Lista Foice 01 (Victor)

01-Quase Carnot:

Um gás ideal passa um por um processo consistindo de isotermas e adiabáticas, com as temperaturas $T_{1}$, $T_{2}$ e $T_{3}$. Usando que todos volumes crescem na mesma proporção, nas expansões isotérmicas, ache o rendimento do ciclo.

Figura 01: Três isotermas e três adiabáticas

02-Desigualdade de Clausius:

Com o enunciado de Clausius, demonstre que:

$\sum_{i=1}^{n} \frac{Q_{i}}{T_{i}}=0$

e

$\oint \frac{dQ}{T}=0$

Onde o índice $i$ representa o índice do reservatório no qual o sistema troca calor com, $Q_{i}$ o quanto ele troca, $T_{i}$ a temperatura do i-ésimo reservatório e $n$ é o número de reservatórios que participam da troca.

03-Pressão de Saturação:

Deduza a relação de Clausius-Clapeyron:

$\frac{dp_{s}}{dT}=\frac{\mu \lambda}{RT^2} p_{s}$

Sendo o calor latente de vaporização $\lambda$, temperatura $T$, pressão de saturação $p_{s}$ e massa molar $\mu$. Pode ser interessante usar a desigualdade de Clausius e um ciclo adequado no diagrama PV.

04-Pouseille:

Considere um fluxo de água de vazão $Q$ fluindo sobre um cilindro de raio $a$ e tamanho $L$, tendo a força de viscosidade por unidade de área sobre duas superfícies com velocidade relativa v sendo:

$p'_{zx}=\frac{F}{A}=-\mu \frac{dv_{z}}{dx}$

Sendo $p_{zx}$ a pressão que multiplicada por uma área em x dá uma força em $z$. Encontre a distribuição de velocidades do fluido ao longo do cilindro, a queda de pressão no cilindro todo, e a taxa de calor perdido por unidade de tempo e volume.

05-Hydraulic Jump:

Hydraulic Jump é o fenômeno físico no qual um fluxo de água de altura constante passar por um obstáculo e muda de altura.

Figura 02: Jump de um estado supercrítico para um subcrítico.

Para melhor estudo do fenômeno podemos usar alguns números adimensionais relevantes, como o Número de Froude:

$Fr=\frac{v}{\sqrt{gh}}$

O fluxo é considerado supercrítico se $Fr>1$, crítico se $Fr=1$ e subcrítico se $Fr<1$. Usando hipóteses simplificadoras, como efeitos de viscosidade desconsideráveis, encontre qual deve ser ser as condições sobre o fluxo inicial para ocorrer o fenômeno do Hydraulic Jump, e ache o calor por unidade de volume e tempo gerado nele.

06-Eficiência:

Goiano, um grande amigo seu, está querendo esquentar $1kg$ de água destilada de $0 C^{\circ}$ até $60 C^{\circ}$, usando uma mesma massa de água a $100 C^{\circ}$, isso é uma tarefa possível, e se sim, como você faria? Você não tem água adicional, nem calor, mas você tem materias condutores, isolantes e uma série de ferreamentas. Qual a máxima temperatura que você consegue esquentar a água usando seu método?

07-Corpos negros e lentes:

O quanto você pode esquentar um corpo negro (esférico) usando raios solares e uma lente convexa fina que tem o foco com tamanho igual ao dobro do diâmetro? Isso depende do tamanho dele?

08-Triângulos:

Supondo que você tem um triângulo equilátero bom condutor de calor com temperatura dos três vértices constantes, e iguais respectivamentes a $T_{1}$, $T_{2}$ e $T_{3}$. Qual deve ser a temperatura no baricentro do triângulo?

09-Gás de Fótons:

Dado que a energia interna de um gás de fótons vale:
$U=3PV$
Sendo $P$ a pressão do gás e $V$ o volume dele. Ache a pressão, entropia, energia interna e densidade de energia em função da temperatura e parâmetros relevantes.

10-Analogias:

Suponha que você tem um meio de condutividade térmica $k$, e que você coloca nele duas placas, de temperatura $T_{1}$ e $T_{2}$, a uma distância $d$. Você coloca uma esfera no meio das duas placas, supondo o raio da esfera $a$, e, sendo $a<<d$, encontre a distribuição de temperatura na esfera no estado estacionário, sabendo que ela tem condutividade infinita.

11-Mayer, só que certo:

Encontre a relação entre a capacidade térmica a pressão constante e a volume constante para um sistema termodinâmico:

$C_{p}-C_{V}=\frac{TV\alpha^{2}}{\kappa}$

Onde $\alpha$ é o coeficiente de expansão térmica:
$\alpha=\frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_{P}$
e $\kappa$ a compressibilidade isotérmica:
$\kappa=(-V (\frac{\partial P}{\partial V})_{T})^{-1}$
Calcule essa diferença para um gás ideal, para um gás de Van der Waals e para um gás de fótons.

12-Uma breve história do sistema solar:

Antigamente no nosso sistema solar, quando os planetas ainda não tinham sido formados, o sol era cercado por uma bola gigante de gás em repouso. Considere, para facilitar as contas, que o gas é ideal e composto por moléculas iguais e de masssa $m$, sendo a massa total de gás muito menor que a massa do sol $M_{s}$. Vamos estudar as propriedade desse gás para diferentes distâncias $r$ do centro do sol.

a) Supondo todo gás a uma mesma temperatura, $T_{o}$, a sua densidade é dada por $\rho=\rho_{o} e^{\frac{\alpha}{r}}$. Encontre o valor de $\alpha$.

b) A densidade do problema anterior tem implicações físicas indesejáveis, por quê?

c) Num modelo mais bem trabalhado, podemos eliminar o problema citado anteriormente. O sol é uma gigante vermelha, portanto ele está constantemente emitindo radiação eletromagnética, esta que inevitavelmente se torna energia térmica para o gás. Considerando que o gás absorve completamente essa energia, e levando em conta algumas propriedades podemos conseguir resultados bem diferentes.
Considere que o sol emite energia no tempo a uma taxa constante $J_{o}$, ache a intensidade da radiação a uma distância $r$ dele.

d) A densidade de corrente de energia térmica é proporcional ao gradiente de temperatura. Isto é, $I(r)=-\sigma \frac{dT}{dr}$, onde $\sigma$ é uma constante positiva chamada de condutividade térmica. O sinal negativo vem do fato de que o calor sempre flui de regiões de alta temperatura para baixa temperatura. Ache a temperatura do gás a uma distância $r$ do sol.

e) A pressão a uma distância $r$ do sol é dada por $P=P_{o}(\frac{r}{r_{o}})^{-\beta}$. Encontre o valor de $\beta$

f) De d) nós conseguimos ver que a partir de uma certa distância $r_{o}$ a temperatura passa a ser menor que a de gelo (temperatura de fusão da água a CNTP). Encontre essa distância $r_{o}$ (você vai precisar pesquisar alguns dados).