Escrito por Vinicius Névoa
O poço quadrado infinito e as condições de contorno
O poço quadrado infinito é, muitas vezes, o exemplo que inaugura a apresentação do aparato matemático desenvolvido na parte 1 dessa introdução. Ele é definido pelo seguinte potencial $$V(x)$$:
Em palavras, ele é nulo no poço e infinito em todas as suas adjacências. Isso nos permite escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula de massa $$m$$ dentro do poço como:
$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} = E \psi$$
Cujas soluções são da forma:
$$\psi(x) = A \sin(k x +\phi)$$
$$k=\dfrac{\sqrt{2 m E}}{\hbar}$$
Você deve ter percebido que faltam informações, não é? Como determinar $$A$$? E $$\phi$$? E principalmente o $$k$$, afinal de contas o $$E$$ continua sendo uma constante desconhecida. Eis que entram as condições de contorno:
- A função de onda é sempre contínua no espaço, ou seja $$\psi(x)$$ não possui descontinuidades do tipo salto.
- A primeira derivada da função de onda $$\left( \dfrac{\partial \psi}{\partial x} \right)$$ também é contínua, salvo em casos (artificias) em que $$V(x)$$ diverge.
A primeira condição se deve ao fato de que, se $$\psi(x)$$ fosse descontínua, haveria ambiguidade na probabilidade de achar a partícula na posição $$x$$ da descontinuidade; como essa probabilidade é mensurável e bem definida, então $$\psi(x)$$ deve ser contínua.
A segunda condição é mais sutil, e vem da integração da equação de Schrödinger:
$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \displaystyle{\int \limits_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} \dfrac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} dx}=\displaystyle{\int \limits_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} (E – V(x)) \psi dx}$$
No limite em que $$\epsilon \rightarrow 0$$, o lado esquerdo é simplesmente a variação da primeira derivada de $$\psi$$ imediatamente antes e imediatamente depois de $$x$$:
$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \Delta \left( \dfrac{\partial \psi(x)}{\partial x} \right)=\displaystyle{\int \limits_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} (E – V(x)) \psi dx}$$
Veja que sempre que $$E-V(x)$$ for finito, como se prova verdade em toda situação real, a integral do lado direito é nula por conta da continuidade de $$\psi(x)$$, implicando o que queríamos mostrar:
$$\Delta \left( \dfrac{\partial \psi(x)}{\partial x} \right) = 0$$
Agora vamos retornar da nossa digressão direto para o fundo do poço. Como o potencial fora do poço é infinito, a função de onda nessas regiões é nula. Logo, a primeira condição nos diz que $$\psi(0)=\psi(L)=0$$. Lembre-se que:
$$\psi(x) = A \sin(k x +\phi)$$
$$k=\dfrac{\sqrt{2 m E}}{\hbar}$$
A primeira igualdade rende que $$\phi=0$$ e a segunda rende algo muito significativo:
$$kL=n \pi$$ $$\Rightarrow$$ $$E_{n}=\dfrac{\pi^2 \hbar^2 n^2}{2 m L^2}$$
Vamos por em palavras o que acabou de acontecer: as condições de contorno da função de onda obrigaram a energia do sistema a ser quantizada! Cada número natural $$n$$ rende um nível de energia para a partícula. Agora vamos tratar do fator $$A$$: ele vem na normalização da função de onda, de modo que a probabilidade total de achar a partícula no poço seja 1.
$$\displaystyle{\int \limits_{0}^{L} A^2 \sin^2(kx) dx} = 1$$ $$\Rightarrow$$ $$A=\sqrt{\dfrac{2}{L}}$$.
Agora, note que achamos uma solução para cada nível de energia $$n$$, e, como dissemos no artigo anterior, a solução geral é uma combinação linear da seguinte família de funções de onda:
$$\psi_{n}(x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left(\dfrac{n \pi x}{L} \right)$$
Vamos ilustrar um exemplo. Suponha que, no instante inicial, valha que $$\Psi(x,0) =\sqrt{\dfrac{30}{L^{5}}} x(L-x)$$. Já forneci a expressão normalizada, por isso o fator numérico. Note que essa função de onda é nulo no início e no final do poço, como deveria. Qual a probabilidade da partícula ser medida em um nível de energia $$n$$?
Note que como já normalizamos as funções onda de cada nível de energia, não precisamos mais do denominador na expressão para achar os coeficientes $$c_{n}$$:
$$c_{n} = \displaystyle{ \int \limits_{0}^{L} \sqrt{\dfrac{30}{L^{5}}} x(L-x) \psi_{n}(x) dx}$$.
$$c_{n} = \displaystyle{ \int \limits_{0}^{L} \sqrt{\dfrac{30}{L^{5}}} x(L-x) \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left(\dfrac{n \pi x}{L} \right) dx}$$.
Resolvendo a integral:
$$c_{n}= 0$$ para $$n$$ par
$$c_{n}= \dfrac{8 \sqrt{15}}{(\pi n)^{3}}$$ para $$n$$ ímpar
Isso significa que a probabilidade da partícula estar no estado fundamental $$n=1$$ em qualquer tempo futuro é de cerca de $$99,85\%$$ (Isso é dado por $$c^{2}_{1}$$).