Física - Ideia 37

Escrito por Wanderson Faustino Patricio

Relembrando os princípios dos números complexos

Antes de começarmos a analisar os princípios físicos por trás da ótica física, precisamos relembrar alguns princípios dos números complexos para compreender o método utilizado para essa prova.

Representando complexos em um plano

Consideremos a notação para a unidade imaginária como sendo: $i=\sqrt{-1}$.

Seja um número complexo $z$ da forma:

$z=a+bi$; $a$, $b$ $\in \mathbb{R}$

Representemos esse número como um vetor em um plano complexo bidimensional.

Nesse plano complexo, podemos trabalhar com nosso número como se fosse um vetor comum em um plano cartesiano.

Esse vetor possui um comprimento, o conhecido módulo do vetor, e ele possui uma declinação em relação ao eixo real do plano complexo. Seja o módulo do complexo $\rho$, e a inclinação $\theta$ ($0\leq \theta<2\pi$).

Utilizando as relações trigonométricas:

$\cos{\theta}=\dfrac{a}{\rho}$ e $\sin{\theta}=\dfrac{b}{\rho}$

$\rightarrow \rho=\sqrt{a^2+b^2}$ e $\theta=\arctan{\left(\dfrac{b}{a}\right)}$

Reorganizando o nosso número complexo temos:

$z=a+i\cdot b=\rho \cdot cos{\theta}+i\cdot \rho \sin{\theta}$

$\rightarrow z=\rho(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$

Notação de Euler

Consideremos as duas funções complexas a seguir:

$f(x)=e^{ix}$ e $g(x)=\cos{x}+i\sin{x}$; $x \in \mathbb{R}$

Para $x=0$ temos:

$f(0)=e^{i\cdot 0}=e^0=1$ e $g(0)=\cos{0}+i\sin{0}=1$

Tirando as derivadas de ambas as funções:

I) $\dfrac{df}{dx}=i\cdot e^x \rightarrow \dfrac{df}{dx}=i\cdot f$

II) $\dfrac{dg}{dx}=-\sin{x}+i\cos{x}$

Como $i^2=-1$:

$\dfrac{dg}{dx}=i^2\sin{x}+i\cos{x}=i(\cos{x}+i\sin{x}) \rightarrow \dfrac{dg}{dx}=i\cdot g$

Unindo as duas equações chegamos a:

$\dfrac{df}{f}=\dfrac{dg}{g}$

$\displaystyle \int \dfrac{df}{f}=\displaystyle \int \dfrac{dg}{g}$

$\ln{f}=\ln{g}+C$

Para $x=0$, $f=g=1$

$\ln{1}=\ln{1}+C \rightarrow C=0$

$\rightarrow \ln{f(x)}=\ln{g(x)}$

$\rightarrow f(x)=g(x)$

Com isso chegamos a famosa fórmula de Euler:

$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$

Voltando ao nosso número complexo original, vemos que podemos representar nosso vetor no plano complexo como:

$z=\rho\cdot e^{i\theta}$

Onde $\rho$ é o módulo do nosso vetor, e $\theta$ é a inclinação em relação ao eixo real.

Portanto, vemos que a parte real de $\rho \cdot e^{i\theta}$ é $\rho \cos{\theta}$.

Aplicando os princípios complexos à ótica física

Você deve estar se perguntando agora: "como eu vou unir os princípios físicos ao mundo complexo?"

Sabemos que a luz é uma associação entre um campo elétrico e um magnético, oscilantes e perpendiculares entre si.

Ambos os campos seguem a equação de onda. considerando o movimento em apenas uma direção, a nossa equação de onda fica:

$\dfrac{d^2\vec{E}}{dx^2}=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{d^2\vec{E}}{dt^2}$ e $\dfrac{d^2\vec{B}}{dx^2}=\dfrac{1}{v^2}\dfrac{d^2\vec{B}}{dt^2}$

Os nossos campos, portanto, ficarão na forma:

$\vec E=E_0\cos{(kx-\omega t+\varphi)}\hat z$ e $\vec B=B_0\cos{(kx-\omega t+\varphi)}\hat y$

O módulo dos nossos campos possuem uma relação, essa relação é dada por:

$E_0=cB_0$

Onde $c$ é a velocidade da luz no vácuo ($c=3\cdot 10^8$ $m/s$).

Percebemos que a influência do campo magnético é insignificante em relação à influência do campo elétrico. Portanto, consideraremos apenas o campo elétrico.

Considere o vetor no campo complexo:

$E=E_0\cdot e^{i(kx-\omega t+\varphi)}$

A parte real do nosso vetor é:

$Re(E)=E_0\cos{(kx-\omega t+\varphi)}$

Podemos considerar, portanto, o nosso vetor como sendo um vetor no plano complexo, pois as características das operações com os nossos vetores continuam as mesmas (viu agora que nós conseguimos interpretar nosso campo elétrico como um vetor no plano complexo? hehehe).

Vejamos como fica o nosso estudo com os vetores complexos.

Considere duas ondas luminosas, paralelas entre si, com diferença de fase $\Delta \varphi$ (constante) entre elas, sendo sobrepostas em um anteparo;

Duas ondas "gerais"

1º Método: Soma de cossenos

Sejam as duas ondas $\vec{E}_1$ e $\vec{E}_2$:

$\vec E_1=E_0\cos{(kx-\omega t+\varphi)}\hat z$ e $\vec E_2=E_0\cos{(kx-\omega t+\varphi+\Delta \varphi)}\hat z$

O campo resultante será a soma dos outros dois vetores:

$\vec E_R=\vec E_1+\vec E_2=E_0\cos{(kx-\omega t+\varphi)}\hat z+E_0\cos{(kx-\omega t+\varphi+\Delta \varphi)}\hat z$

Sabemos que: $\cos A+\cos B=2\cos{\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}\cos{\left(\dfrac{A-B}{2}\right)}$

$\vec E_R=2E_0\cos{\left(\dfrac{(kx-\omega t+\varphi)+(kx-\omega t+\varphi+\Delta \varphi)}{2}\right)}\cos{\left(\dfrac{(kx-\omega t+\varphi)-(kx-\omega t+\varphi+\Delta \varphi)}{2}\right)}$

$\vec E_R=2E_0\cos{\left(\dfrac{\Delta \varphi}{2}\right)}\cos{\left(kx-\omega t+\varphi+\dfrac{\Delta \varphi}{2}\right)}\hat z$

I) Para que a intensidade luminosa seja máxima, o módulo do campo resultante deve ser máximo, visto que a intensidade é proporcional ao campo ao quadrado (para todo par ordenado $(x,t)$). Portanto:

$\cos{\left(\dfrac{\Delta \varphi}{2}\right)}=\pm 1$

$\dfrac{\Delta \varphi}{2}=m\pi$

$\rightarrow \Delta \varphi=2m\pi$; $m \in \mathbb{Z}$

II) Para que a intensidade luminosa seja mínima, o módulo do campo resultante deve ser mínimo:

$\cos{\left(\dfrac{\Delta \varphi}{2}\right)}=0$

$\dfrac{\Delta \varphi}{2}=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\pi$

$\rightarrow \Delta \varphi=(2m+1)\pi$; $m \in \mathbb{Z}$

Esse método pode ser um pouco chato, porque há muitas contas durante a prova. Mas vejamos o segundo método.

2º Método: Vetor complexo

Sabemos que uma diferença de argumento implica numa diferença de ângulo entre os vetores no plano complexo.

Podemos ver que se $\vec E_1$ e $\vec E_2$ sâo paralelos, o módulo do campo resultante será máximo.

Para a intensidade máxima:

$\Delta \varphi=2m\pi$; $m\in \mathbb{Z}$

Se os vetores são antiparalelos o módulo do campo resultante será zero.

Para a intensidade mínima:

$\Delta \varphi=(2m+1)\pi$; $m\in \mathbb{Z}$

Percebemos que a análise gráfica dos vetores torna as coisas bem mais simples.

Fenda dupla

Considere um onda luminosa de comprimento de onda $\lambda$, difratando em um conjunto com duas fendas separadas por uma distância $a$, e se sobrepondo em um anteparo, o qual está a uma distância $L$ das fendas ($L \gg a \gg \lambda$).

Como a distância até o anteparo é muito grande, podemos considerar que as ondas que saem da fenda estão paralelas.

As ondas ao entrarem nas fendas estão com fases iguais, porém, ao se locomoverem até o anteparo, as distâncias que cada onda percorre é diferente, resultando em uma diferença de fase.

A fase para cada uma das ondas é:

$\theta=kx-\omega t+\varphi$

Como o tempo para as duas ondas é o mesmo, só ocorre diferença no caminho. A diferença na fase é, portanto:

$\Delta \varphi=k\Delta x$

A diferença de caminho entre as duas ondas será:

$\Delta x=a\sin{\theta}$

$\rightarrow \Delta \varphi=k\cdot a\sin{\theta}$

Como vimos anteriormente, para a intensidade máxima:

$\Delta \varphi=k\cdot a\sin{\theta}=2m\pi$

$\dfrac{2\pi}{\lambda}a\sin{\theta}=2m\pi$

$\sin{\theta}=\dfrac{m\lambda}{a}$

Como $\lambda \ll a$, $\sin{\theta}\approx \tan{\theta}=\dfrac{y}{L}$.

$\dfrac{m\lambda}{a}=\dfrac{y}{L}$

$y_m=m\cdot \dfrac{\lambda L}{a}$

Mas você pode estar pensando: "não é necessário aprender isso, eu posso fazer as contas".

Para um conjunto de dois vetores dá realmente para fazer de uma forma aproximadamente simples. Mas e para um conjuntos de 4,5, ou 10 vetores? Não é nada fácil somar 10 funções cosseno.

Difração em fenda única

Considere uma onda luminosa com intensidade $I_0$ difratando em um sistema com uma única fenda. Como a intensidade no anteparo se relaciona com a posição angular?

Considere que a abertura da fenda é $b$.

O módulo do campo elétrico que entra é $E_0$. A intensidade é:

$I_0=\alpha E_0^2$

Para a resolução, consideraremos que a onda que entra, são várias ondas com amplitude de campo $E'=\dfrac{E_0}{N}$, com $N$ tendendo ao infinito.

A distância entre as duas ondas é:

$a=\dfrac{b}{N}$

Como visto anteriormente, a diferença de fase entre duas ondas consecutivas é:

$\Delta \varphi=k\cdot a \sin{\theta}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\dfrac{b}{N}\sin{\theta}$

$\rightarrow \Delta \varphi=\dfrac{2\pi b}{N\lambda}\cdot \sin{\theta}$

Guardemos o valor de $\dfrac{2\pi b}{\lambda}\cdot \sin{\theta}$ como $\beta$.

Representando os $N$ vetores no plano complexo:

Parece um pouco bagunçado o desenho, mas somente duas partes são realmente importantes:

Podemos ver que:

$\sin{\dfrac{\Delta \varphi}{2}}=\dfrac{\dfrac{E'}{2}}{R}$ e $\sin{\dfrac{N\cdot \Delta \varphi}{2}}=\dfrac{\dfrac{E_R}{2}}{R}$

$\rightarrow E_R=E' \cdot \dfrac{\sin{\left(\dfrac{N \cdot \Delta \varphi}{2}\right)}}{\sin{\left( \dfrac{\Delta \varphi}{2}\right)}}$

Como o nosso valor de $N$ tende ao infinito:

$\sin{\left( \dfrac{\Delta \varphi}{2}\right)}=\sin{\left(\dfrac{1}{N}\dfrac{\beta}{2}\right)} \approx \dfrac{\beta}{2N}$

Colocando os valores:

$E_R=\dfrac{E_0}{N}\dfrac{\sin{\left(N\cdot \dfrac{\beta}{2N}\right)}}{\dfrac{\beta}{2N}}$

$\rightarrow E_R=E_0\cdot \dfrac{\sin{\left( \dfrac{\beta}{2}\right)}}{\left(\dfrac{\beta}{2}\right)}$

A intensidade da onda na parede é:

$I=\alpha E_R^2=\alpha E_0^2\left(\dfrac{\sin{\left( \dfrac{\beta}{2}\right)}}{\left(\dfrac{\beta}{2}\right)}\right)^2$

Portanto:

$I(\theta)=I_0\left(\dfrac{\sin{\left( \dfrac{\pi b}{\lambda}\sin{\theta}\right)}}{\left(\dfrac{\pi b}{\lambda}\sin{\theta}\right)}\right)^2$

Ainda prefere fazer essas contas somando cossenos?

Para Memorizar

Questão 01) Basicamente aplicar a fórmula

Cinco ondas luminosas (intensidade $I_0$) são sobrepostas em um anteparo:

$\vec E_1=E_0\cos{(kx-\omega t)}\hat z$

$\vec E_2=2E_0\cos{\left(kx-\omega t+\dfrac{\pi}{4}\right)}\hat z$

$\vec E_3=3E_0\cos{\left(kx-\omega t+\dfrac{\pi}{2}\right)}\hat z$

$\vec E_4=4E_0\cos{\left(kx-\omega t+\dfrac{3\pi}{4}\right)}\hat z$

$\vec E_5=5E_0\cos{\left(kx-\omega t+\pi\right)}\hat z$

Qual é a intensidade da onda resultante?

Questão 02) "Essa questão é de geometria?"

Cosidere um sistema de difração com três fendas. A separação entre a primeira e a segunda fenda é $a$, e entre a segunda e a terceira é $b$. Mostre que a intensidade mínima de difração é zero, se e somente se $\dfrac{a}{b}=\dfrac{m}{n}$ tal que $m-n$ é múltiplo de 3.

Questão 03) É muito trabalho

Uma grade de difração é montada com $N$ fendas retangulares de largura $b$ (e comprimento infinito), sendo $a$ a distância entre elas. Existe um anteparo a uma distância $D \gg Na \gg \lambda$, paralelo ao plano da grade. Primeiramente, responda aos itens a seguir:

a) Ache o padrão de intensidade no anteparo quando uma onda  plana monocromática de comprimento de onda $\lambda$ e intensidade $I_{0}$ incide em uma única fenda.

b) Ache o padrão de intensidade no anteparo quando uma onda  plana monocromática de comprimento de onda $\lambda$ e intensidade $I_{0}$ incide na grade toda.

Agora, cada fenda conterá um polarizador linear em um certa direção. Imagine que o primeiro polarizador polariza a onda na direção vertical, o segundo polariza em uma direção que faz um ângulo $\Delta \phi$ com a vertical, o terceiro $2 \Delta \phi$, e assim por diante, até que o último volta a polarizar na vertical.

c) Ache o padrão de intensidade no anteparo quando uma onda plana monocromática de comprimento de onda $\lambda$ e intensidade $I_{0}$ incide na grade com polarizadores.

Questão 04) Interferência tripla

Considere que em um ponto do espaço existam simultaneamente três ondas:

$\vec E_1=E_0\cos{(kx-\omega t)}\hat z$

$\vec E_2=3\sqrt{2}E_0\cos{(kx-\omega t+\theta)}\hat z$

$\vec E_3=4E_0\cos{(kx-\omega t)}\hat z$

Para qual valor de $\theta$ (entre $0$ e $\dfrac{\pi}{2}$) a diferença de fase entre a onda resultante e a primeira é $\dfrac{\pi}{4}$?

Questão 05) Isso é meio repetitivo

Duas ondas tranversais de mesma frequência ($f=100s^{-1}$) sâo produzidas em uma fio de aço de $1$ $mm$ de diâmetro e densidade volumétrico $8$ $g/cm^3$, submetido a uma tensão $t=500N$. As ondas são dadas por:

$y_1=A\cos{\left(kx-\omega t+\dfrac{\pi}{6}\right)}$ e $y_2=2A\cos{(kx-\omega t)}$; onde $A=2$ $mm$

a) Escreva a expressão da onda harmônica progressiva resultante da superposição dessas duas ondas.

b) Calcule a intensidade da onda resultante.

c) Se fizermos variar a diferença de fase entre as duas ondas, qual é a região entre os valores máximo e mínimo possíveis da intensidade da resultante?