Lista 04 - Circuitos AC - Seletiva

Escrita por Vinicius Névoa

1) Guitarra desafinada

Um circuito consiste de uma fonte de tensão da forma $V_{0} \cos \omega t$ em série com um interruptor $S$, um resistor $R$ e um indutor ideal $L$. Esse circuito faz parte do sistema elétrico de uma guitarra, e portanto é esperado que não possua correntes transientes que mudem o som almejado pelo guitarrista. Para realizar isso, a guitarra possui um mecanismo que fecha o interruptor $S$ um certo tempo $\Delta t$ após a fonte de tensão ser ativada em $t=0$.

a) Ache $\Delta t$ em função dos parâmetros do problema para gerar um som limpo. Qual a tensão da fonte nesse instante?

b) Um defeito na soldagem dos componentes dessa guitarra faz com que haja uma resistência adicional imprevista $r$ nesse circuito. Ache a intensidade da corrente transiente que surge em função disso quando $S$ é fechado. Qual o valor da indutância a ser adicionada para corrigir esse defeito (não se preocupe em mudar a amplitude da corrente)?

 

2) Uma linha de transmissão especial

Um fio metálico cilíndrico retilíneo de comprimento $L$ extremamente grande e raio $b$ possui resistividade $\rho$, e suas extremidade estão ligadas a uma fonte de tensão alternada $V_{0} \cos \omega t$ (o contato é feito por um eletrodo que encosta em toda a área de secção transversal do fio). Assuma que a corrente elétrica que percorre o fio é uniformemente distribuída ao longo de sua secção transversal, e que o fio não é ferromagnético. Use nos itens abaixo quaisquer constantes da natureza eventualmente necessárias, considere a condutividade do ar nula. Nessa linha de transmissão, a corrente vai por um fio até a cidade e volta da cidade pelo fio ao lado.

 

a) Calcule a energia armazenada nos campos magnéticos e a partir disso determine a autoindutância do fio. Use apenas a energia associada ao campo magnético dentro do fio na sua conta e justifique o porquê.

b) Escreve a equação diferencial para a corrente $i(t)$ no circuito. A resistência e indutância equivalentes estão em série ou em paralelo? Justifique e desenhe as linhas de campo elétrico induzidas cujo trabalho corresponde a energia magnética armazenada.

c) Assuma que a corrente está no estado estacionário e resolva para $i(t)$.

d) Atribua valores razoáveis para os parâmetros do problema ($L$ é da ordem de dezenas de quilômetros) e comente sobre a potência dissipada pela linha de transmissão. Caso o fio tivesse uma permeabilidade $\mu$ muito alta e a mesma resistividade, isso ajudaria ou não a companhia elétrica responsável por essa linha de transmissão? Justifique e dê um exemplo numérico da razão de gastos (uma porcentagem aproximada é o bastante). Esboce gráficos sempre que possível.
Use $\rho = 1,7 *10^{-8} \Omega m$.

3) Uma questão clássica

Determine todas as frequências naturais do circuito abaixo. Faça uso das desigualdades fortes $C_{1}<<C_{2}$ e $L_{1}<<L_{2}$.

 

4) Um circuito que vaza

Considere um circuito que está em um meio levemente condutor, de modo que parte da corrente escape dos fios e se perca. Seja a condutividade do meio $\sigma$ pequena, de modo que a corrente total que escapa dos fios de raio $s$ é bem menor que a corrente que os percorre. Seja um circuito $RLC$ forçado por uma fonte de tensão  $V_{0} \cos \omega t$. Imagine que o resistor se conecta diretamente à fonte de tensão, o indutor se conecta ao resistor por um fio reto de comprimento $w$, o capacitor se conecta ao indutor por outro fio reto de comprimento $w$, e o outro polo da fonte se conecta de novo no capacitor. Determine o fator de qualidade desse circuito e sua frequência de ressonância de corrente.

 

5) Carregando uma moeda

Uma moeda de raio $R$ e espessura $h$ possui um eletrodo cilíndrico fixado em um ponto em sua borda. Sabendo que a moeda possui resistividade $\rho$ e que o raio do eletrodo é $r<<R$, responda:

a) Ache a posição e a intensidade da corrente no eletrodo imagem fora da moeda que satisfaz as condições de contorno na borda.

b) Considerando que todo o acúmulo de cargas na moeda ocorre nas bordas, ache a capacitância da moeda caso outro eletrodo seja cravado no meio do caminho entre o da borda e o centro da moeda, com uma diferença de potencial $V_{0}$ em relação ao da borda.

c) Essa moeda é posta em paralelo com um indutor $L$ e uma fonte de tensão $V_{0} \cos \omega t$. Ache a frequência de ressonância do sistema.

6) Dando zoom em um circuito

Um circuito $LC$ em série tem elementos de geometria arbitrária. Se todas as dimensões lineares do circuito aumentarem por um fator $\gamma$, qual será a nova frequência de ressonância?

7) Circuito LC-Zener

Seja inicialmente um circuito $LC$ em série com um interruptor. O interruptor é aberto e uma carga $q_{0}$ é dada ao capacitor. Então, o interruptor é fechado.

a) Desenhe um diagrama de fase no espaço $I-q$ que representa o estado do sistema. Inclua os parâmetros quantitativos relevantes no seu diagrama.

Um diodo Zener é um diodo bi-direcional: para voltagens positivas maiores que um certo $V_{d}$ ele deixa passar corrente, a para voltagens negativas menores que um certo $-V_{b}$ ele deixa passar corrente no outro sentido. Não passa corrente alguma para $-V_{b}<V<V_{d}$. Para o nosso caso, considere que $V_{d}=V_{b}$. Esse diodo é conectado em série com o indutor, o capacitor e o interruptor. Uma carga positiva $q_{0}>CV_{d}$ é dada ao capacitor e o interruptor é fechado.

b) Desenhe o diagrama de fases $I-q$ para esse circuito. Qual a condição para que a corrente seja nula para sempre?

c) Ache o tempo $T$ que leva para a corrente se tornar nula e o circuito parar. Dica: divida a situação em dois casos.

8) Que fase!

Esse circuito serve para controlar a fase do sinal de saída, marcado como output na figura. Se a corrente de saída for muito pequena, qual a diferença de fase $\Delta \phi$ obtida?

 

9) Pulso em malha infinita

Uma malha infinita como a da figura acima é alimentada por uma fonte de tensão $V_{0} \cos \omega t$ conectada entre o fios superior e o inferior. Uma diferença de fase $\phi$ se desenvolverá entre capacitores sucessivos.

a) Calcule essa diferença de fase e determine a velocidade de propagação do pulso se cada célula tem comprimento $l$.

Agora, consideremos células alternadas: Uma célula tem componentes $L_{1}$ e $C_{1}$ e a seguinte tem $L_{2}$ e $C_{2}$, e assim sucessivamente.

b) Determine a fração da energia do pulso refletido entre as células $n$ e $n+1$ em função de $I_{n}$, que é a corrente no indutor da célula $n$. Desconsidere pulsos refletidos mais de uma vez.

c) Qual é a atenuação do pulso? Exprima isso como a quantidade $N_{crit}$ de células necessárias para a amplitude do sinal cair por um fator de 10.

d) Explique qualitativamente o porquê desse sistema atrapalhar o fluxo de energia mesmo sem possuir resistência alguma.

 

10) O trabalho de um coração

Um circuito $RLC$ possui elementos resistivos e reativos, o que faz com que calcular a potência dissipada seja uma tarefa mais sutil. Faremos aqui uma analogia muito elementar (e incorreta, já que envolve pressões negativas) com um sistema circulatório em que os vasos sanguíneos podem ser modelados por um circuito $RLC$. Assuma que o período de um ciclo cardíaco é mais do que suficiente para o escoamento se tornar quase-estacionário, isto é, a todo instante o escoamento é momentaneamente estacionário.

a) Um vaso com comprimento $L$, raio $s$ possui uma queda de pressão $\Delta P$ entre suas extermidades. Se o sangue escoar laminarmente e possuir uma viscosidade $\eta$ e densidade $\rho$, defina uma resistência hidráulica $R_{h}$ como $\Delta P=R_{h} Q$, em que $Q$ é o fluxo de sangue (em massa). Ache $R_{h}$.

b) Quando uma certa pressão sanguínea $P$ age sofre o vaso, ele se expande radialmente, armazenando energia potencial elástica. Se a espessura da parede do vaso vale $e$ e seu módulo de Young vale $Y$, ache uma capacitância equivalente, $C_{h}$.

c) Identifique a energia cinética do fluido em um certo trecho como sendo a energia armazenada no indutor correspondente. Ache uma expressão para a indutância equivalente, $L_{h}$.

Primeiramente, vamos analisar o circuito em que um único vaso de comprimento total $L$ vai e volta do coração, que será tratado como um fonte de pressão simplificada $P_{0} \cos \omega t$. Considere que o raio que figura na resistência hidráulica é constante.

d) Ache o trabalho feito pelo coração sobre o sangue em um ciclo. Use os valores numéricos: $\rho=1100 \dfrac{kg}{m^{3}}$, $\eta=3,3 \dfrac{m^2}{s}$, $s = 0.002 m$, $L=1 m$, $Y = 1 MPa$, $e=0,0005 m$, $P_{0} = 1 atm$ e $\omega= 8 \dfrac{rad}{s}$.

e) Ache a energia dissipada por ciclo nesse sistema. Qual é o fator de qualidade $Q_{f}$ desse oscilador?

f) Se, ao invés de um único vaso, tivéssemos $N$ vasos iguais e de comprimento $\dfrac{L}{N}$, o fator de qualidade seria maior ou menor?

g) Calcule o fluxo de sangue na ressonância de energia potencial do sistema e na ressonância de energia cinética do sistema circulatório. Se a oxigenação dos tecidos for uma função linear do fluxo de sangue, determine a magnitude da arritmia cardíaca $\Delta \omega$ para que a oxigenação caia pela metade.

 

Boa Sorte!!