Escrito por Vinicius Névoa
O poço quadrado infinito e as condições de contorno
O poço quadrado infinito é, muitas vezes, o exemplo que inaugura a apresentação do aparato matemático desenvolvido na parte 1 dessa introdução. Ele é definido pelo seguinte potencial :
Em palavras, ele é nulo no poço e infinito em todas as suas adjacências. Isso nos permite escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula de massa dentro do poço como:
Cujas soluções são da forma:
Você deve ter percebido que faltam informações, não é? Como determinar ? E ? E principalmente o , afinal de contas o continua sendo uma constante desconhecida. Eis que entram as condições de contorno:
- A função de onda é sempre contínua no espaço, ou seja não possui descontinuidades do tipo salto.
- A primeira derivada da função de onda também é contínua, salvo em casos (artificias) em que diverge.
A primeira condição se deve ao fato de que, se fosse descontínua, haveria ambiguidade na probabilidade de achar a partícula na posição da descontinuidade; como essa probabilidade é mensurável e bem definida, então deve ser contínua.
A segunda condição é mais sutil, e vem da integração da equação de Schrödinger:
No limite em que , o lado esquerdo é simplesmente a variação da primeira derivada de imediatamente antes e imediatamente depois de :
Veja que sempre que for finito, como se prova verdade em toda situação real, a integral do lado direito é nula por conta da continuidade de , implicando o que queríamos mostrar:
Agora vamos retornar da nossa digressão direto para o fundo do poço. Como o potencial fora do poço é infinito, a função de onda nessas regiões é nula. Logo, a primeira condição nos diz que . Lembre-se que:
A primeira igualdade rende que e a segunda rende algo muito significativo:
Vamos por em palavras o que acabou de acontecer: as condições de contorno da função de onda obrigaram a energia do sistema a ser quantizada! Cada número natural rende um nível de energia para a partícula. Agora vamos tratar do fator : ele vem na normalização da função de onda, de modo que a probabilidade total de achar a partícula no poço seja 1.
.
Agora, note que achamos uma solução para cada nível de energia , e, como dissemos no artigo anterior, a solução geral é uma combinação linear da seguinte família de funções de onda:
Vamos ilustrar um exemplo. Suponha que, no instante inicial, valha que . Já forneci a expressão normalizada, por isso o fator numérico. Note que essa função de onda é nulo no início e no final do poço, como deveria. Qual a probabilidade da partícula ser medida em um nível de energia ?
Note que como já normalizamos as funções onda de cada nível de energia, não precisamos mais do denominador na expressão para achar os coeficientes :
.
.
Resolvendo a integral:
para par
para ímpar
Isso significa que a probabilidade da partícula estar no estado fundamental em qualquer tempo futuro é de cerca de (Isso é dado por ).