do denominador na expressão para achar os coeficientes $c_{n}$:

$c_{n} = \displaystyle{ \int \limits_{0}^{L} \sqrt{\dfrac{30}{L^{5}}} x(L-x) \psi_{n}(x) dx}$.

$c_{n} = \displaystyle{ \int \limits_{0}^{L} \sqrt{\dfrac{30}{L^{5}}} x(L-x) \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left(\dfrac{n \pi x}{L} \right) dx}$.

Resolvendo a integral:

$c_{n}= 0$ para $n$ par

$c_{n}= \dfrac{8 \sqrt{15}}{(\pi n)^{3}}$ para $n$ ímpar

Isso significa que a probabilidade da partícula estar no estado fundamental $n=1$ em qualquer tempo futuro é de cerca de $99,85\%$ (Isso é dado por $c^{2}_{1}$).