Lista 05 - Óptica - Seletiva

Escrita por Vinicius Névoa

1) Lente GRIN

Uma lente GRIN radial (GRadient in the INdex of refraction) é aquela em que o material possui um índice de refração dado por $n(r)$. Considere uma lente dessas que tenha uma distância focal $f$, e que consiste em um disco de espessura constante $d$.

a) Determine de forma exata o valor do índice de refração a uma distância $r$ do centro dessa lente, se $n(0)=n_{max}$.

b) Faça a simplificação correspondente a raios paraxiais e ache uma função aproximada para $n(r)$.

 

2) Difração da lente GRIN

Quando uma onda plana monocromática de comprimento de onda $\lambda$ incide em uma lente GRIN como a da questão anterior, ela sofre difração devido ao tamanho finito da lente, que será considerada um disco de raio $R$. Existe um anteparo a uma distância $D>>R>>\lambda$, paralelo ao plano da lente. Determine o padrão de intensidade no anteparo e resolução angular entre o máximo central e o primeiro máximo de intensidade (o famoso critério de Rayleigh).

Use que $J_{0}(u)= \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle{ \int \limits_{0}^{2\pi} e^{iu\cos x} dx}$ é a função de Bessel do primeiro tipo e de ordem zero, e que vale a identidade: $uJ_{1}(u)= \dfrac{1}{2\pi} \displaystyle{ \int \limits_{0}^{u} xJ_{0}(x) dx}$, em que $J_{1}(u)$ é a função de Bessel de ordem um.

3) Grade de difração com polarizadores

Uma grade de difração é montada com $N$ fendas retangulares de largura $b$ (e comprimento infinito), sendo $a$ a distância entre elas. Existe um anteparo a uma distância $D>>Na>>\lambda$, paralelo ao plano da grade. Primeiramente, responda aos itens a seguir:

a) Ache o padrão de intensidade no anteparo quando uma onda  plana monocromática de comprimento de onda $\lambda$ e intensidade $I_{0}$ incide em uma única fenda.

b) Ache o padrão de intensidade no anteparo quando uma onda  plana monocromática de comprimento de onda $\lambda$ e intensidade $I_{0}$ incide na grade toda.

Agora, cada fenda conterá um polarizador linear em um certa direção. Imagine que o primeiro polarizador polariza a onda na direção vertical, o segundo polariza em uma direção que faz um ângulo $\Delta \phi$ com a vertical, o terceiro $2 \Delta \phi$, e assim por diante, até que o último volta a polarizar na vertical.

c) Ache o padrão de intensidade no anteparo quando uma onda plana monocromática de comprimento de onda $\lambda$ e intensidade $I_{0}$ incide na grade com polarizadores.

 

4) Uma questão de coerência

Já parou para pensar que é muito difícil observar franjas de interferência nas luzes do nosso dia-a-dia? Isso é porque, em geral, essas luzes possuem uma banda de comprimento de onda  que se alonga um tanto $\Delta \lambda$ para cima e para baixo de um comprimento de onda médio $\lambda$. Essa fonte, então, se torna incoerente. Em uma linguagem mais precisa, após se passar um certo tempo chamado de tempo de coerência, as fases de dois dados feixes de luz não portam correlação estatística.

a) Estime o tempo de coerência dessa luz quando em um meio de índice de refração $n$.

b) Estime o comprimento de coerência da luz do sol em função de sua temperatura $T$, considerando que ele emite luz como um corpo negro.

 

5) E para todas as cores, uma única imagem

Um método elementar mas bastante útil de se remover a aberração cromática de uma lente ideal é usando uma associação de duas lentes, a primeira de raios de curvatura $r_{1}$ e $r_{2}$ e a segunda de $R_{1}$ e $R_{2}$. Essas lente são delgadas e tem seus centro separados por uma distância $d$.

a) Ache a relação entre os índices de refração dessas lentes para que não haja aberração cromática longitudinal.

b) Ainda assim, haverá aberração cromática transversal. Qual a área do menor halo possível quando o sistema de lentes é iluminado por um fonte policromática que vai de $\lambda_{1}$ a $\lambda_{2}$?

Use que $n(\lambda)=n_{0}+ \dfrac{A}{\lambda^2}$.

 

 

6) Película quase perfeita

Pode-se reduzir o reflexo em um vidro  de índice de refração $n_{v}$ depositando sobre ele uma película fina de um material mais opticamente denso de índice $n_{p}$ e espessura $h$. Contudo, nem mesmo esse método é perfeito. Determine a menor intensidade possível a ser refletida por esse sistema quando luz de comprimento de onda $\lambda$ incide normalmente na película.

 

7) Trabalho de detetive I

Fazendo medidas na imagem abaixo, determine o diâmetro da lente (suposta ideal) da câmara que tirou essa foto. Considere que o plano da lente é paralelo à régua.

8) Trabalho de detetive II

Um fotógrafo focou sua câmera a uma distância $L$ (ele faz isso alterando a distância entre a lente e o sensor). Curiosamente, ele nota que todos os objetos mais distantes que $L$ estão perfeitamente nítidos (as imagens de objetos pontuais são menores que um pixel). Ao mesmo tempo, todos os objetos entre $s$ e $L$ também estão nítidos, com $s<L$. Sabendo que o diâmetro da lente é $D$, que o tamanho de um pixel do sensor é $\epsilon$, e a distância focal da lente é $f$ responda:

a) Qual o menor $L$ possível?

b) Ache o $s$ correspondente.

9) Imagens relativísticas

 

a) A lei de reflexão por um espelho ideal não é a mesma quando esse se move com velocidades relativísticas, pois o momento do fóton na direção paralela ao espelho é conservado no referencial em que o espelho está em repouso. Considere um espelho que se aproxima de um objeto pontual $o$ com velocidade $v$ perpendicular ao seu plano. A uma certa distância $L$ desse objeto, há um observador estacionário $O$, tal que a reta $Oo$ é paralela ao plano do espelho. Ache a imagem de $o$ vista por $O$ em um tempo $t$, se em $t=0$ o espelho colide com $o$.

b) Uma câmara escura de profundidade $D$ capta a imagem de uma barra de comprimento $L$ que viaja com velocidade relativística $v$ em uma reta paralela ao plano do pinhole e a uma distância $H$ deste. Qual a razão $\dfrac{L_{imagem}(-\infty)}{L_{imagem}(+\infty)}$ entre o comprimento da imagem da barra quando ela está muito longe e vindo em direção à câmara e quando ela está muito longe e indo embora?

 

9) Fotografando buracos negros - técnicas de reconstrução de imagens distantes

É muito comum no estudo da óptica que se tenha que reconstruir a posição de lentes baseado na geometria dos pares objeto-imagem que ela conjuga. Considere no exemplo abaixo objetos e imagens planas conjugados por uma lente ideal que está em um plano perpendicular ao deles.

a) Um objeto plano é um círculo de raio $r$ e sua imagem é uma elipse de excentricidade $e$ e $\dfrac{1}{N}$ vezes a área que o objeto. O eixo principal da elipse imagem faz um ângulo $\theta$ com a reta que liga o centro do círculo ao centro da elipse, como na figura abaixo. Determine o plano da lente e o valor de sua distância focal.

 

Outro tipo de reconstrução ótica é a análise de um sinal de luz que chega de uma fonte muito distante, a ponto de que é difícil discernir sua amplitude. Porém, é muitas vezes possível medir a correlação entre a fase do sinal em diferentes pontos. Captando ondas incidentes em diferentes locais, um conjunto de vários de radiotelescópios é capaz de construir imagens de objetos muito distantes, como a do buraco negro publicada em 2019.

 

A formação dessa imagem se baseia em um teorema chamado Teorema de Van Cittert-Zernike, que iremos provar nessa questão. O teorema diz:

Seja dois planos paralelos muito distantes e perpendiculares a linha de visada, um chamado plano fonte e outro plano de observação. Se um objeto contido no plano fonte for uma fonte de luz incoerente, vale que:

$\Gamma_{12}(u,v)=\displaystyle{ \iint I(l,m) e^{-2\pi i (ul+vm)} dl dm}$

Em que $\Gamma_{12}$ é função de coerência entre dois pontos (1 e 2) do plano de observação, $I(l,m)$ é a intensidade que vem de uma certa direção do plano fonte, $l$ e $m$ são os cossenos diretores do ponto médio entre esses pontos e um dado ponto do plano fonte que especificam essa direção, e $u$ e $v$ são as distâncias entre os pontos 1 e 2 em unidades de comprimento de onda $\lambda$. A função de coerência mútua é uma medida da correlação entre a fase da luz que chega nos pontos 1 e 2, dada por:

$\Gamma_{12}(\tau)=\overline{E_{1}(t)E^{*}_{2}(t-\tau)}$

 

b) Explique, em termos qualitativos, por que a luz de uma fonte completamente incoerente (como são todos os objetos astronômicos a exceção de pulsares e quasares) vai adquirindo coerência a medida que viaja grande distâncias, a ponto de esperarmos medir uma coerência significativa no plano de observação.

c) Para um dado ponto do plano fonte, identificado por coordenadas $(X,Y)$, escreva os campos $E_{1}$ e $E_{2}$ nos pontos $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ do plano de observação registrados em um mesmo instante no tempo. Esses dois planos são paralelos e distam $R$.

d) Escreva a função de coerência mútua, $\Gamma_{12}$ usando que a separação entre 1 e 2 é muito pequena para fazer diferença na amplitude da onda. Interprete a intensidade $I$ em termos das amplitudes das ondas.

e) Prove que $R_{2}-R_{1}=\dfrac{2\pi c}{\omega} (ul+vm)$.

Integrando essa expressão resultante sobre toda a fonte, chegamos no teorema de Van Cittert-Zernike.

f) Grosseiramente, esboce a função de coerência mútua detectada que resultou na imagem do buraco negro acima.