Lista 2 - Eletrodinâmica Clássica

Escrita por Vinicius Névoa

Nessa lista proporei algumas questões que abordam aspectos fundamentais da eletrodinâmica, e de como ela é vista em olimpíadas.

1) Impureza em condutores

Um meio condutor homogêneo de condutividade elétrica $\sigma$ se encontra sujeito a um campo elétrico uniforme $E_{0}$. Em um certo ponto nesse meio, existe uma impureza esférica de raio $R$ e condutividade $\sigma'$. Ache a densidade superficial de carga $s(\theta)$ que se acumula na superfície da impureza e a densidade de corrente dentro dela.

2) Canudo eletrostático

Um capacitor é formado por duas cascas cilíndricas concêntricas de raios $a$ e $b$ e comprimento $L$, havendo inicialmente apenas vácuo entre elas. Uma diferença de potencial constante $V$ é mantida por uma bateria conectada entre as placas. Esse capacitor é posto em contato com um líquido de densidade $\rho$ e constante dielétrica $\epsilon$, de modo que uma coluna de líquido sobe verticalmente até uma altura $H$, contra a aceleração gravitacional que vale $g$. Forneça a expressão para $H$.

3) Um gás de elétrons peculiar

Considere um material dielétrico uniforme de constante $\epsilon$ que ocupa todo o semi-espaço abaixo do plano $XY$ (isto é, $z<0$), acima do qual há vácuo. Existe nesse material um gás de elétrons que não interagem entre si e que pode ser tratado como ideal, cada elétron com massa $m$ e temperatura $T$.

a) Calcule a força agindo em um elétron em função de $z$, por conta das cargas de polarização.

b) Encontre a densidade do gás de elétrons em função da altura, $n(z)$, em função da densidade em uma certa altura $n(z_{0})$.

5) Sequência de itens independentes:

a) Use o vetor de Poynting para provar explicitamente que a energia em um capacitor ao final do seu carregamento é $\dfrac{CV^2}{2}$

b) Um imã em barra de área de seção transversal $A$ e magnetização uniforme $M$ ao longo de seu comprimento adere com uma força $F$ a um plano de alta permeabilidade magnética quando encosta neste com sua face reta. Estime $F$.

c) Prove que a indutância mútua entre um par de indutores satisfaz $M \leq \sqrt{L_{1}L_{2}}$

d) Prove que um par de ondas eletromagnéticas polarizadas perpendicularmente entre si não sofrem interferência.

6) Histerese de novo

Uma esfera ferromagnética de raio $R$ possui uma relação constitutiva não linear entre $B$ e $H$ dada pela curva de histerese abaixo, e sua magnetização é sempre uniforme:

Para o que se segue, assuma que o trecho ACD pode ser aproximado pelo segmento de hipérbole $B(H)=B_{s}-\dfrac{1}{H+B_{r}}$.

a) Ache a densidade de energia magnética em um certo ponto em função de $\vec{B}$ e $\vec{H}$. Assuma apenas que esses vetores apontam na mesma direção (isotropia).

Até agora, tratamos dos campos dentro da esfera. Agora, vamos ligar um campo externo $\vec{B}_{0}$ e ver quais os campos ele induz lá dentro.

b) Justifique o porquê de podermos usar um potencial escalar magnético para descrever o campo magnético em todo o espaço.

c) Adote que $\vec{H}=-\nabla \phi_{m}$ e resolva a equação de Laplace para relacionar os campos dentro da esfera ($B_{in}$ e $H_{in}$)  em função de $\vec{B}_{0}$. Essa equação deve ser uma reta no plano $B-H$.

Em um certo momento, o campo externo é aumentando até que a magnetização da esfera atinja 90% do seu valor de saturação (ponto A da figura). Então, o campo externo diminui até que ${B_{in}=0}$ (ponto D na figura), em que existe apenas uma magnetização remanescente.

d) Qual a variação de energia magnética na esfera nesse processo? Qual a variação do campo externo $\Delta\vec{B}_{0}$? Despreze a energia que escapa pela superfície pelo vetor de Poynting.

e) Caso a esfera não fosse ferromagnética, mas sim tivesse um relação linear entre $B$ e $H$ com a permeabilidade sendo a permeabilidade média ao longo do processo $ACD$, qual teria sido a variação da energia interna? Ela é maior ou menor?

 

7) Arrastando a luz

Uma onda eletromagnética linearmente polarizada incide normalmente em um cilindro de vidro de índice de refração $n$ e comprimento $L$. Esse cilindro de material linear gira ao redor do seu eixo com velocidade angular constante $\Omega$. Qual terá sido o desvio angular do plano de polarização da luz $\Delta\phi$ quando ela emergir do outro lado? As velocidades não são relativísticas e a permeabilidade magnética do vidro é igual a do vácuo.

Dica: a relação constitutiva linear entre $\vec{D}$ e $\vec{E}$ vale apenas no referencial em que os átomos do meio estão em repouso.

8) O brilho dos metais

Nessa questão, você descobrirá o porquê dos metais terem um aspecto brilhante. Consideraremos um feixe de luz de frequência monocromática $\omega$ e polarizada vindo do vácuo e incidindo normalmente em uma superfície metálica de condutividade $\sigma$, permissividade $\epsilon$ e permeabilidade $\mu$. Considere que esse condutor possui carga líquida nula.

a) Prove que a escala de tempo em que acúmulos locais de carga se difundem pelo material é bem menor que o período da onda eletromagnética em frequências ópticas.

b) Use a lei de Ohm para incoporar a corrente livre causada pelo campo elétrico da onda que se propaga no metal, assuma que $\rho=0$. Escreva aqui as quatro equações de Maxwel, e, usando que $\nabla\times\nabla\times\vec{E}=-\nabla^2\vec{E}+\nabla(\nabla\cdot\vec{E})$, resolva para o campo elétrico dentro do metal.

Esse campo elétrico decai exponencialmente dentro do metal, e por isso eles geralmente são corpos opacos para frequências ópticas. A distância característica que a luz penetra no metal é a profundidade de penetração.  Veja como ela depende da frequência da onda, e tente se convencer de como o raio - X funciona

c) Use as condições de contorno apropriadas para achar a relação entre os campos elétricos imediatamente dentro e imediatamente fora da superfície. Qual fração da energia é refletida?

d) É fácil ver que, no limite de um condutor perfeito, toda a energia é refletida. Explique fisicamente as razões qualitativas para isso.

 

9) O motor monopolar e campos de quadrupolo

Nessa questão, faremos um tratamento exato do mais simples motor monopolar possível: um imã esférico girante com terminais elétricos entre seu polo e seu equador. Extrai-se potência elétrica do sistema as custas de sua energia cinética rotacional.

Seja uma esfera de raio $R$, magnetização uniforme $M$ e velocidade angular $\omega$ ao longo da direção da magnetização. A esfera é eletricamente neutra, perfeitamente condutora e seu movimento é não-relativístico. Você pode usar que o campo magnético dentro de uma esfera uniformemente magnetizada é $B=\dfrac{2\mu_{0}M}{3}$. Uma dica para essa questão é usar que $\hat{s}=sin\theta\hat{r}+cos\theta\hat{\theta}$ é o vetor que aponta radialmente a partir do eixo $\theta=0$.

a) Considerando que não há correntes fluindo, ache o campo elétrico dentro da esfera. Use a lei de Gauss para provar que há uma densidade de carga dada por $\rho=-\dfrac{4M\omega}{3c^2}$. Use que

$\nabla\cdot\vec{E}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial(r^2E_{r})}{\partial r}+\dfrac{1}{rsin\theta}\dfrac{\partial(sin\theta E_{\theta})}{\partial\theta} + \dfrac{1}{r \sin \theta}\dfrac{\partial E_{\phi}}{\partial \phi}$

Existe uma carga superficial igual e de sinal oposto à essa volumétrica que garante que $Q=0$.

b) Devido a essa densidade de carga, o potencial elétrico não satisfaz a equação de Laplace dentro da esfera, mas é possível calcular o potencial elétrico mesmo assim. Prove que:

$V_{in}(r,\theta)=V_{centro}+\dfrac{\omega B}{2}r^2sin^2\theta$

Contudo, o potencial elétrico fora da esfera, onde não há carga, satisfaz a equação de Laplace, e deve ser igual ao potencial que você acabou de calcular quando $r=R$. Olhe a solução geral para a equação de Laplace em função do polinômios de Rodrigues $P_{l}(cos \theta)$:

$V_{out}(r,\theta)=\sum\limits_{l=1}^{\infty}\dfrac{A_{l}}{r^{l+1}}P_{l}(cos \theta)$

Como não há carga líquida na esfera, não há termo de monopolo ($l=0$). Como o potencial de dipolo ($l=1$) depende de $P_{1}(cos \theta)=cos \theta$, e o potencial dentro tem um termo de $sin^2(\theta)$, também não pode haver campo de dipolo.

c) Use que $P_{2}(cos \theta)=1-\dfrac{3}{2}sin^2(\theta)$ e determine o campo elétrico de quadrupolo fora da esfera.

Aqui você aprendeu que girar um dipolo magnético gera um quadrupolo elétrico!

d) Integre esse campo de quadrupolo ao longo de algum caminho entre o polo da esfera e seu equador para achar a ddp do motor monopolar (Não importa o caminho, não é? Escolha um semi-meridiano por simplicidade).

Caso conectássemos um resistência entre esses terminais, a corrente elétrica que fluisse por dentro da esfera ia sofrer um torque que desaceleraria sua rotação. Esse decréscimo da energia cinética corresponde a potência dissipada na resistência.

e) E a conservação de momento angular? Esboce para onde está indo o momento angular em termos do vetor de Poynting.

 

10) Birrefringência e anisotropia da ionosfera terrestre

A ionosfera terrestre, do ponto de vista da propagação de ondas eletromagnéticas, pode ser pensada como um plasma de elétrons livres que não interagem entre si. Contudo, o campo magnético terrestre leva a uma série de fenômenos curiosos, dos quais aqui abordaremos os do título da questão. Considere elétrons de massa $m$, carga $e$ e uma onda eletromagnética que se propaga na direção do campo magnético terrestre $\vec{B}_{0}$, que diremos ser a direção $\hat{z}$. Considere o índice de refração do ar fora da ionosfera igual a 1.

a) Escreva a equação de movimento do elétron por causa do campo elétrico da onda circularmente polarizada $\vec{E}=E_{0}e^{i (\omega t-kz)}(\hat{x} \pm i\hat{y})$ e do campo magnético terrestre $B_{0}\hat{z}$. O campo magnético da onda é muito fraco, então é irrelevante.

b) Resolva a equação e relacione a amplitude do movimento do elétron com seu momento de dipolo.

c) Determine a constante dielétrica do meio.

Notoriamente, a direção da polarização circular (o $\pm$ na fórmula) muda o valor do índice de refração percebido pela onda.  Para muitas frequências, inclusive, a permissividade de uma das polarizações é um número negativo e não há como haver propagação: a ionosfera é opaca a elas.

Vamos estudar agora ondas linearmente polarizadas.

d) Decomponha o campo elétrico de uma onda linearmente polarizada como a soma de duas ondas com polarizações circulares opostas. Considerando que ambas essas polarizações circulares conseguem se propagar, determine o vetor polarização da onda em função do tempo.

e) Caso uma das polarizações circulares não consiga se propagar na ionosfera, a onda linearmente polarizada quando refletida adquire polarização elíptica. Calcule a excentricidade dessa elipse para uma reflexão normal.

f) Caso a direção de propagação não coincida com $\vec{B}_{0}$, basta projetar esse campo magnético na direção de propagação que todo o resto fica inalterado. Dessa forma, o índice de refração passa a depender do ângulo da propagação. Suponha um local em que o campo magnético terrestre na ionosfera é aproximadamente vertical, e o limite atmosfera-ionosfera é plano e horizontal. Qual a fração da intensidade emitida por uma estação de rádio isotropicamente que consegue penetrar a ionosfera? Considere que essas ondas emitidas são linearmente polarizadas paralelamente à interface de reflexão.

11) O azul do céu e a opalescência crítica

 

Essa questão tem por objetivo tratar dos fenômenos de espalhamento ("Rayleigh scattering") que tornam o céu azul e suas características próximo de uma condensação vapor-líquido, a chamada opalescência crítica. A questão será dividida em 2 partes. Na parte 1, estudaremos os dipolos induzidos em uma molécula do ar pela onda eletromagnética. Na parte 2, estudaremos a radiação emitida por esses dipolos.

Nota: sempre que uma quantidade física for um valor complexo, sua magnitude observada é a parte real desse número.

Parte 1: Os dipolos induzidos

Toda descontinuidade espacial ou temporal das propriedades eletromagnéticas de um meio causa um espalhamento da energia que viaja através dele, isto é, essa energia é redirecionada. Existem várias maneiras e mecanismos distintos pelos quais isso pode ocorrer, a depender do tamanho relativo entre o comprimento de onda e a dimensão do centro de espalhamento.

a) Nomeie o fenômeno físico que espalha a luz nos seguintes 2 casos:

• Formação de arco-iris;
• Formação da coloração alaranjada do céu ao nascer e por do sol.

Aqui lidaremos com o caso $R<<\lambda$, de forma tal que os campos elétricos e magnéticos da onda de comprimento $\lambda$ são uniformes em toda a extensão da molécula. Considere que o centro de espalhamento é isotrópico, esférico de raio $R$ e linear. Seja $\vec{p}=\alpha_{e}\vec{E}$ e $\vec{m}=\alpha_{m}\vec{B}$ as polarizabilidades da molécula.

b) Determine os coeficientes $\alpha_{e}$ e $\alpha_{m}$ em função da constante dielétrica $\epsilon$ e permeabilidade $\mu$.

Parte 2: O campo do dipolo elétrico na zona de radiação $r>>\lambda>>R$

c) Agora vamos deduzir a forma dos campos radiados por esses dipolos oscilantes quando vistos de longe (far field). Considere fontes da forma:

$\rho(x,t)=\rho(x)e^{-i\omega t}$

$J(x,t)=J(x)e^{-i\omega t}$

Onde $x$ é o vetor posição em relação a origem e $(x',t')$ são a variáveis de integração ao longo da extensão das fontes

Faça uma analogia com a equação de Laplace do potencial elétrico e prove que o potencial vetor magnético pode ser escrito como:

$A(x,t)=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \displaystyle{\int d^3x'} \displaystyle{\int dt' \dfrac{J(x',t)}{\mid x-x' \mid} \delta(t'-t+\dfrac{\mid x-x' \mid}{c})}$

Lembre-se da ideia de potencial retardado: o potencial em um tempo $t$ depende de como a fonte estava há um tempo $t-\dfrac{\mid x-x' \mid}{c}$ atrás.

d) Prove que, para a fonte senoidal, vale que:

$A(x,t)=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \displaystyle{ \int d^3x' \dfrac{J(x')}{\mid x-x' \mid} e^{ik\mid x-x' \mid}}$

Mostre também que, em primeira ordem, $\mid x-x' \mid = r-\hat{n}\cdot x'$, em que $\hat{n}$ é o versor na direção $x$. Os termos de distância que não estão no expoente suportam uma aproximação de ordem zero:

$\mid x-x' \mid = r$

e) Expanda a exponencial complexa em uma série de Taylor e prove que a condição do centro de espalhamento ser muito menor que um comprimento de onda implica o seguinte:

  $k \hat{n} \cdot x'<< n(n-1)(n-2) \cdot \cdot \cdot$

O lado direito é o fatorial de n. Veja que isso implica em:

$A(x,t)=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \dfrac{e^{ikr}}{r} \displaystyle{\int J(x') d^3x'}$

f) Use integração por partes e a equação da continuidade para mostrar que:

$\displaystyle{\int J(x') d^3x' = -i \omega \int x' \rho(x') d^3 x'}$

Talvez você não saiba, mas $\displaystyle{\int x' \rho(x') d^3 x'}$ é a definição formal de momento de dipolo elétrico. Conclusão:

$\vec{A}(x,t)=\dfrac{i \omega \mu_{0}}{4\pi} \dfrac{e^{ikr}}{r} \vec{p}$

g) Temos tudo o que precisamos. O vetor potencial magnético é tal que, no espaço livre fora do centro de espalhamento:

$\vec{H}=\dfrac{1}{\mu_{0}} \nabla \times \vec{A}$

Prove que, numa onda eletromagnética que se propaga no vácuo, vale a relação:

$\vec{E}=\sqrt{\dfrac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}} \vec{H} \times \hat{n}$

h) Demonstre que os campos de radiação são aqueles que caem com o recíproco da distância, $\dfrac{1}{r}$. Lembre-se da definição de radiação. Então, mostre que os campos espalhados (radiados) são:

$\vec{H}_{esp} = \dfrac{ck^2}{4 \pi} (\hat{n} \times \vec{p}) \dfrac{e^{ikr}}{r}$

$\vec{E}_{esp} = \dfrac{k^2}{4 \pi \epsilon_{0}} (\hat{n} \times \vec{p}) \times \hat{n} \dfrac{e^{ikr}}{r}$

Lembre-se que $\hat{n}$ é o versor na direção de observação a partir do centro de espalhamento.

Uma ideia muito importante no contexto de um espalhamento é a seção transversal diferencial de espalhamento: a potência por ângulo sólido espalhada na direção $\hat{n}$ e com polarização $\hat{\epsilon}$, por unidade de intensidade incidente na direção $\hat{n}_{0}$ com polarização $\hat{\epsilon}_{0}$. Sua forma geral:

 

$\dfrac{d \sigma}{d \Omega} (\hat{n}, \hat{\epsilon}; \hat{n}_{0}, \hat{\epsilon}_{0}) = \dfrac{r^2 \mid \hat{\epsilon}^{*} \cdot \vec{E}_{esp} \mid^2}{\mid \hat{\epsilon}_{0}^{*} \cdot \vec{E}_{inc} \mid^2}$

 

Essa fórmula é basicamente a razão dos vetores de Poynting nas respectivas direções. O versor polarização aparece conjugado acima devido a uma formalidade ao se lidar com diferenças de fase em ondas circularmente polarizadas (pesquise sobre parâmetros de Stokes para mais informações).

i) Prove que no nosso caso ela vale:

$\dfrac{d \sigma}{d \Omega} (\hat{n}, \hat{\epsilon}; \hat{n}_{0}, \hat{\epsilon}_{0}) = k^{4} R^{6} \left(\dfrac{\epsilon_{r}-1}{\epsilon_{r}+2} \right)^2 \mid\hat{\epsilon}^{*} \cdot \hat{\epsilon}_{0} \mid^2$

 

A dependência da potência espalhada com $k^{4}$ é uma lei quase universal de espalhamento por corpos finitos, e como consequência direta disso, o céu que vemos é azul (ou seja, dominado por $k$ grande). Vale lembrar, mesmo que a essa altura do campeonato, que o azul que vemos no céu foi espalhado, e não refletido. Essa distinção é, inclusive, o espírito por trás do item a dessa questão.

Mais ainda, a radiação solar que é espalhada pelas partículas da nossa atmosfera é de natureza térmica, ou seja, tem polarização incidente $\hat{\epsilon}_{0}$ aleatoriamente distribuída. Assim, para uma dada direção de polarização de espalhamento $\hat{\epsilon}_{0}$, deve-se fazer a média sobre as possíveis polarizações incidentes. Vide a figura abaixo para referência geométrica:

 

 

j) Definindo o plano $\hat{n}-\hat{n}_{0}$ como o plano de espalhamento, faça a média dos componentes das polarizações incidentes que pertencem a esse plano $\hat{\epsilon}^{(1)}_{0}$, e depois faça o mesmo para os componetes perpendiculares a esse plano $\hat{\epsilon}^{(2)}_{0}$. Some as duas para obter $\dfrac{d \sigma}{d \Omega}$ em função do $\theta$ da figura.

h) Integre essa expressão para todos os ângulos sólidos (lembre-se que $d \Omega = 2 \pi \sin \theta d \theta$) para achar a seção de espalhamento total:

$\sigma=\dfrac{8 \pi}{3} k^{4} R^{6} \left(\dfrac{\epsilon_{r}-1}{\epsilon_{r}+2}\right)^2$

A interpretação dessa quantidade $\sigma$ é a potência total espalhada por unidade de fluxo incidente. Mas e se tivermos mais de um centro de espalhamento? Por princípio da superposição, somaríamos os campos elétricos espalhados e elevaríamos tudo ao quadrado para achar as energias. Ou seja, surgiriam muitos termos cruzados, o que é bem difícil computar. Contudo, se a distribuição dos $N$ centros de espalhamento for aleatória (como no nosso caso em que temos um gás), a relação entre as fases dos termos cruzados é aleatória e rende média zero.

Essa situação se chama de "superposição de fontes incoerentes", e nela a energia pode ser superposta:

$\sigma_{total}=N \sigma$

Essa potência espalhada é divergida do feixe principal vindo do sol e colore o céu. O que resta do feixe? Sobram cores como amarelo e laranja.

i) Mostre que a intensidade do feixe solar ao viajar uma distância $h$ pela atmosfera terrestre é da forma $I(h)=I_{0}e^{-\beta h}$. Determine o coeficiente de extinção $\beta$, que indica o quão laranja serão o crepúsculo e a aurora.

Veja que assumimos que os centros de espalhamento são fontes incoerentes por não haver correlação entre suas posições relativas no espaço. Contudo, se o vapor de água na atmosfera começar a se condensar, é evidente que quanto mais próximo do estado líquido ele está, mais as moléculas se agruparam em clusters que se correlacionam fortemente, de forma que as flutuações das grandezas termodinâmicas divergem no ponto de transição (flutuações na densidade $\Delta \rho$ vão para o infinito, por exemplo). Logo após a transição, essas grandezas voltam a ser bem definidas.

Disso surge o fenômeno de opalescência crítica: o vapor é transparente e o líquido é transparente, mas na transição entre eles, toda a luz é espalhada e o meio se torna opaco e esbranquiçado.

Boa Sorte!!